Theorie der Limitierungsverfahren

249 Pages·1958·9.512 MB·German

by  Karl Zeller (auth.)

ERGEBNISSE DER MATHEMATIK
UND IHRER GRENZGEBIETE
UNTER MITWIRKUNG DER SCHRIFTLEITUNG DES
"ZENTRALBLATT FÜR MATHEMATIK"
HERAUSGEGEBEN VON
L.V.AHLFORS· R.BAER· R.COURANT· J.L.DOOB· S.EILENBERG
P. R. HALMOS· M. KNESER . T. NAKAY AMA . H. RADEMACHER
F. K. SCHMIDT· B. SEGRE . E. SPERNER
====== ======
NEUE FOLGE· HEFT 15
THEORIE DER
LIMITIERUNGSVERFAHREN
VON
KARL ZELLER
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
.ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER üBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRüCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (pHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN
© SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1958
URSPRÜNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG BERLIN • GÖTTINGEN • HEIDELBERG 1958
ISBN 978-3-642-52768-5 ISBN 978-3-642-52767-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52767-8
MEINEN LEHRERN
K. KNOPP t UND G. LORENTZ
GEWIDMET
Vorwort
Herrn Professor F. K. SCHMIDT und dem Verlag danke ich, daß sie
dieses Buch anregten und in die Sammlung "Ergebnisse der Mathematik"
aufnahmen, obwohl es sich von andern Bänden der Sammlung stark
unterscheidet. Die Limitierungstheorie ist nämlich so weit verzweigt,
die Literatur so umfangreich, daß es mir nicht möglich war, eine abge
schlossene Darstellung zu geben. Der Bericht verfolgt den bescheideneren
Zweck, den Leser an die Literatur heranzuführen und ihm eigene Arbeiten
zu erleichtern.
In erster Linie betrachte ich Matrixtransformationen gewöhnlicher
Zahlenfolgen und die zugehörigen Limitierungsverfahren. Allgemeine
Aussagen werden betont, spezielle Verfahren verhältnismäßig kurz be
handelt; der Aufbau des Buches ist wesentlich bestimmt durch die grund
legenden funktionalanalytischen Untersuchungen von S. MAZUR und
W.ORLICZ. Auf die Anwendungen der Limitierung konnte ich nur am
Rande eingehen.
Es bedeutete einen unschätzbaren Vorteil, daß ich in den hiesigen
Bibliotheken fast alle benötigten Zeitschriften zur Verfügung hatte.
Herr Professor J. E. HOFMANN half bei der Abfassung des Abschnittes
über Geschichte der Limitierung. Herr Professor W. MEYER-KöNIG
und Herr Dozent D. GAIER gaben mir zahlreiche wertvolle Ratschläge.
Vor allem aber gilt mein Dank meinen verehrten Lehrern, deren Einfluß
überall in diesem Buche hervortritt: K. KNOPP t und G. LORENTZ.
Tübingen, im Herbst 1956
Karl Zeller
Inhaltsverzeichnis
Seite
Einleitung . . . . . . . 1
Erstes Kapitel
Grundbegriffe der Limitierung
1. Zusammenfassung. . . . . . . . 2
2. Geschichte der Limitierungstheorie 2
3. Allgemeine Limitierungstheorie . 3
4. Matrixverfahren 6
5. Hauptprobleme . . . . . 9
6. Nichtmatrixverfahren . . 11
7. Absolute Limitierbarkeit 13
8. Limitierung von Mehrfachfolgen 14
9. Integraltransformationen 16
10. Sonstiges . . . . . . . . . . 18
Zweites Kapitel
Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis
11. Zusammenfassung. . . . . 19
12. Lineare Räume. . . . . . 20
13. Einfache Sätze über lineare Räume 22
14. Das Fortsetzungsprinzip . 24
15. Stetigkeitssätze . 25
16. Grundmenge und Basis 28
17. FK-Räume ..... 29
18. Matrizenrechnung. . . 31
19. BANAcH-Algebren und FOURIER-Transformation 34
20. Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . 37
Drittes Kapitel
Struktur von Wirkfeldern
21. Zusammenfassung. 37
22. Wirkfelder als FK-Räume . 38
23. Perfekte Verfahren . . . . 40
24. Abschnittskonvergenz . . . 42
25. Allgemeine Limitierbarkeitskriterien 45
26. Einfolgenverfahren . . . . 48
27. Vorgeschriebenes Wirkfeld . 49
28. Inäquivalenzsätze. 51
29. Beschränkte Folgen. 53
30; Sonstiges . . . . . 55
-------------------
Inhaltsverzeichnis VII
Viertes Kapitel
Direkte Sätze Seite
31. Zusammenfassung 55
32. Einschließungssätze 56
33. Kernsätze . . . . 59
34. Konvergenzfaktoren . 61
35. Vergleichssätze . . . 63
36. Verträglichkeit . . . 66
37. Varianten der Vergleichssätze 68
38. Translation und Umordnung . 69
39. Multiplikationssätze . 71
40. Sonstiges . . . . . 72
Fünftes Kapitel
Umkebrsätze
41. Zusammenfassung. . . . . . 73
42. Wachstumsbedingungen . . . 74
43. Konvergenzgleiche Verfahren 76
44. Lückenumkehrsätze . . . . . 78
45. Elementare Umkehrsätze 81
46. Optimale Umkehrbedingungen 84
47. Tieferliegende Umkehrsätze . 85
48. Die Methoden von LITTLEWOOD, WIENER, KARAMATA und SCHMIDT 88
49. Funktionentheoretische Umkehrsätze und Beweise 91
50. Sonstige Umkehrsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Sechstes Kapitel
Verfabren von Cesaro-Abel-Typ
51. Zusammenfassung. . . . . . 99
52. Arithmetische und bewichtete Mittel 100
53. CEsARo-Verfahren. . . . . . . 104
54. HÖLDER- und CESARO-Verfahren 107
1\5. Das ABEL-Verfahren 110
56. Mehrfachfolgen . . . . . . . 113
57. Integraltransformationen 115
58. Die LAPLAcE-Transformation 118
59. RIESZ- und DIRICHLET-Verfahren. 120
60. Sonstiges . . . . . . . 124
Siebentes Kapitel
Verfabren funktionentbeoretiscben Typs
61. Zusammenfassung 125
62. Zweierverfahren . . . . . . . . 125
63. Das NÖRLuND-Verfahren 127
64. Die Verfahren von EULER-KNoPp 130
65. Allgemeine EULER-Verfahren. . 132
66. BOREL-Verfahren . . . . . . . 134
67. Varianten des BOREL-Verfahrens 138
68. Kreisverfahren . . . . . 140
69. Analytische Fortsetzung. 145
70. Sonstiges . . . . . . . 146
VIII Inhaltsverzeichnis
Achtes Kapitel
Weitere Verfahren und Klassen Seite
71. Zusammenfassung .......... . 147
72. HAusooRFF-Verfahren. . . . . . . . . . 147
73. Das Verfahren von OE LA VALLEE-POUSSIN 153
74. GRoNwALL-Verfahren ..... . 155
75. ROGOSINSKI -BERNSTEIN -Verfahren 156
76. RIEMANN-Verfahren ..... 158
77. Zahlentheoretische Verfahren 160
78. WIENER-Verfahren . . 161
79. Klassen von Verfahren 164
80. Sonstiges 165
Literaturverzeichnis 167
Sachverzeichnis 231
Verzeichnis der Verfahren. 235
Verzeichnis der Sätze. 237
Bezeichnungen. . . . 241
Einleitung
Das Buch ist in acht Kapitel (I-VIII) eingeteilt, von denen jedes
zehn Nummern umfaßt (1---80). Die erste Nummer eines Kapitels gibt
jeweils eine Übersicht. Sätze (I, II, ... ) und Formeln ((1), (2), ...)
sind nur innerhalb einer Nummer durchgezählt. Verschiedene Register
(Literatur, Begriffe, Verfahren, Sätze, Bezeichnungen) sollen die Be
nützung des Berichtes erleichtern.
In Kapitel I grenzen wir unseren Stoff ab, definieren die Grundbe
griffe und formulieren die Hauptproblerne. Wir befassen uns haupt
sächlich mit der Limitierung von (allgemeinen) Zahlenfolgen, wozu wir
vornehmlich Matrixtransformationen benützen. Nur am Rande betrach
ten wir Nichtmatrixverfahren, absolute Limitierung, Mehrfachfolgen,
Integraltransformationen und Anwendungen.
Wir betonen die allgemeine Theorie, die von TOEPLITZ, HAHN,
ÜRLICZ, MAZUR, BANACH, WIENER, HILL, LORENTZ, BRUDNo, AGNEw,
DAREVSKY, COOKE und anderen gefördert wurde. Daher behandeln
wir in Kapitel 11 recht ausführlich die funktional-analytischen Grundlagen
(B- und F-Räume, BANAcH-Algebren), um dann in KapitelIII Schlüsse
auf die Struktur von Wirkfeldern zu ziehen (Approximation von Folgen,
Limitierbarkeitskriterien, mögliche Wirkfelder) .
Entscheidend für das nächste Kapitel (IV) sind der Satz von TOEPLITZ
(über Permanenz von Verfahren) und seine Varianten, die zu Vergleichs
sätzen - im weitesten Sinn - und damit zu weiteren Strukturaussagen
(Konvergenzfaktoren, Translation, Reihenmultiplikation) führen. Schär
fere Hilfsmittel benötigen wir in Kapitel V (Umkehrsätze), wo es darum
geht, aus Eigenschaften der transformierten Folge meist mit Hilfe von
Nebenbedingungen auf solche der Urfolge zurückzuschließen. Die hier
für entwickelten Methoden betrachten wir unter möglichst einheitlichem
Gesichtspunkt.
Die folgenden Kapitel wenden die allgemeine Theorie auf spezielle
Verfahren an (CESARO-, ABEL-Verfahren u. ä. in VI; EULER-, BOREL
Verfahren u. ä. in VII; sonstige Verfahren und Klassen in VIII). Dabei
wiederholen wir jedoch gut anwendbare allgemeine Ergebnisse nicht
mehr bei den einzelnen Verfahren - ausführlicher ist diese Einteilung
in 51 erläutert. Auch unterdrücken wir die meisten Rechnungen.
Das Buch will einen Überblick über die Limitierungstheorie und ihre
Methoden verschaffen und an die Literatur heranführen. Formuliert
Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 15, Zeller. 1
2 1. Grundbegriffe der Limitierung
sind daher typische, leicht verständliche Sätze - der Vollständigkeit
halber auch einige recht einfache Aussagen -, und von den Beweisen
wurden nur die Grundzüge .wiedergegeben. Verschärfungen, Verall
gemeinerungen, vollständige Beweise findet der Leser in der zitierten
Literatur, über die er sich mit Hilfe der im Verzeichnis genannten Refe
rate vorher noch genauer informieren kann. Vom Leser wird eine gewisse
Vorbildung erwartet, da auch manche Definitionen, Erläuterungen usw.
knapp gefaßt sind und Vorverweise auftreten.
Das Literaturverzeichnis sollte im Rahmen unserer Stoffabgrenzung
einigermaßen vollständig sein. Jedoch konnte nicht an jeder Stelle im
Text die gesamte in Frage kommende Literatur angeführt werden. Auch
ist bei einem Bericht der vorliegenden Art die Möglichkeit von Fehlern
und Lücken besonders groß. Für alle Hinweise auf Verbesserungsmög
lichkeiten bin ich sehr dankbar. Bei Gelegenheit werde ich das Verzeich
nis in der Mathematischen Zeitschrift fortführen.
Erstes Kapitel
Grundbegriffe der Limitierung
1. Zusammenfassung
Nach einem kurzen geschichtlichen überblick (2) erläutern wir in 3
die Grundbegriffe der Limitierung und grenzen das in diesem Buch
behandelte Gebiet ab: Wir untersuchen hauptsächlich die in 4 bespro
chenen Matrixverfahren bei allgemeinen Folgen und die in 5 genannten
Hauptprobleme (Einschließungs-, Vergleichs-, Umkehrsätze). Die fol
genden fünf Nummern bringen Dinge, die wir im Rest des Buches nur
mehr streifen werden: Nichtmatrixverfahren (6), absolute Limitierbar
keit (7), Mehrfachfolgen (8), Integraltransformationen (9), Anwendungen,
Funktionenfolgen, abstrakte Transformationen, Ungleichungen, be
stimmte asymptotische Sätze, Produkte (10).
2. Geschichte der Limitierungstheorie
Das Gebiet der unendlichen Reihen geht auf Wurzeln in der antiken
Mathematik zurück (siehe BECKER-HoFMANN [51*J und HOFMANN
(1957*)): Auswertung von Summenausdrücken, Zerlegung von Funk
tionen, Irrationalitätsüberlegungen, Inhaltsberechnungen (z. B. ARcHI
MEDES). Um 1200, vor allem aber nach 1600, wurden diese überlegungen
wieder aufgenommen (siehe auch REIFF [89*J). Wir nennen FERMAT,
MENGOLI, GREGORY (der schon von Konvergenz spricht), NEWTON,
LEIBNIZ. Solange man Reihen in einfachen anschaulichen Problemen
verwandte, ergaben sich von selbst nur konvergente Reihen. Die
2. Geschichte der Limitierungstheorie 3
Funktionenreihen führten dann zwangsläufig zu divergenten Reihen, zu
deren Benützung die Erfolge des Kalküls verleiteten. Die sich nun an
bahnende Entwicklung ist geschildert bei PRlNGSHElM [98*J, BOREL
[01*, 28*J, BURKHARDT [l1J, SM AlL [25*J, MooRE [38*J, HARDY [49*].
]ACOB BERNOULLI, GRANDl und LEIBNlZ behandeln um 1700 die aus
+ +
der Reihe für 1/(1 x) zu erhaltende Gleichung 1/2 = 1 - 1 1 -
+ . ..
1 Die Leibnizschen Betrachtungen (lex continuitatis, Wahr
scheinlichkeitsüberlegungen) erinnern an die Limitierungsverfahren Al
und Cl (55, 52). GOLD BACH verwendet 1727 Reihenmultiplikation zur
Transformation divergenter Reihen (vgl. Zl,) in 62). Vor allem bedient
sich EULER weitgehend divergenter Reihen, wobei er die "Summations
methoden" der stetigen bzw. analytischen Fortsetzung ausbaut; vgl. 55
und 64 sowie die Abhandlungen von J. E. HOFMANN (1956, 1957, 1958).
D'ALEMBERT, DANIEL BERNOtJLLI, LAGRANGE und RAABE gebrauchen
um 1800 die arithmetischen Mittel (Cl)' teilweise im Vergleich zum
"ABEL-Verfahren" (woran FROBENIUS [80J mit der ersten modernen
Limitierungsarbeit anschließt). HUTToN schlägt 1812 die Transfor
mation Zt (siehe 62) vor. Auch PorSSON benützt 1823 das "ABEL-Ver
fahren" bei FouRIER-Reihen. Alle diese Arbeiten entbehren jedoch der
heutigen Strenge; die Transformationen werden mehr als Rechen
hilfsmittel denn zur Untersuchung von Konvergenzfragen eingesetzt.
Überhaupt war der Konvergenzbegri// noch nicht geklärt.
So fehlt es auch nicht an warnenden Stimmen. LEIBNlZ lehnt es
+
ab, daß WOLFF sogar Reihen wie 1 - 2 4 - ... behandelt. Selbst
EULER möchte einer divergenten Reihe keine eigentliche Summe zu
ordnen. Sehr kritisch sind V ARIGNON und D' ALEMBERT. N. BERNOULLI,
CALLET und LAGRANGE weisen auf mögliche Vieldeutigkeiten bei der
Eulerschen "Summendefinition" hin. LAPLACE spricht bezüglich diver
genter Reihen von Illusionen.
+
Schon GRANDl leitete aus 1/2 = 1 - 1 1 - . .. die Gleichung
0= 1/2 ab, was die Möglichkeit der Erschaffung der Welt aus dem
Nichts beweisen soll. Später bemerkte man weitere Widersprüche, die
durch das Rechnen mit divergenten Entwicklungen entstehen, wobei
allerdings oft Operationen verwendet wurden, die selbst im Falle der
Konvergenz unzulässig sind. Mit FOURIER, GAUSS, BOLZANO beginnt
dann um 1810 die Periode der exakten Behandlung der Reihen. CAUCHY,
POlNSOT und ABEL (um 1825) verwarfen die divergenten Reihen; einer
seits mit sehr scharfen Worten (Erfindung des Teufels), andererseits mit
gewissem Widerstreben, weil sie doch wertvolle Resultate geliefert hatten.
Durch ihre Grenzwertsätze legten ja auch CAUCHY und ABEL den Grund
für die neuzeitliche Limitierung. In Deutschland und England ging
dann noch einige Zeit eine Diskussion über divergente Reihen weiter.
Von 1850-1880 wurde es still um sie, bis zur Arbeit von FROBENIUS [80].
1*