Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung

507 Pages·1892·22.234 MB·German

by  Dr. M. Paul Mansion (auth.)

Paul M. Mansion
Theorie der partiellen
Differentialgleichun-
gen erster Ordnung.
Vom Verfasser
durchges. und verm.
deutsche Ausg. Mit
Anhängen von
Theorie
der
Partiellen Differentialgleichungen
e r s t e r 0 r d nun g.
Von
Dr. M. Paul Mansion,
Professor an der Universität Gent, Mitglied der königl. belgisehen Akademie.
Vom Verfasser durchgesehene und vermehrte deutsche Ausgabe.
Mit Anhängen von S. 'Von Kowalevsky, Imschenetsky und Darboux.
Herausgegeben
von
H. JIaser.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1892
ISBN 978-3-642-52569-8 ISBN 978-3-642-52623-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52623-7
Vorwort.
Das von der königl. belgischen Akademie der Wissenschaften preis
gekrönte, im Buchhandel längst vergriffene Werk von Mansion: "Theorie
des equations aux derivees partielles du premier ordre" erscheint hiermit
in neuer und zwar deutscher Ausgabe. Da das vortreffiiche Buch auch
in Deutschland ungetheilte Anerkennung gefunden und hinlänglich bekannt
ist, so dülfte es überflüssig sein, die Vorzüge desselben nochmals be
sonders hervorzuheben. Es mag nur darauf hingewiesen werden, dass das
Mansion'sche Buch bisher das einzige geblieben ist, welches in so ein
gehender Weise die verschiedenen Methoden, welche zur Integration der
partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung vorgeschlagen wurden,
historisch-kritisch beleuchtet, ihre Beziehungen zu einander klal'legt, ihre
Vorzüge und Mängel gegenseitig abwägt und jedem der Begründer
dieser Methoden .das Verdienst lässt, welches ihm zukommt. Es ist das
einzige Werk dieser Art geblieben, einfach a.us dem Grunde, weil es
seine Aufgabe gleich in vollkommener und unübertrefflicher Weise
löste. Allerdings hat die Theorie der partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung seit dem ersten Erscheinen des Mansion'schen Buches
viele wichtige Erweiterungen und Verbesserungen elfahren und es sind
auch seitdem, besonders in allerneuester Zeit, einige hochbedeutsame Werke
über jene Theorie hervorgetreten; zum Theil aber sind dieselben mehr als
Lehrbücher im engeren Sinne zu betrachten, denen es weniger auf die
Hervorkehrung des historisch-kritischen Standpunktes als auf eine syste
matische Verarbeitung und Zusammenfassung des vorhandenen Materials
ankommt, zum Theil sind dieselben, wie das hervorragend wichtige Werk
von S ophus Lie: "Zur Theorie der Transformationsgruppen", dazu be
stimmt, der gesammten Theorie eine einheitliche Grundlage zu geben, sie
auf ein einziges Prinzip zu stellen, aus welchem die Resultate der früheren
Arbeiten von selbst hervorgehen. Diese Werke machen daher eine historisch
kritische Untersuchung der älteren Arbeiten auf diesem Gebiete, wie sie in
dem Werke von Mansion enthalten ist, nicht überflüssig. Infolge dieses
kritischen Standpunktes ist das Mansion'sche Buch ein vorzüglicher Weg
weiser für das Studium der grundlegenden Arbeiten über die Theorie der
partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, so dass ich mich der
1*
IV Vorwort.
Hoffnung hingeben dalf, dass eine Neuausgabe dieses Werkes, die unter
Zustimmung des Verfassers und mit thätiger Mitwirkung desselben in
deutscher Sprache erscheint, nicht ungünstig aufgenommen werden wird.
Bezüglich der grösseren Veränderungen und Erweiterungen, welche
diese neue Ausgabe der ersten gegenüber aufweist, kann ich mich mit
einem Hinweis auf die "Vorbemerkungen" des Verfassers begnügen. An
vielen Stellen sind kleinere Verbesserungen vorgenommen, die nicht näher
aufgeführt zu werden brauchen. Der Druck des Werkes wurde fortlaufend
Bowohl vom Unterzeichneten, wie auch vom Verfasser selbst sorgfältig con
trolirt, so dass die Übersetzung nicht nur äusserlich correct, sondern auch
dem Sinne des Originals entsprechend sein dürfte.
Während die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ord
nung im Grossen und Ganzen als abgeschlossen betrachtet werden darf,
liegt die Theorie der partiellen Differentialgleichungen z w e i tel' Ordnung
noch sehr im Argen. In der That kann trotz der zahllosen kleineren und
grässeren Abhandlungen, welche hierüber bereits geschrieben sind, von
einer Theorie der Integration dieser Gleichungen noch kaum gesprochen
werden. Die wichtigste Arbeit, in welcher ein Versuch zur Begründung
einer solchen Theorie gemacht wird, ist immer noch die grosse Abhand
lung von Ampere im 17. und 18. cahier des Journal de l'Ecole Poly
technique, deren Resultate Imschenetsky im 54. Bande von Grunert's
Ar chi v in einem vorzüglichen Resume zusammengefasst hat. Um zum
gründlichen Studium dieser Resultate und damit vielleicht. zur Erweiterung
und Bereicherung der Theorie der Integration der partiellen Differential
gleichungen zweiter Ordnung neue Anregung zu geben, hielt ich es für
zweckmässig, die Imschenetsky'sche Abhandlung, zumal dieselbe in einem
grossen Abschnitte eine Anwendung der Prinzipien der Theorie der par
tiellen Differentialgleichungen erster Ordnung giebt, dem Mansion'schen
Werke anzufügen, wobei ich mich der vollen Zustimmung und Ermun
terung des Herrn Mansion erfreute. Eine kleine ebenfalls noch angefügte,
wenig bekannt gewordene Abhandlung von G. Darboux lässt klar die
Schwierigkeiten erkennen, welche bei der Integration der partiellen Diffe.
rentialgleichungen zweiter Ordnung auftreten, und deutet zugleich einen
Weg an, auf dem man vielleicht etwas weiter kommen kann als bisher.
Berlin, im October 1891.
H. Maser.
Vorbemerkungen des Verfassers.
I. Gegenstand dieses 'Verkes.
Die vorliegende Arbeit wurde unternommen anlässlich einer von
der kgl. belgisehen Akademie in den Jahren 1870 und 1872 gestellten,
auf die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster und zweiter
Ordnung bezüglichen Preisfrage.
Imschenetsky und Graindorge haben beide ausgezeichnete Mono
graphieen über diesen Gegenstand veröffentlicht, die es uns gestatteten,
unsere Untersuchung auf die Theorie der partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung zu beschränken. In der That geben ihre Schriften eine
gute Übersicht über die Arbeiten der Geometer bezüglich der Differential
gleichungen zweiter Ordnung, abgesehen von den neueren Studien von
Dar b 0 u x und Li e , die übrigens nur bruchstückweise veröffentlicht
worden sind.
Die Abhandlungen von Imschenetsky und Graindorge sind da
gegen unvollständig hinsichtlich der Theorie der partiellen Differential
gleichungen erster Ordnung.1) Wir haben daher den Wünschen der Akademie
zu entsprechen geglaubt, indem wir es versuchten, die hauptsächlichsten
Untersuchungen der Mathematiker über diesen Gegenstand von Lagrange
an bis auf Lie und Mayer darzulegen.
II. Plan des Werkes und historische Bemerklmgell.
Die vorliegende Schrift enthält den Hauptinhalt der Untersuchungen
von Lagrange, Pfaff, Jacobi, Bour, Clebsch, Korkine, Boole,
~Iayer, Cauchy, Serret und der ersten Abhandlungen VOll Lie (bis
ca. 1875) übel' die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.
1) Die Abhandlung von Graindorge enthält ausseI' der Theorie der
partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung die in den §§ 1 (theilweise).
3, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21 unseres Buches behandelten Gegenstände. Die Ab
handlung von Imschenetsky enthält überdies unsere §§ 9 und 29 und ein
Kapitel über die kanonischen Gleichungen der Dynamik. Graindorge hat
daneben auch eine übersicht der Arbeiten der Geometer übel' die IntegratIOn
der GleicllUngell der Mecl1anik veröffentlicht.
VI Vorbemerkungen des Verfassers.
Die Arbeiten dieser Geometer haben wir in den folgenden Abschnitten
zusammengestellt:
Einlei tung. Entstehung der partiellen Differentialgleichungen erster
Ordnung (§§ 1-4).
Buch I. Methode von Lagrange und Pfaff (§§ 5-15).
Buch II. Methode von Jacobi (§§ 16-27).
Buch m. Methode von Cauchy und Lie (§§ 28-32).
Schluss. Methode von Lie als Zusammenfassung der früheren Methoden.
Diese Anordnung ist streng didaktisch, d. h. wir dringen vom Anfang
bis zum Ende tiefer und tiefer in unsern Gegenstand ein. Sie ist zu gleicher
Zeit historisch in ihren grossen Umrissen, bis auf eine Ausnahme: Die
Methode von Cauchy bestand viel früher als alle in unserm zweiten Buche
angeführten Arbeiten. Wir sahen uns genöthigt, die Methode von Cauchy
an das Ende unserer Abhandlung zu setzen neben diejenige von Lie, weil
diese letztere die natürliche Fortsetzung der ersteren ist und weil sie zu
sammen eine weit tiefere Untersuchung der Frage der Integration der
partiellen Differentialgleichungen bilden als die Methode von Lagrange,
Pfaff, Jacobi und Bour.
In unserer Einleitung geben wir zunächst nach Lagrange (1772
und 1774) und Lie (1872) die Definition des Problems der Integration
der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Sodann deuten wir
nach J aco bi zwei allgemeine und sehr einfache Hülfsmittel an, durch welche
man die abhängige Veränderliche aus den in Rede stehenden Gleichungen
entfernen kann. Wir zeigen im Gegensatz zu der Ansicht Bertrand's und
anderer Geometer, dass das zweite Trarisformationsverfahren Ja c 0 b i' s
nicht illusorisch ist (§ 1). Die beiden folgenden Paragraphen enthalten die
+
Theorie der partiellen Differentialgleichungen mit 3 oder n 1 Veränder
lichen, wie sie von Lagrange im Jahre 1774 mittels seiner fruchtbaren
Methode der Variation der willkürlichen Constanten entdeckt worden ist.
Der Auseinandersetzung von Lagrange haben wir jedoch verschiedene
J aco bi entliehene Bemerkungen und eine sehr einfache Methode der Er
zeugung der simultanen Gleichungen hinzugefügt. Der letzte Paragraph
ist den Ansichten L ie's über den in den vorhergehenden Paragraphen be
handelten Gegenstand und der Erklärung des auf die überschüssigen Con
stanten bezüglichen Paradoxons gewidmet.
Das erste Buch enthält die Analyse der Arbeiten von Lagrange
und Pfaff. Wir haben diese schon alten Untersuchungen, mit einer ge
wissen Vorliebe auseinandergesetzt, einma I weil sie den Keim mancher
weiteren Entdeckungen enthalten, sodann weil sie eine Menge von An
wendungen zulassen, die man einfacher nach diesen Methoden als nach den
künstlicheren Methoden von Jacobi und Cauchy behandelt.
Das erste Kapitel handelt von den linearen Gleichungen, deren Theorie
Lagrange in den .Jahren 1779 und 1785 gefunden hat. Unsere Dar-
V orbemerkungen des Verfassers. VII
legung unterscheidet sich nur dadurch von derjenigen unserer Vorgänger,
dass wir uns mehr der Theorie der Functionaldeterminanten bedienen. Im
letzten Paragraphen geben wir die von J aco bi im Jahre 1827 gemachte
Erweiterung der Lagrange'schen Theorie. Es ist erstaunlich genug, dass
diese Untersuchungen des Berliner Geometers in beinahe allen Lehrbüchern und
selbst in den neueren Abhandlungen von Graindorge und Imschenetsky
mit Stillschweigen übergangen worden sind, denn sie allein lassen den engen
Zusammenhang erkennen, welcher zwischen den partiellen Differential
gleichungen und den Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung
besteht (Siehe NI'. 32.). Beiläufig zeigen wir, unter welchem Gesichts
punkt Lie die linearen Gleichungen betrachtet (NI'. 23).
Das zweite Kapitel enthält die Analyse der Arbeiten von Lagrange
über die nicht linearen Gleichungen. Der Turiner Geometer erfand das
Verfahren, die Integration der nichtlinearen Gleichungen mit drei Ver
änderlichen auf diejenige der linearen Gleichungen mit vier Veränderlichen
zurückzuführen, im Jahre 1772. Im Jahre 1774 kam er auf denselben
Gegenstand zurück, um auf die Verschiedenartigkeit der Integrale der
partiellen Differentialgleichungen aufinerksam zu machen, und im Jahre
1806 nochmals, um ein eigenthümliches Paradoxon, welches die Theorie des
allgemeinen Integrals darbietet, darzulegen. Wir geben die .Methode von
Lagrange unter ihren verschiedenen Formen. Zunächst bemerkt der aus·
gezeichnete Geometer, dass die Integration der Gleichung
q = u(x, y, z, p)
in nichts Anderem besteht als in der Ermittelung eines solchen Werthes
von p, dass +
dz = pdx udy
integrirbar ist. Sodann giebt er das allgemeine Verfahren an, um einen
Werth von p mit einer willkürlichen Constanten zu finden, welches der Kern
ist, aus dem die J aco bi'sche Methode hervorgegangen ist. Endlich zeigt
er, wie man aus dem allgemeinsten Werthe von p den allgemeinsten Werth
von z ableiten kann, was den Ausgangspunkt für die Pfaff'sche Methode bildet.
In der That wurde J aco bi, indem er die Methode von Lagrange
unter ihrer letzten Form auf die Gleichungen mit n unabhängigen Ver
änderlichen anwandte, im Jahre 1827 dahin geführt, alle Rechnungen von
P f a ff im umgekehrten Sinne zu wiederholen. Wir legen diese merkwürdige
Arbeit von Ja c 0 b i in unserm dritten Kapitel dar. Der Berliner Geometer
führt die Integration einer nichtlinearen Gleichung auf diejenige eines
Systems von simultanen Gleichungen zurück, dessen Lösung allgemeiner ist
als diejenige der gegebenen Gleichung. Um diese Lösung zu particulari
sirell und daraus das gesuchte Integral herzuleiten, ist er gezwungen, eine
Änderung in den Veränderlichen eintreten zu lassen: Die 2n - 1 Ver·
änderlichen Xl' ..., xm Pl' ..., Pn-l werden ersetzt durch die Integrations-
YlII Vorbemerkungen des Verfassers.
constanten der simultanen Hülfsgleichungen und die Aufgabe reducirt sich
hiernach auf die Integration einer totalen Differentialgleichung mit 2n - 1
Veränderlichen.
Pfaff hatte seit 1814 genau einen umgekehrten Weg verfolgt, wie
wir im folgenden Kapitel zeigen. Um die Gleichung
zu integriren, betrachtet er die totale Differentialgleichung
mit 2n Veränderlichen z, Xl' .•., Xn, Pl' ..., Pn-l und transformirt sie
in eine andere von derselben Form mit 2n - 1 Veränderlichen. Diese ist
genau dieselbe, welche .Tacobi durch Verallgemeinerung der letzten Unter
suchungen von Lagrange gefunden hat, und Pfaff gelangt dazu durch
Integration desselben Systems von Gleichungen, wie das von J aco bio Die
beiden Methoden sind daher identisch, nur dass die eine deutlicher als die
andere die Verallgemeinerung der Lagrange'schen Methode ist und Pfaff
das seinen Namen tragende allgemeine Problem der Integration der totalen
Differentialgleichungen behandelt. In unserer Auseinandersetzung der Ar
beiten von Pfaff benutzen wir verschiedene Abhandlungen von Gauss,
Jacobi und Cayley. Der letzte Paragraph des vierten Kapitels enthält
ausser dem umgekehrten Problem von P fa ff die Yereinfachung, welche
in diese Theorie durch die Anwendung der Anfangswerthe der Veränder
lichen als willkürlicher Constanten eingeführt wird. Das allgemeine
Pfaff'sche Problem führt auf die Integration von n Systemen simultaner
Gleichungen, deren jedes erst nach der vollständigen Integration aller vor
hergehenden gebildet werden kann. Nutzen ziehend aus einer Idee von
Hamilton, zeigte Jacobi 1836, dass man diese n Systeme unmittelbar
bilden kann, wenn man, wie wir soeben bemerkt haben, die Anfangswerthe
der Veränderlichen als willkürlicheConstanten nimmt; überdies hat man,
wenn es sich um die Integration einer partiellen Differentialgleichung
handelt, nicht mehr als ein System zu integriren. Schon lange vorher,
im Jahre 1818, wal' Cauchy zu diesem letzteren Resultat gelangt, indem
er ebenfalls die Anfangswerthe der Veränderlichen als Consfanten benutzte.
Übrigens gebührt ihm die Einführung dieser Idee in die Wissenschaft, doch
scheint J aco bi die Arbeiten von C auchy nicht gekannt zu haben.
Dies ist der Crklus der in unserm ersten Buche auseinandergesetzten
Untersuchungen. Wir haben jeder Theorie die Anwendungen, welchen man
gewöhnlich in den Lehrbüchern begegnet, und ausserdem diejenigen, welche
sich in den Abhandlungen von Lagrange finden, hinzugefügt. Ferner
haben wir in einem besonderen Paragraphen die Integration einer sehr be
merkenswerthen Gleichung, welche von Schläfli herrührt und von ihm
im Jahre 1868 veröffentlicht worden ist, gegeben.
Vorbemerkungen des Verfassers. IX
Das zweite Buch ist der Methode von Jacobi und Bour, den Ver
vollkommnungen dieser Methode durch Clebsch, endlich den Methoden
von Korkine, Boole und Mayer, welche damit in engem Zusammen
hange stehen, gewidmet.
Die Nova methodus von J aco bi wurde von ihm im Jahre 1838 ge
funden und von Clebsch im Jahre 1862 veröffentlicht. Wir legen sie
in unsern beiden ersten Kapiteln dar. Unsere Auseinandersetzung unter
scheidet sich nur dadurch von derjenigen von Graindor ge und 1msehe -
netsky, dass wir in einem besonderen Kapitel, dem ersten, alles, was sich
auf die Integrabilitätsbedingungen bezieht, vereinigt haben. Indem wir uns
in Bezug auf diesen Punkt ein wenig von unsern Vorgängern und von
.Ja co bi entfernen, wird man vielleicht den zu ausgedehnten Gebrauch der
symbolischen Bezeichnungen nicht billigen. Indessen wird der Leser, welcher
sich mit diesen Bezeichnungen vertraut gemacht hat, erkennen, dass nur
sie in natürlicher Weise zum Beweise der Principien der Jacobi'schell
Methode führen können. Im dritten Kapitel geben wir die von Bour her
rührende Ausdehnung dieser Methode auf simultane Gleichungen und be
richtigen dabei den kleinen Irrthum, welcher in der Auseinandersetzung
von B 0 ur, sowie in derjenigen der Autoren, die ihm gefolgt sind, unter
gelaufen ist. Auf diesen Irrthum hat Mayer im Jahre 1871 aufmerksam
gemacht. In historischer Beziehung ist die Bemerkung von Wichtigkeit,
dass' die Arbeiten von Bour nicht' aus denen von J aco bi hervorgegangen
sind, welche letzteren erst im Jahre 1862 veröffentlicht wurden. Lioll
ville, Bour und Donkin hatten um 1853 und 1854 die Fundamental
sätze der Nova methodus gefunden, ohne Kenntniss von der letzteren zu
haben. Im vierten Kapitel geben wir die bewundernswerth eleganten, yon
Clebsch herrührenden und im Jahre 1866 veröffentlichten Rechnungen
wieder, in denen der ausgezeichnete Algebraiker eine bemerkenswerthe Ver
einfachung der .T aco bi'schen Methode kennen lehrt.
Das fünfte und sechste Kapitel sind Methoden gewidmet, welche eine
Änderung der Veränderlichen zur Voraussetzung haben. Bei der Methode
von Korkille (1868), welche auf die nichtlineareIl simultanen Gleichungen
Anwendung findet, verfügt man über die willkürliche Function, welche in
das allgemeine Integral einer der gegebenen Gleichungen eingeht, derart,
dass dadurch den andern Gleichungen genügt wird; man transformirt so
das System in ein anderes, welches eine Gleichung und eine Yeränderlichp
weniger enthält. Die Rechnungen, zu denen wir beim Beweise der Principien
dieser Methode geführt worden sind, würden ausserordentlich weitläufig
sein, wenn wir nicht ausgedehnten Gebrauch von der Theorie der Deter
minanten gemacht hätten. Die Methode von Boole (1863), welche nur
auf lineare Gleichungen anwendbar ist, geht ungefähr in derselben 'Weise
vor, wie diejenige von Korkine. Sie ist im letzten Paragraphen des
fünften Kapitels auseinandergesetzt. Die Methode von l1ayer (1872),