Theorie der Limitierungsverfahren

326 Pages·1970·12.098 MB·German

by  Prof. Dr. K. Zeller, Dr. W. Beekmann (auth.)

Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete
Band 15
Herausgegeben von
P. R. Halmos . P.]. Hilton' R. Remmert· B. SZ6ke£a1vi-Nagy
Unter Mitwirkung von
L.V.Ahlfors . R. Baer . F. L. Bauer' R. Courant
A.Dold· ].L.Doob· S.Eilenberg· M.Kneser· G. H. Miiller
M. M. Postnikov . B. Segre . E. Sperner
J.
Geschaftsfiihrender Herausgeber: P. Hilton
K. Zeller . W. Beekmann
Theorie der
Limitierungsverfahren
Zweite, erweiterte und verbesserte Auflage
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1970
Prof. Dr. K. ZELLER
Mathcmatiac:hea Institut der Univcrsitit Tiibingen
Dr. W. BEEKMANN
Mathcmatischcs Institut cler Univcrsitit Tiibingen
ISBN 978-3-642-88471-9 ISBN 978-3-642-88470-2 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-88470-2
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Verlag zu vereinbaren isto.
@ by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1970. Ll'brary of Congress Catalog Card Number 77 -124610.
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1970
Titel-Nr. 4559
Gessmtbcrstellung: Briihlsche Universititsdruckerei, GieBen
K.KNOPP UND G.LORENTZ
GEWIDMET
Vorwort zur zweiten AuDage
Die freundliche Aufnahme, die das Buch gefunden hat, ermoglichte
eine zweite Auflage. Dabei stellte sich nattirlich der Wunsch ein, das
Literaturverzeichnis forlzufiihren und den Text zu erganzen. Diese Auf
gabe hat W. BEEKMANN tibemommen.
Es erschien zweckmaBig, die Erganzungen in einem Anhang zu brin
gen. Der Anhang gliederl sich nach den Abschnitten des urspriinglichen
Textes und skizzierl die neueren Entwicklungen. Der Leser erhiilt so
einen raschen Uberblick tiber die von 1956 bis 1968 in den verschiedenen
Teilgebieten erzielten Forlschritte.
1m alten Text wurden einzelne Verbesserungen vorgenommen. Ftir
groBere oder wesentliche Anderungen hatte sich keine Notwendigkeit
ergeben. Allen Lesem, die sachliche Verbesserungsvorschlage machten,
sei an dieser Stelle herzlich gedankt.
Die Zielsetzung des Berichts blieb unveranderl. Behandelt wird die
Theorie der Limitierungsverfahren im Rahmen der (auch bei den Refe
ratenorganen) tiblichen Stoffabgrenzung. Zentrale Resultate werden
hervorgehoben, daran schlieBen Bemerkungen tiber weiterftihrende
Untersuchungen an. Der Leser soll so einen ersten Einblick in die Lite
ratur erhalten. An Hand der im Verzeichnis genannten Referate kann
er sich iiber die zitierten Arbeiten genauer informieren.
In der Limitierung gibt es noch viel Neuland zu erforschen; wichtig
ist aber auch das "Kultivieren des Altlandes" (iibersichtliche, metho
dische, abschlieBende Behandlung von Problemkreisen). Wir hoffen, daB
der Bericht Arbeiten in beiden Richtungen anregen und erleichtem wird.
Ttibingen, im Friihjahr 1970
WoHgang Beekmann
Karl Zeller
Vorwort zur ersten Aufiage
Herrn Professor F. K. SCHMIDT und dem Verlag danke ich, daB sie
dieses Buch anregten und in die Sammlung "Ergebnisse der Mathematik"
aufnahmen, obwohl es sich von anderen Banden der Sammlung stark
unterscheidet. Die Limitierungstheorie ist namIich so weit verzweigt,
die Literatur so umfangreich, daB es mir nicht moglich war, eine abge
schlossene Darstellung zu geben. Der Bericht verfolgt den bescheideneren
Zweck, den Leser an die Literatur heranzufiihren und ihm eigene Arbeiten
zu erleichtem.
In erster Linie betrachte ich Matrixtransformationen gewohnlicher
Zahlenfolgen und die zugehOrigen Limitierungsverfahren. Allgemeine
Aussagen werden betont, spezielle Verfahren verhaItnismaBig kurz be
handelt; der Aufbau des Buches ist wesentlich bestimmt durch die grund
iegenden funktionalanalytischen Untersuchungen von S. MAZUR und
W. ORLICZ. Auf die Anwendungen der Limitierung konnte ich nur am
Rande eingehen.
Es bedeutete einen unschatzbaren Vorteil, daB ich den hiesigen
Bibliotheken fast alle benotigten Zeitschriften zur Verftigung hatte.
Herr Professor J. E. HOFMANN half bei der Abfassung des Abschnittes
tiber Geschichte der Limitierung. Herr Professor W. MEYER-KoNIG
und Herr Dozent D. GAIER gaben mir zahlreiche wertvolle Ratschlage.
Vor allem aber gilt mein Dank meinen verehrten Lehrem, deren EinfluB
tiberall in diesem Buche hervortritt: K. KNOPP t und G. LORENTZ.
Ttibingen, im Herbst 1956
Karl Zeller
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . 1
Erstes Kapitel
Grundbegriffe der Limitierung
1. Zusammenfassung. . . . . . . . 2
2. Geschichte der Limltierungstheorie 2
3. Allgemeine Limitierungstheorie . 4
4. Matrixverfahren 6
5. Hauptprobleme ..... 9
6. Nichtmatrixverfahren . . 11
7. Absolute Limitierbarkeit 13
8. Limitierung von Mehrfachfolgen 14
9. Integraltransformationen 16
10. Sonstiges . . . . . . . . . . 18
Zweites Kapitel
Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis
11. Zusammenfassung. . . . . 19
12. Lineare Riiume. . . . . . 20
13. Einfache Siitze uber lmeare Raume 22
14. Das Fortsetzungsprinzip . 24
15. Stetigkeitssatze. . . . 25
16. Grundmenge und Basls 28
17. FJ{-Raume ..... 29
18. Matrizenrechnung. . . 31
19. BANAcH-Algebren und FOURIER-Transformation 34
20. Sonstiges .. . . . . . . . . . . . . . 37
Drittes Kapitel
Struktur von Wirkfeldern
21. Zusammenfassung. 37
22. Wirkfelder als FJ{-Raume . 38
23. Perfekte Verfahren . . . . 40
24. Abschnittskonvergenz . . . 42
25. Allgemeine Limitierbarkeltskriterien 45
26. Einfolgenverfahren . . . . 48
27. Vorgeschriebenes Wirkfeld . 49
28. InaqUlvalenzsatze. . 51
29. Beschrankte Folgen. 53
30. Sonstiges . . . . . 55
x
Inhaltsverzeichnis
Viertes Kapi tel
Direkte Sitze
31. Zusammenfassung 55
32. EinschlieBungssatze . 56
33. Kernsatze . . . . . 59
34. Konvergenzfaktoren. 61
35. Vergleichssatze . . . 63
36. Vertraglichkeit . . . 66
37. Varianten der Vergleichssatze 68
38. Translation und Umordnung . 69
39. Multiplikationssatze . 71
40. Sonstiges . . . . . 72
Fiinftes Kapitel
Umkehrsstze
41. Zusammenfassung. . . . . . 73
42. Wachstumsbedingungen . . . 74
43. Konvergenzgleiche Verfahren 76
44. Liickenumkehrsatze. . . . . 78
45. Elementare Umkehrsatze 81
46. Optimale Umkehrbedingungen 84
47. Tieferliegende Umkehrsatze . 85
48. Die Methoden von LITTLEWOOD, WIENER, KARAMATA und SCHMIDT 88
49. Funktionentheoretische Umkehrsatze und Beweise 91
50. Sonstige Umkehrsatze. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
Sechstes Kapitel
Verfahren vom Cesaro-Abel-Typ
51. Zusammenfassung. . . . . . . . . 9[1
52. Arithmetische und bewichtete Mittel 100
53. CEsARo-Verfahren ..... . 104
54. HOLDER- und CESARO-Verfahren 107
1'>5. Das ABEL-Verfahren 110
56. Mehrfachfolgen . . . . . . . 113
57. Int egraltransformat ionen 115
58. Die LAPLAcE-Transformation 118
59. RIESZ- und DIRICHLET-Verfahren . 120
60. Sonstiges . . . . . . . 124
Siebentes Kapitel
Verfahren funktionentheoretiscben Typs
61. Zusammenfassung 125
62. Zweierverfahren . . . . . . . . 125
63. Das NORLuND-Verfahren 127
64. Die Verfahren von EULER-KNOPP 130
65. Allgemeine EULER-Verfahren. . 132
66. BOREL-Verfahren ...... . 134
67. Varianten des BOREL-Verfahrens 138
68. Kreisverfahren . . . . . 140
69. Analytische Fortsetzung. 145
70. Sonstiges . . . . . . . 146
Inhaltsverzeichnis XI
Achtes Kapitel
Weitere Verfahren und Klassen
71. Zusammenfassung .......... . 147
72. HAUSDoRFF-Verfahren. . . . . . . . . . 147
73. Das Verfahren von DE LA VALLEE-POUSSIN 153
74. GRONwALL-Verfahren . . . . . . 155
75. ROGOSINSKI -BERNSTEIN -Verfahren 156
76. RIEMANN-Verfahren ..... 158
77. Zahlentheoretische Verfahren 160
78. WIENER-Verfahren . . 161
79. Klassen von Verfahren 164
80. Sonstiges . . . . . . 165
Erglinzungen
6. Nichtmatrixverfahren . . . . . . . . 167
7. Absolute Limitierung . . . . . . . . 168
8.-9. Mehrfachfolgen, Integralverfahren 168
10. Sonstiges , . . . . . . 168
18. Matrizenrechnung 168
22. Wirkfelder als FK-Raume 169
23. Perfekte Verfahren . . . 170
24. Abschnittskonvergenz. . 170
25. Allgemeine Limitierbarkeitskriterien 171
26. Einfolgenverfahren . . . . 171
27. Vorgeschriebenes Wirkfeld 171
28. Inaquivalenzsatze 172
29. Beschrankte Folgen . 172
32. EinschlieBungssatze . 173
33. Kernsatze . . . . . 173
34. Konvergenzfaktoren 173
35. Vergleichssatze. . . 174
36. Vertraglichkeit. . . 174
37. Varianten der Vergleichssatze 174
38. Translation und Umordnung 175
39. Multiplikation . . . . . . . 175
42. Wachstumsbedingungen. . . 175
43. Konvergenzgleiche Verfahren 175
44. Llickenumkehrsatze 176
45.-47. Umkehrsatze . . . . . 176
48. Die Methoden von LITTLEWOOD, WIENER, KARAMATA und SCHMIDT 177
49. Funktionentheoretische Umkehrsatze und Beweise 177
50. Sonstige Umkehrsatze. . . . . . . 177
52. Arithmetische und bewichtete Mittel 178
53. CESARO-Verfahren . . . . . . 178
54. HOLDER- und CEsARo-Verfahren 179
55. ABEL-Verfahren 179
56. Mehrfachfolgen. . . . . . . . 180
XII Erganzungen
57. Integralverfahren . ..... 181
58. Die LAPLAcE-Transformation 181
59. RIESZ- und DIRICHLET-Verfahren 182
62. Zweier-Verfahren. . . . . . 183
63. NORLuND-Verfahren 183
64. Verfahren von EULER-KNOPP 184
65. Allgemeine EULER-Verfahren 185
66. BOREL-Verfahren. . . . . . 185
67. Varianten des BOREL-Verfahrens 186
68. Kreisverfahren . . . . . . . . 187
69. Analytische Fortsetzung. . . . 188
70. Sonstiges. ]AKIMOvsKI-Verfahren 188
72. HAUSDoRFF-Verfahren 190
73. Das Verfahren von DE LA VALdm-PousSIN 191
74. Gronwall-Verfahren. . . . . . . 191
75. ROGOSINSKI -BERNSTEIN -Verfahren 191
76. RIEMANN-Verfahren 192
77. Zahlentheoretische Verfahren 193
Literaturverzeichnis 194
Sachverzeichnis 302
Verzeichnis der Verfahren 307
Verzeichnis der Satze 309
Bezeichnungen 313