Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe

606 Pages·4.17 MB·French

by  Claire Voisin

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THEORIE DE HODGE
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ET GEOMETRIE ALGEBRIQUE COMPLEXE
Claire Voisin
Comit´e de r´edaction
Jean-Benoˆıt BOST Joseph OESTERLE´
Franc¸ois LOESER
Daniel BARLET (dir.)
Diffusion
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L335–2etsuivantsduCPI.
ISSN 1284-6090
ISBN 2-85629-129-5
Directeur de la publication : Michel WALDSCHMIDT
COURS SPE´CIALISE´S 10
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THEORIE DE HODGE
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ET GEOMETRIE ALGEBRIQUE COMPLEXE
Claire Voisin
Socie´te´ Mathe´matique de France 2002
Publie´ avecleconcoursdel’InstitutUniversitairedeFrance

TABLE DES MATIE`RES
Introduction .................................................................... 1
PartieI. Pre´liminaires
1.Fonctionsholomorphes deplusieursvariables ................................ 29
1.1.Fonctionsholomorphes d’unevariable .................................. 30
1.2.Fonctionsholomorphes deplusieursvariables ........................... 35
1.3.L’e´quation @g=@z =f .................................................... 41
Exercices .................................................................... 43
2.Varie´te´scomplexes ........................................................... 45
2.1.Varie´te´setfibre´svectoriels ............................................... 46
2.2.Inte´grabilite´ desstructurespresquecomplexes .......................... 50
2.3.Ope´rateurs @ et @ ....................................................... 58
2.4.Exemplesdevarie´te´scomplexes ......................................... 64
Exercices .................................................................... 65
3.Me´triqueska¨hle´riennes ...................................................... 67
3.1.De´finitionetpremie`resproprie´te´s ....................................... 68
3.2.Caracte´risationsdesme´triqueska¨hle´riennes ............................. 72
3.3.Exemplesdevarie´te´ska¨hle´riennes ....................................... 77
Exercices .................................................................... 83
4.Faisceauxetcohomologie .................................................... 85
4.1.Faisceaux ................................................................ 86
4.2.Foncteursetfoncteursde´rive´s ........................................... 95
4.3.Cohomologie desfaisceaux ..............................................102
Exercices ....................................................................111
vi TABLEDESMATIE`RES
PartieII. Lade´composition deHodge
5.Formesharmoniques etcohomologie ........................................115
5.1.Laplaciens ...............................................................116
5.2.Ope´rateursdiffe´rentielselliptiques ......................................122
5.3.Applications .............................................................125
Exercices ....................................................................131
6.Casdesvarie´te´ska¨hle´riennes ................................................133
6.1.Lade´composition deHodge .............................................134
6.2.De´composition deLefschetz .............................................139
6.3.The´ore`medel’indicedeHodge .........................................144
Exercices ....................................................................147
7.StructuresdeHodgeetpolarisations .........................................149
7.1.De´finitions,premie`resproprie´te´s ........................................150
7.2.Exemples ................................................................158
7.3.Fonctorialite´ .............................................................165
Exercices ....................................................................172
8.ComplexesdedeRhamholomorphes etsuitesspectrales ....................175
8.1.Hypercohomologie ......................................................176
8.2.ComplexesdedeRhamholomorphes ...................................185
8.3.Filtrationsetsuitesspectrales ............................................188
8.4.The´oriedeHodgedesvarie´te´souvertes .................................195
Exercices ....................................................................201
PartieIII. VariationsdestructuredeHodge
9.Famillesetde´formations .....................................................207
9.1.Famillesdevarie´te´s ......................................................208
9.2.ConnexiondeGauss-Manin .............................................215
9.3.Lecaska¨hle´rien .........................................................219
10.VariationdestructuredeHodge ............................................225
10.1.Domaineetapplicationdespe´riodes ...................................226
10.2.VariationsdestructuredeHodge .......................................234
10.3.Applications ............................................................238
Exercices ....................................................................243
PartieIV. Cyclesetclassesdecycles
11.ClassesdeHodge ...........................................................247
11.1.Classedecycle .........................................................248
11.2.ClassesdeChern .......................................................258
11.3.ClassesdeHodge .......................................................261
Exercices ....................................................................268
COURSSPE´CIALISE´S10
TABLEDESMATIE`RES vii
12.Cohomologie deDeligne-Beilinsonetapplicationd’Abel-Jacobi .............271
12.1.Applicationd’Abel-Jacobi ..............................................272
12.2.Proprie´te´s ..............................................................280
12.3.Cohomologie deDeligne ...............................................284
Exercices ....................................................................291
PartieV. Topologiedesvarie´te´salge´briques
13.Lethe´ore`medeLefschetzsurlessectionshyperplanes ......................295
13.1.The´oriedeMorse ......................................................296
13.2.Applicationauxvarie´te´saffines .........................................302
13.3.The´ore`med’annulationetthe´ore`medeLefschetz ......................309
Exercices ....................................................................311
14.E´tudedespinceauxdeLefschetz ...........................................313
14.1.PinceauxdeLefschetz ..................................................314
14.2.De´ge´ne´rescencedeLefschetz ..........................................318
14.3.ApplicationauxpinceauxdeLefschetz .................................323
Exercices ....................................................................331
15.Monodromie ................................................................335
15.1.Actiondemonodromie ................................................336
15.2.CasdespinceauxdeLefschetz ..........................................344
15.3.Application:lethe´ore`medeNoether-Lefschetz ........................355
Exercices ....................................................................359
16.SuitespectraledeLeray .....................................................363
16.1.De´finitiondelasuitespectrale .........................................364
16.2.Lethe´ore`medeDeligne ................................................376
16.3.The´ore`medescyclesinvariants .........................................380
Exercices ....................................................................386
PartieVI. VariationdestructuredeHodge
17.Transversalite´ etapplications ...............................................391
17.1.Complexesassocie´sauxVISH ..........................................392
17.2.SuitespectraledeLerayholomorphe ...................................399
17.3.E´tudelocaledeslieuxdeHodge .......................................403
Exercices ....................................................................412
18.FiltrationdeHodgedeshypersurfaces ......................................415
18.1.Filtrationparl’ordredupoˆle ...........................................416
18.2.VISHdeshypersurfaces ................................................424
18.3. Premie`resapplications .................................................433
Exercices ....................................................................438
SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2002
viii TABLEDESMATIE`RES
19.Fonctions normalesetinvariantsinfinite´simaux .............................443
19.1.Fibrationjacobienne ...................................................444
19.2.Applicationd’Abel-Jacobi ..............................................447
19.3.Casdeshypersurfacesdehautdegre´ de Pn .............................458
Exercices ....................................................................463
20.TravauxdeNori ............................................................467
20.1.Lethe´ore`medeconnexite´ .............................................469
20.2.E´quivalencealge´brique ................................................478
20.3.Applicationduthe´ore`medeconnexite´ .................................485
Exercices ....................................................................489
PartieVII. Cyclesalge´briques
21.GroupesdeChow ...........................................................493
21.1.Construction ...........................................................495
21.2.Intersectionetclassesdecycles .........................................503
21.3.Exemples ...............................................................513
Exercices ....................................................................519
22.Lethe´ore`medeMumfordetsesge´ne´ralisations ............................521
22.1.Varie´te´sa` CH repre´sentable ...........................................523
0
22.2.LaconstructiondeBloch-Srinivas ......................................532
22.3.Ge´ne´ralisation ..........................................................541
Exercices ....................................................................543
23.LaconjecturedeBlochetsesge´ne´ralisations ...............................545
23.1.Surfacesavec pg =0 ....................................................546
23.2.FiltrationsurlesgroupesdeChow ......................................558
23.3.Casdesvarie´te´sabe´liennes .............................................562
Exercices ....................................................................573
Bibliographie ...................................................................577
Index ...........................................................................589
COURSSPE´CIALISE´S10
INTRODUCTION
Varie´te´ska¨hle´riennesetvarie´te´sprojectives. — Celivreestconstitue´deseptparties.
Lebut desquatrepremie`res partiesestd’expliquerl’existencede structuresparticu-
lie`res sur la cohomologie des varie´te´s ka¨hle´riennes (la de´composition de Hodge et
la de´composition de Lefschetz) et d’en montrer les premie`res proprie´te´s et conse´-
quences. Elles constituent une introduction a` la ge´ome´trie ka¨hle´rienne et a` la the´o-
rie de Hodge. Les trois dernie`res parties ont pour but de pre´senter des re´sultats
plus avance´s en the´orie de Hodge. Elles sont consacre´es aux liens entre la the´orie
de Hodge, la topologie et l’e´tude des cycles alge´briques sur les varie´te´s projectives
complexeslisses.
Les varie´te´sprojectivescomplexes lissessonteneffetdesexemplesparticuliers de
varie´te´s ka¨hle´riennes compactes. Une varie´te´ ka¨hle´rienne est une varie´te´ complexe
munied’uneme´triquehermitiennedontlapartieimaginaire,quiestune 2-formede
type(1;1)relativementa`lastructurecomplexe,estferme´e.Cette2-formeestappele´e
la forme de Ka¨hlerde la me´trique ka¨hle´rienne.Comme l’espace projectif complexe
estunevarie´te´ka¨hle´rienne(ondisposeparexempledelame´triquedeFubini-Study),
les sous-varie´te´s complexes de l’espace projectif sont aussi ka¨hle´riennes graˆce a` la
me´trique induite. On peut meˆme dire pre´cise´ment quelle est la place occupe´e par
les varie´te´s projectivescomplexes parmi les varie´te´s ka¨hle´riennesgraˆce au the´ore`me
deKodaira:
The´or`eme1. — Une varie´te´ complexe compacte admet un plongement holomorphe dans un
espaceprojectifcomplexesietseulement sielleadmetune me´triqueka¨hle´rienne dontlaformede
Ka¨hlerestdeclasseenti`ere.
Dans lesquatrepremie`respartiesdecetexte,nous nousinte´resseronsessentielle-
ment a` la classe des varie´te´s ka¨hle´riennes,sans privile´gier les varie´te´s projectives. La
raisonestquenotrebuticiestd’e´tablirl’existencedelade´composition deHodgeet
delade´compositiondeLefschetzsurlacohomologied’unetellevarie´te´,etqu’iln’est
2 INTRODUCTION
pas besoin pour cela de supposer que la classe de Ka¨hler est entie`re. Ne´anmoins la
de´composition deLefschetzneserade´finiesurlacohomologie rationnellequedans
le cas projectif, et c’est de´ja` une raison importante pour se limiter ulte´rieurement
au cas des varie´te´s projectives. En effet,nous de´gagerons dans ce texte la notion de
structuredeHodgepolarise´e,etdedomainedespe´riodespolarise´esparame´trantles
structures de Hodge polarise´es. Ces domaines de pe´riodes polarise´es posse`dent des
proprie´te´s de courbure que n’ont pas les domaines de pe´riodes non polarise´es. Or
lade´composition deLefschetz,lorsqu’elle estde´finiesurlacohomologie rationnelle
ouentie`repermetjustementdescinderlacohomologied’unevarie´te´ka¨hle´rienneen
unesommedirectedestructuresdeHodgepolarise´es.
Une autre raison de se limiter dans les applications de la the´orie de Hodge aux
varie´te´s projectives re´side dans le fait qu’une varie´te´ ka¨hle´rienne ne posse`de pas en
ge´ne´ral de sous-varie´te´s complexes, alors que les varie´te´s projectives en contiennent
beaucoup,a` telpointqu’ilestconjecture´ actuellement,commeunevastege´ne´ralisa-
tion de la conjecture de Hodge, que les structures de Hodge sur une varie´te´ projec-
tive X sont gouverne´es par, et de´terminent en un sens a` pre´ciser, la ge´ome´trie des
sous-varie´te´salge´briquesde X,etpluspre´cise´mentlesgroupesdeChowde X.
La de´composition deHodge. — Si X estunevarie´te´ complexe, l’espacetangentde
X enchaquepoint xestenparticuliermunid’unestructurecomplexe Jx.Ladonne´e
decettestructurecomplexeenchaquepointestcequ’onappellelastructurepresque
complexesous-jacente.Ladonne´ede Jx fournitunede´composition
(0.1) TX;x(cid:3)C=TX1;;x0(cid:4)TX0;;x1;
ou` TX0;;x1 est l’espace vectoriel des vecteurs tangents complexifie´s u 2 TX;x tels que
Jxu=(cid:6)iu.Dupointdevuedelastructurecomplexe,c’est-a`-diredeladonne´elocale
de coordonne´es holomorphes, les champs de vecteurs de type (0;1) sont ceux qui
annulentlesfonctionsholomorphes.
La de´composition (0.1) induit une de´composition semblable sur les fibre´s de
formesdiffe´rentiellescomplexes
(0.2) (cid:9)kX;C :=(cid:9)kX;R(cid:3)C= L (cid:9)pX;q;
p+q=k
ou`
p q
(cid:9)p;q (cid:7)=^(cid:9)1;0(cid:3)^(cid:9)0;1
X X X
et
(cid:9)X;R(cid:3)C=(cid:9)1X;0(cid:4)(cid:9)0X;1
estla de´composition duale de (0.1).La de´composition (0.2) a la proprie´te´ de syme´-
triedeHodge
p;q q;p
(cid:9) =(cid:9) ;
X X
ou` laconjugaisoncomplexeagitdefac¸onnaturellesur (cid:9)k =(cid:9)k (cid:3)C.
X;C X;R
COURSSPE´CIALISE´S10