Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen PDF
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DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON R. GRAMMEL. E. HOPF. H. HOPF. F. RELLICH F. K. SCHMIDT . B. L. VAN DER W AERDEN BAND LXXVII THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERANDERLICHEN VON HEINRICH BEHNKE UND FRIEDRICH SOMMER SPRINGER-VERLAG BERLIN . GOTTINGEN· HEIDELBERG 1955 THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERÄNDERLICHEN VON DR. HEINRICH BEHNKE o. O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT MUNSTER UND DR. FRIEDRICH SOMMER DOZENT AN DER UNIVERSITÄT MUNSTER MIT 59 ABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN . GOTTINGEN . HEIDELBERG 1955 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREUDE SPRACHEN, VORBEHALTEN OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHUIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOUECHANISCHEU WEGE (PHOTOKOPIE, UIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGE X © BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN • GÖTTINGEN • HEIDELBERG • 1955 SOFTCOVERREPRlNT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1955 ISBN 978-3-642-52811-8 ISBN 978-3-642-52810-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-52810-1 BRÜHLSCHE UNIVERSITÄTSDRUCKEREI GIESSEX Vorwort. Die vorliegende Darstellung der klassischen Funktionentheorie ist aus Nachschriften, die wir seit geraumer Zeit von unseren Vorlesungen anfertigen ließen, entstanden. Hieraus ergibt sich schon, an welche Leser wir zunächst gedacht hatten. Es sind die Studenten, die, mit welchem Ziel auch immer, sich einer mehrsemestrigen Ausbildung in der Funktionentheorie unterziehen wollen. Dabei darf dann voraus gesetzt werden, daß ihnen die Infinitesimalrechnung in der strengen Form vertraut geworden ist, in der sie heute für den Anfänger an den europäischen Universitäten gelehrt zu werden pflegt. Die zahlreichen Beispiele in den einleitenden Kapiteln sind vor allem mit Rücksicht auf die Studenten eingefügt worden. Nun wurde aber unser Manuskript immer umfangreicher. Wir ver folgten nämlich die Absicht, die Grundlagen der Funktionentheorie auf RIEMANNschen Flächen vollständig zu bringen. Das bedeutete, daß wir die Theorie auf den kompakten RIEMANNschen Flächen bis einschließlich der Abelschen Integrale zu behandeln hatten. Die Theorie auf den nicht kompakten Flächen war entsprechend bis einschließlich der Verallgemei nerung des RUNGEschen Satzes (des allgemeinen Approximationssatzes) aufzubauen. So mußten wir in wachsendem Maße auch an den Leser denkel)., der nach einer abgeschlossenen mathematischen Ausbildung das Buch zur Hand nimmt, um es wegen einer speziellen Frage zu kon sultieren, und sich nicht der Mühe unterziehen kann, es von Anfang an zu lesen. An der Brauchbarkeit des Buches für den Fachmann im wei teren Sinne bei seiner täglichen Arbeit war uns besonders gelegen. Deshalb haben wir die Rückgriffe auf den vorher behandelten Stoff möglichst so beschrieben, daß ein fachlich vorgebildeter Leser (z. B. ein solcher, der die beiden leicht zugänglichen Bändchen von K. KNOPp gelesen hat) nicht unbedingt die besondere Art der Darstellung in unseren einführenden Kapiteln kennen muß. Auch haben wir uns möglichst solcher Begriffe und Benennungen enthalten, die in der Fachliteratur nicht allgemein üblich sind. Doch gibt es einige Ausnahmen bei sich zur Zeit durchsetzenden Begriffen. So haben wir das Wort "holomorph" an Stelle von "regulär" oder "regulär-analytisch" gewählt, da es bereits in vielen Sprachen allgemein üblich geworden ist. Vielleicht entsteht so eine einheitliche internationale Bezeichnung für den grundlegendsten Begriff der Funktionentheorie. Häufiger ergaben sich Berührungspunkte mit anderen Disziplin~n, wie der Verbandstheorie, der Algebra, der algebraischen Geometrie, der Theorie linearer Vektorräume, ohne daß wir gezwungen waren, ihre VI Vorwort. Ergebnisse unbewiesen zu übernehmen. Eine Ausnahme macht hier lediglich die Flächentopologie mit ihren einleuchtenden Aussagen, deren subtile Beweise aber, ganz aus der Funktionentheorie herausfallend, den Umfang des Buches zu sehr vergrößert hätten. So haben wir im ersten Kapitel u. a. auf den Beweis des JORDANschen Kurvensatzes verzichtet und auch im Anhang des fünften Kapitels geläufige Tatsachen aus der elementaren Flächentopologie ohne Beweis benutzt. Am Ende der wichtigsten Paragraphen haben wir spezielle weiter führende Literatur angegeben (ohne dabei Vollständigkeit anstreben zu können). Wie es bei einem Lehrbuch Brauch ist, finden sich in unserer Darstellung darüber hinaus nur in einzelnen Fällen weitere Zitate. Natürlich kämen die Verfasser auch in Verlegenheit, wenn sie angeben sollten, aus welchem Buch oder welcher Arbeit sie dieses oder jenes erlernt haben; ist es doch ein Charakteristikum, das den Vertretern unserer Wissenschaft eigen ist, daß sie ganz und gar nicht philologisch arbeiten. Oft schon pflegen sie bei der ersten Wiedergabe von Original darstellungen alles so zu wandeln, zu analysieren und zu verschmelzen, daß von dem Satz eines Autors in der fremden Wiedergabe nicht viel mehr als die Benennung die gleiche bleibt. Der ältere der beiden Verfasser möchte an dieser Stelle nicht versäumen, seiner beiden Lehrer CONSTANTIN CARATHEODORY und ERICH HECKE zu gedenken. Mit CARATHEODORY stand er über zwanzig Jahre in einer nie abbrechenden Aussprache und Korrespondenz zu den verschie densten Fragen der Funktionentheorie. ERICH HECKE schuldet er die dauernde Mahnung, die wesentliche Erkenntnis über das logisch Formale zu stellen. Im übrigen aber gehen natürlich die geistigen Wurzeln dieser Dar stellung, wie die vieler Darstellungen aus der Funktionentheorie, be sonders auf das Vermächtnis von RIEMANN und WEIERSTRASS zurück. Es ist den Verfassern weniger durch die Originalschriften als schon in der abgewandelten Form überliefert, in der es in den großen deutsch sprachigen Lehrbüchern der letzten fünfzig Jahre dargestellt ist. Das sind vor allem die Werke von OSGOOD (die erste Auflage erschien 1906), BIEBERBACH (1921) und HURWITZ-COURANT (1922). Aus jedem dieser Bücher haben wir vieles gelernt, und gegen jedes grenzt sich unsere Darstellung ab. So ist gegenüber dem Band von HURWITz-COURANT, der von den großen Meistern der Funktionentheorie des 19. Jahr hunderts noch am unmittelbarsten beeinflußt ist, zu erwähnen, daß uns die Verschmelzung der RIEMANNschen und WEIERSTRASsschen Auf- Vorwort. VII fassung, . die axiomatische Einführung der RIEMANNschen Flächen und die Aufstellung der Abelschen Integrale ohne Rückgriff auf die DIRICHLET sehen Integrale und damit die reelle Analysis (was erst durch die Unter suchungen von O. TEICHMÜLLER ermöglicht ist) wesentliche Anliegen waren. Maßgeblich war uns sodann selbstverständlich das Meisterwerk des jungen HERMANN WEYL: "Die Idee der RIEMANNschen Fläche". In einem besonderen Sinn sind die Verfasser auch durch die heutige Forschung beeinflußt worden. In der Funktionentheorie mehrerer Ver änderlichen hat auch die Funktionentheorie einer komplexen Veränder lichen als ihr einfachster Spezialfall eine neue Gestalt gefunden. Wenn nun auch in diesem Buch die Funktionentheorie mehrerer Veränder lichen nicht behandelt wird, so haben die Verfasser als Mitarbeiter an dieser schnell wachsenden Theorie doch an manchen Stellen die dort gewonnene Sicht ausgenutzt, um sine ira et studio die ihnen für dieses Lehrbuch am geeignetsten erscheinende Darstellung zu finden. Angeregt durch die Erfahrungen des jüngeren der beiden Verfasser während einer längeren Tätigkeit in den Laboratorien eines großen In dustrieunternehmens, sind wir auch darauf bedacht gewesen, diejenigen Teile der Funktionentheorie ausführlich zu behandeln, die in den An wendungen gebraucht werden. Der Umfang des Buches und die einheitliche Darstellung, auf die wir besonderen Wert legten, machten es uns jedoch unmöglich, den modernen Zweig der "eindeutigen analytischen Funktionen" darzu stellen. Wir konnten aber darauf verzichten, da inzwischen die zweite Auflage des ausgezeichneten Buches von R. NEVANLINNA erschienen ist. Da sich die Anfertigung des Manuskriptes natürlich auf viele Jahre erstreckte, so gibt es zahlreiche junge Mitarbeiter des Mathe matischen Instituts der Universität Münster, die uns in umfangreichem Maße geholfen haben. Ihnen allen sei unser Dank ausgesprochen, ohne daß es uns möglich ist, jeden einzelnen namentlich zu erwähnen. Doch müssen wir besonders die Herren Dr. R. REMMERT, Dr. W. L. SCHMIDT, F. DocgulER und G. STIENECKER nennen, da sie uns manche mathe matisch wertvollen Vorschläge gemacht hahen. Dem Verlag haben wir ausdrücklich dafür zu danken, daß er alle unsere Wünsche in großzügiger Weise erfüllt hat. H.BEHNKE F.SoMMER Münster (Westf.), 1. August 1955. Schloßplatz 2 Zur Technik der Darstellung. Das Buch ist eingeteilt in Kapitel und Paragraphen. Innerhalb eines Kapitels' sind die Sätze durchnumeriert, Formeln dagegen nur innerhalb eines Paragraphen. In Hinweisen auf andere Stellen des Buches wird das Kapitel mit römischen, der Paragraph mit arabischen Ziffern vorangestellt, also z. B.: (111, 2, Satz 5) für Satz 5 in § 2 des dritten Kapitels oder: (II, 3, (11)) für Formel (11) in § 3 des zweiten Kapitels. Bei Hinweisen im selben Kapitel fehlt die römische Ziffer, z. B.: (2, Satz 5) und bei Hinweisen im selben Paragraphen auch die arabische Ziffer, z. B.: (s. Satz 5). Sätze werden durch Sperrdruck hervorgehoben, neue Begriffe kursiv gedruckt, Beispiele und ergänzende Ausführungen in Kleindruck gesetzt. Die Umkehr funktion zu einer Funktion w = j(z) wird mit z = f (w) bezeichnet. Literaturangaben werden am Ende der zugehörigen Paragraphen gemacht, und Hinweise darauf beziehen sich auf die Angaben am Ende desselben Para graphen. Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. Analysis der komplexen Zahlen. § 1. Die komplexen Zahlen. . . . . . . . . . . . . § 2. Der unendlich ferne Punkt und der chordale Abstand 12 § 3. Punktmengen . . . . 20 § 4. Punktfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 5. Kurven und Gebiete ............. . 32 § 6. Stetige Funktionen einer komplexen Veränderlichen 39 § 7. Differentiation komplexer Funktionen 46 § 8. Kurvenintegrale . . . . 55 § 9. Folgen von Funktionen 70 § 10. Unendliche Reihen 82 § 11. Vertauschung von Grenzprozessen . 93 Zweites Kapitel. Die Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen. § 1. Der Begriff der Holomorphie. . . . . . . . . . . . . . 104 § 2. Der CAUCHYSche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . 105 § 3. Der Satz von RIEMANN. Die CAUCHYSchen Integralformeln 112 § 4. Unendliche Reihen holomorpher Funktionen. . . . . . . 121 § 5. Ergänzung reeller Funktionen zu holomorphen Funktionen 134 § 6. Ganze Funktionen .......... . 145 § 7. Normale Familien holomorpher Funktionen 149 Anhang. Harmonische Funktionen ..... 156 Drittes Kapitel. Die analytischen Funktionen, ihre singulären Stellen und ihre Entwicklungen. 1. Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . 166 2. Das SCHwARzsehe Spiegelungsprinzip . . . . . . 175 3. Singuläre Punkte. Die LAuRENTsehe Entwicklung. Meromorphe Funktionen. . . . . . . . . . . 178 § 4. Das Residuum . . . . . . . . . . . . . 190 § 5. Anwendungen des Residuenkalküls . . . . 195 § 6. Normale Familien meromorpher Funktionen 217 § 7. Partialbruchentwicklung meromorpher Funktionen 221 § 8. Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen. Holomorphiegebiete 234 § 9. Die Quotientendarstellung meromorpher Funktionen und der MITTAG- LEFFLERsche Anschmiegungssatz . . . . . . . . . . . . 242 § 10. Entwicklungen nach Polynomen und rationalen Funktionen 244 § 11. Fourierentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . 249 § 12. Entwicklungen nach Orthogonalfunktionen. . . . . . . 256 § 13. Quadratintegrierbare Funktionen als HILBERTscher Raum 278 § 14. Asymptotische Entwicklungen . . . . . . . . . . . . 282 x Inhaltsverzeichnis. Viertes KapiteL Konforme Abbildungen. § 1. Die Umkehrfunktionen. . . . . . . . . . . 295 § 2. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 302 § 3. Die linearen Transformationen . . 309 § 4. Transformationsgruppen . 316 § 5. Das SCHWARzsehe Lemma und die invarianten Metriken der linearen Transformationsgruppen . . . . . . 322 6. Innere Abbildungen mit Fixpunkten. . . . . . . . 330 7. Der RIEMANNsche Abbildungssatz ........ 336 8. Das Verhalten der Abbildungsfunktionen am Rande. 342 9. Spiegelungen und analytische Fortsetzung . . . . . 358 § 10. Die Familie der schlichten Funktionen. Verzerrungssätze . 372 Fünftes KapiteL Der Gesamtverlauf der analytischen Funktionen und ihre RIEMANNSchen Flächen. § 1. Beispiele mehrblättriger RIEMANNscher Flächen . 385 § 2. Allgemeine Einführung der RIEMANNSchen Fläche 393 § 3. Analysis auf RIEMANNschen Flächen . . . . . . 410 § 4. Die algebraischen Funktionen . . . . . . . . . 418 § 5. Uniformisierungstheorie. Die universelle überlagerungsfläche 439 § 6. Uniformisierungstheorie. Die Typen der überlagerungs flächen . 457 Anhal1g. Zur Topologie der algebraischen RIEMANNschen Flächen. 475 Sechstes KapiteL Funktionen auf RIEMANNschen Flächen. § 1. Eigentlich diskontinuierliche Gruppen linearer Transformationen. 487 § 2. Die Konstruktion automorpher Funktionen. POINCAREsche Thetareihen. Elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 § 3. Differentiale, Integrale und Divisoren auf RIEMANNSchen Flächen 516 § 4. Der Satz von RIEMANN-RoCH. Abelsche Differentiale ..... 530 § 5. Integrale und Funktionen auf kompakten RIEMANNschen Flächen 539 § 6. Funktionen auf nicht kompakten RIEMANNSchen Flächen 555 § 7. Schleifenintegrale und transzendente Funktionen. 567 Namen- und Sachverzeichnis ........ . 574 Erstes Kapitel. Analysis der komplexen Zahlen. § 1. Die komplexen Zahlen. Im Bereiche der natürlichen Zahlen sind von den vier elementaren Rechenoperationen bekanntlich nur die beiden Operationen der Addition und der Multiplikation unbeschränkt durchführbar. Bei der Subtraktion kommen wir auch zu den negativen Zahlen, bei der Division zu den Brüchen. Um allgemein die vier Rechenoperationen durchführen zu können, erweitert man zweimal den Bereich der natürlichen Zahlen und kommt so zu dem Bereich der rationalen Zahlen ~, wo n mund n =l= 0 beliebige ganze Zahlen sind. Hier haben wir von den natürlichen Zahlen ausgehend den ersten Bereich, in dem bis auf die Division durch Null die vier elementaren Rechenoperationen un beschränkt durchführbar sind. Aber schon in den Anfängen der Mathe matik tritt man aus diesem Zahlbereich hinaus. So stößt man früh -V2 auf Zahlen wie etwa oder n und weiß, daß sie nicht zu den rationalen V2 Zahlen gehören. Wird man aufgefordert, die Zahl anzugeben, so wird man bei einem naiven Standpunkt in der Mathematik etwa sagen: Es ist die Zahl 1,4142 ... , und die Punkte wird man in Worte fassen als: "und so weiter", genau gesagt meint man damit: Das be kannte Verfahren zur numerischen Berechnung von Quadratwurzeln ist weiter anzuwenden und liefert die folgenden Ziffern. Man wird also -V2 niemals auf diese Weise die Zahl numerisch genau angeben können, weil man mit der Ausrechnung nicht fertig wird, vielmehr gibt man de facto eine Folge endlicher Dezimalbrüche, nämlich die Zahlen 1,4 1,41 1,414 1,4142 an. Diese Folge kann beliebig fortgesetzt werden, und man ist imstande, das n-te Glied für noch so großes n auszurechnen. Der Grenzwert dieser Folge ist - wie im Aufbau der Infinitesimalrechnung näher aus V2. -V2 geführt wird - die gesuchte Zahl Die "Zahl" kann immer nur durch eine Folge rationaler Zahlen angegeben werden, ja man -V2. kann sagen, die obige Folge selbst ist die Zahl In diesem Lichte erscheint es nicht trivial, daß diese Zahl und gleiches wäre für alle Behnke u. Sommer, Theorie d. anal. Funktionen. 1
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