Théorie des groupes

236 Pages·2007·28.235 MB·French

by  Jean Delcourt

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THEORIE
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2e édition
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THEORIE
DES GROUPES
Jean De/court
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Illustration de couverture: D'après Lionel Auvergne
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© Dunod, Paris, 2001, 2007
ISBN 978-2-10-050667-5
LeC oded el ap ropriinétteél lne'catuuteolarluiexst ra enmste d,e l 'article
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Coddee l ap ropriinétteél lectuelle.
À MicShoèplheet i,Meari e
Préface
Ce livre est consacré aux groupes. Les ouvrages traitant de cette théorie sont nombreux,
notamment en langue anglaise; pour la langue française, on citera ceux de J. Calais ([6]), de
N. Bouvier ([5]) entièrement consacrés aux groupes; d'autres, comme le Cours d'algèbre de
D. Perrin ([21]), et la« somme» de J.-M. Amaudiès et J. Bertin ([3]) traitent une large part
de la théorie, entre autres thèmes d'algèbre.
Notre livre vise à compléter ces textes, mais il prétend à une certaine originalité.
• C'est un livre de cours par les exercices qui tente de suivre une démarche d'auto­
enseignement. Ainsi, l'étudiant devra lire cet ouvrage crayon en main, et sera amené à
démontrer la plupart des théorèmes lui-même. Bien sûr, ces exercices sont corrigés de
façon très détaillée.
• Nous y avons inclus un certain nombre de problèmes, également corrigés. Bien que d'une
ampleur moindre qu'un problème de Capes ou d'A grégation, ils visent à concrétiser, sur
des exemples précis, les concepts de la théorie.
• Le plus souvent possible nous avons utilisé le langage de la géométrie qui donne un éclai­
rage saisissant à des propriétés qui paraissent purement algébriques 1
•
• Enfin l'ouvrage offre la palette la plus large possible d'exemples réels de groupes. Notre
conviction est, en effet, qu'on ne comprend bien une théorie que lorsqu'on est assez fa­
miliarisé avec le domaine auquel elle s'applique, avec les êtres qui la peuplent... Et nous
n'avons pas hésité à détailler au maximum les corrections, afin de ne laisser aucun point
obscur; enfin nous l'espérons.
Bien sûr, il a fallu faire des choix. Nous avons été amené à renoncer à toute présentation de la
théorie de Galois, alors même que c'est l'origine historique de la théorie des groupes; et nous
n'avons pas abordé les développements passionnants que sont la théorie des extensions de
groupes, ainsi que celle des représentations de groupes. Enfin, il n'est pas non plus question
des propriétés topologiques des groupes.
1. Lire et relire l'excellent [20].
IV Théorie des groupes
Quelques remarques sur les notations. Le groupe diédral est très présent dans les exercices,
car suffisamment simple et compliqué pour être exemplaire. Ayant éléments, avec entier,
2n n
il est parfois noté ID>,,, car il est groupe de symétrie du polygone régulier à éléments, et
n
contient le groupe cyclique à n éléments. .. Nous avons choisi de le noter ID>211, l'indice étant
alors le cardinal ; cela nous paraît en effet plus conforme aux habitudes récentes. De la même
façon, nous notons le groupe additif quotient de 'Il, par le sous-groupe des multiples
Z/n
de c'est un compromis entre la notation un peu longue, et Z,, qui peut prêter à
n; Z/n'll,
confusion (avec nombres p-adiques). Plus important, et discutable, nous faisons souvent jouer
au groupe noté 'Il,/ n le rôle du prototype d'un groupe cyclique d'ordre n. Or, ce n'en est qu'une
réalisation particulière, additive, avec un générateur privilégié (la classe de 1 ), de même que le
groupe des racines n-ièmes de l'unité en représente une autre réalisation. Il aurait sans doute
été préférable d'avoir une notation différente pour« le» groupe cyclique d'ordre n, compris
I
comme le groupe engendré par un élément x d'ordre n, de présentation (x x'). On trouve
parfois une écriture comme C,,. Notre choix risque de dérouter, surtout qu'il nous arrive de
jongler entre notation additive et multiplicative, mais ce type d'écriture « à isomorphisme
près» est fréquent... et a des avantages. On nous pardonnera aussi, peut-être, certains « ssi »
mis pour« si et seulement si».
Pour terminer, parlons de notre public, enfin du public souhaité : les connaissances néces­
saires pour nous suivre sont celles qu'a acquises un étudiant de Deug. Il lui est demandé une
certaine familiarité avec l'algèbre linéaire, et avec les rudiments de l'algèbre générale. Ce
livre devrait donc être utile aux étudiants de licence et de maîtrise, ainsi, bien sûr, qu'aux can­
didats aux concours Capes et Agrégation. Espérons également qu'il saura plaire aux simples
amateurs de mathématiques.
Ce livre ne serait pas ce qu'il est sans les conseils éclairés que m'ont donnés de nombreux
collègues et amis, spécialistes ou non de la théorie des groupes. Je remercie en particulier
Dong Ye pour sa relecture attentive, mais il va de soi que les nombreuses erreurs qui subsistent
sont entièrement de mon fait. Merci également aux éditions Dunod pour la qualité de leur
travail éditorial.
Cette seconde édition a permis de corriger certaines erreurs et d'ajouter des précisions : merci
à François Digne pour ses remarques. Nous avons également proposé quelques problèmes
supplémentaires.
Table des matières
CHAPITRE 1 • GROUPES -GROUPES CYCLIQUES
1.1 Groupes, sous-groupes, ordre
\
1.2 Morphismes, sous-groupes normaux, groupes quotients 13
1.3 Problèmes
20
CHAPITRE 2 • EXEMPLES DE GROUPES
25
2.1 Groupes produits
25
2.2 Groupes libres, générateurs et relations 33
2.3 Quelques groupes finis
40
'/ 2.4 Groupes de permutations
46
2.5 Problèmes
56
CHAPITRE 3 • ACTIONS DE GROUPES • GROUPES DE SYLOW
59
3.1 Action d'un groupe sur un ensemble
59
3.2 Les théorèmes de Sylow 71
3.3 Produits semi-directs
85
3.4 D'autres groupes finis
97
3.5 Problèmes
106
VI Théorie des groupes
CHAP4I TG•RR EO UPCEOSM MUTATIFS 111
4.1 Groucpoemsm utfaitniifss 111
4.2G roucpoemsm utdaett yifpfiesn i 121
4.3G roudpievsi sibles 128
4.4 Problèmes 132
CHAP5I TGR•RE O UDPÉER IGVRÉO,U PNEISL POTGERNOTUSPR,EÉ SS OLUBLES 135
5.1C engtrroedu,ép rei vé 135
5.2 Résolduegt rioounp es 146
5.3G rounpielsp ogtreonurtpéses,so lubles 151
CHAP6I TP•RR EO BLÈSMUEPSP LÉMENTAIRES 159
6.1 Lepsr odeunci otusr onne 159
X 6.2 Grouppoelsy éedbtri anuapxio rleysé draux 162
6.3T ransbiltogicrvsoi,utp pére,is m itifs 165
6.4S ulres so us-groupes 167
6.5 Degsr oudp'eosr1 d2 re 168
6.6 Ung rodu'peo r1d68r e 168
6.7S ous-gmraoxuipmeasu x 169
SOLUTIDOEPSNR SO BLÈMES 170
1.3.So1u s-gcraoruapcetséc reinsttrieq ues, 170
1.3.L2eg romuopdeu lMa ire 171
2.5.L1es so us-gdr'opuurnpo edsu it 174
2.5.L2eg sr oudpePe rsü fer 175
3.5.L1eg sr ouGpLe(sOCn ),P, G L(OCn),S, L (OCn),P, S L(OCn), 177
3.5.P2r odsueimtis- edngi éroemcéttsr ie 181
4.4G.r1o ucpoemsm utdaétfpiiafngrsié sn érateurs 186
6.1 Lepsr odeunci otusr onne 189
6.2 Grouppoelsy éedbtri anuapxio rleysé draux 193
6.3T ransbiltoicvsi,tp érg,ir moiutpiefss 203
6.4 Sulres so us-groupes 207
6.5 Degsr oudp'eosr1 d2r e 208
6.6 Ung rodu'poer1 d68r e 211
6.7S ous-gmraoxuipmeasu x 212
Table des matières VII
ANNEXES
215
Tabdleneso tations
215
Il Descrigprtoiuoapnye amsdnoe tisd n e3s 0é léments
216
Ill Lexique
219
BIBLIOGRAPHIE
220
ADREISNSTEESR NET
222
INDEX
223