Théorie des groupes de Lie: Groupes algébriques, théorèmes généraux sur les algèbres de Lie

428 Pages·1968·19.894 MB·French

by  Claude Chevalley

Publications de Finstitut de mathématique de l’université de Nancago I et P
Claude Cheval le\
THÉORIE DES
GROUPES DE LIE
Groupes algébriques
Théorèmes généraux sur les algèbres de Lie
Hermann

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CLAUDE CHEVALLEY
THEORIE
DES
GROUPES DE LIE
Groupes algébriques
Théorèmes généraux sur les algèbres de Lie
HERMANN
115, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS VI
VIII TABLE DES MATIÈRES
Chapitre III
Généralités sur les représentations
N° 1. Représentations équivalentes. 188
N° 2. Puissances tensorielle, symétrique, extérieure. 190
N° 3. Produits cartésiens . *93
N° 4. Produits tensoriels. '94
N° 5. Tenseurs symétriques et antisymétriques. >98
N° 6. Représentations contragrédientes. '98
N° 7. Représentations duales de produits cartésiens et tensoriels . . 201
N° 8. Formes polaires. 206
N° 9. Invariants. 207
N° 10. Covariants . 212
N° 11. Sur les formes bilinéaires symétriques. 218
N° 12. Suites de Jordan-Holder. 220
N° 13. Extension du corps de base . 221
N° 14. Représentations rationnelles d’algèbres de Lie. 227
N° 15. Représentations de groupes de Lie. 228
Chapitre IV
Aîgèbres de Lie semi-simples
§ 1. Le théorème d’Engel. 236
N° 1. La représentation adjointe . 236
N° 2. Le théorème d’Engel . 237
§ 2. Aîgèbres semi-simples. 240
N° 1. La forme bilinéaire associée à une représentation. 240
N° 2. Aîgèbres semi-simples . 244
§ 3. Représentations des aîgèbres semi-simples . 248
N° 1. L’opérateur de Casimir. 248
N° 2. Le théorème de Weyl. 250
§ 4. Aîgèbres réductives. 253
N° 1. Représentations d’algèbres réductives. 253
N° 2. Critères d’algèbres réductives. 255
§ 5. Groupes algébriques semi-simples. 261
§ 6. Exemples. 209
N° 1. Les aîgèbres fll(V) et él(V). 269
N° 2. L’algèbre o(B). 270
§ 7. Les aîgèbres simples de dimension 3 et leurs représentations. 275
Chapitre V
Théorèmes généraux sur les aîgèbres de Lie
§ 1. Aîgèbres résolubles. 282
§ 2. Le7 radical. Le plus grand idéal nilpotent. 286
N° 1. Le radical. 286
N° 2. Le plus grand idéal nilpotent. 287
TABLE DES MATIÈRES IX
§ 3. Groupes résolubles. 204
N° 1. Groupes résolubles. 294
N° 2. Groupes nilpotents. 295
N° 3. Groupes algébriques résolubles et nilpotents. 297
N° 4. Algèbres de Lie d’endomorphismes nilpotents. 3°3
N° 5. Algèbres de Lie résolubles algébriques. 309
§ 4. Le théorème de Levi-Malcev. 3r5
N° 1. Le théorème de Levi-Malcev . 315
N° 2. Application à la structure des algèbres algébriques. 324
§ 5. Le théorème d’Ado. 325
N° 1. L’algèbre universelle d’une algèbre de Lie. 325
N° 2. Lemmes. 328
N° 3. Le lemme de Harish-Chandra. 33°
N° 4. Le théorème d’Ado. 333
N° 5. Le théorème d’existence. 337
§ 6. Algèbre universelle et opérateurs différentiels. 33$
N° 1. Lemmes sur les algèbres associatives. 3-3$
N° 2. Opérateurs différentiels. 34°
Chapitre VI
Algèbres et groupes de Cartan
§ 1. La topologie de Zariski . 34$
N° 1. Ensembles fermés. 34&
N° 2. Applications polynômes. 351
N° 3. Ensembles irréductibles. 354
N° 4. L’espace directeur. 357
N° 5. Ensembles épais. 3^5
§ 2. Orbites. 37°
§ 3. La nullité d’un endomorphisme. 37^
§ 4. Groupes de Cartan. Algèbres de Cartan. 379
N° 1. Définition. 379
N° 2. Existence de groupes et d’algèbres de Cartan . 382
N° 3. L’égalité des rangs. 3^8
N° 4. Irréductibilité des groupes de Cartan. 39:
N° 5. Propriétés des algèbres de Cartan. 395
§ 5. Groupes de Cartan des groupes de Lie . 4°5
N° 1. Existence . 4°5
N° 2. Groupes de Cartan des groupes compacts. 4l°
Index. 416

CHAPITRE PREMIER
ALGÈBRE TENSORIELLE ET APPLICATIONS
S 1. Algèbre tensorielle.
Une algèbre qui possède un élément unité sera dite
Définition i . —
unitaire ; l'élément unité d une algèbre unitaire sera noté i (sauf
mention expresse du contraire) et sera identifié à l’élément unité du
corps de base ; plus généralement, si a est un élément du corps de base,
l’élément a. i de F algèbre sera identifié avec a ; les éléments du corps
de base seront appelés les scalaires de l’algèbre. Un homomorphisme
d'une algèbre unitaire A dans une algèbre unitaire B sera dit unitaire
s'il applique l’élément unité de A sur celui de B.
Rappelons qu'une partie E d’une algèbre A est généralement
appelée un système de générateurs de A si la seule sous-algèbre de A
contenant E est A elle-même. Quand on considère des algèbres uni¬
taires, il convient en général de substituer à la notion de système
de générateurs de A celle de système de presque-générateurs, qui
est définie de la manière suivante :
Définition 2. — Soient A une algèbre unitaire et E une partie
de A. On dit que E est un système de presque-générateurs de A, ou
que A est presque engendrée par E, si F ensemble obtenu en adjoignant
1 à E est un système de générateurs de A.
Ceci dit. donnons-nous un corps K et un ensemble E quelconques.
Nous allons définir au moyen de ces données une certaine algèbre
associative sur K, qui sera appelée l’algèbre associative libre de E
sur K. Soit d’abord VI le monoïde libre engendré par E (cf. Bourbaki,
AL, I, § i, n° 3)(‘). Scs éléments sont les « mots » formés au
(') Le monoïde libre que nous utilisons ici n’est pas entièrement identique à l’objet
appelé de ce nom à l’ouvrage cité de N. Bourbaki ; il en diffère par adjonction d’un
■J. \LGEBRE TEN'SORIELLE ET APPLICATIONS
moyen des éléments de E, et chaque mot est le produit dans M
d’une suite finie d’éléments de E (cette suite finie peut être vide ; le
mot qui correspond à la suite vide est l’élément unité de M).
Si ap an, a[, a'n, sont des éléments de E, l égalité
11?= iOjH" = 1 Qf
entraîne n = n' et a,■ = a[ (i ^ t n). Les mots qui correspondent
aux suites finies de longueur i sont en correspondance bi-univoque
avec les éléments de E, auxquels nous les identifierons. Soit ensuite
L l’algèbre du monoïde M sur le corps de K (cf. Bourbaki, Al., II,
$7, n° 9). Le monoïde M peut être identifié à une partie de L,
stable par rapport à la multiplication de L, et la multiplication dans
M est la restriction à MxM de la multiplication de L ; de plus, M
est une base de la structure d’espace vectoriel de L sur K. Il est
clair que L est une algèbre associative unitaire sur le corps K, et
que E est un système de presque-générateurs de L. C’est l’algèbre L
que nous appellerons Y algèbre associative libre de E sur le corps K.
Proposition i . — Soient K un corps, E un ensemble et A une
algèbre associative unitaire sur K. Soit f une application de E dans A.
Il existe alors un homomorphisme unitaire f* et un seul de l'algèbre
associative libre L de E sur K dans A qui prolonge f. Les éléments
de f(E) forment un système de presque-générateurs de la sous-algébre
AL)* A.
Nous prolongerons d’abord f par une application f* du monoïde
libre M engendré par E en posant
(1) /.*(■) = >; /„TiT=. <>,)=n,■=,/(<)
(où a(, ..., an sont des éléments quelconques de E). Il est clair que
f*(mm') =f*(m)f*(m') pour tout couple (m, m') d’éléments de M.
Puisque M est une base de la structure d'espace vectoriel de L. il
existe une application linéaire f* et une seule de L dans A qui
prolonge f*. On voit tout de suite que f* est un homomorphisme
d'algèbres, et 011 a /*(i)— 1. Réciproquement, il est clair qu’un
homomorphisme unitaire g* de L dans A qui prolonge f coïncide
avec f* sur M, donc est identique à f*. Les formules (1) montrent
que /*(M) est contenu dans la sous-algèbre A' de A engendrée
élément unité. Il peut se définir directement en omettant les mots « non vides » dans la
définition donnée par N. Bourbaki