Théorie algébrique des systèmes à événements discrets

62 Pages·1995·0.518 MB·French

by  Guy Cohen

Cours
´ ´
THEORIE ALGEBRIQUE DES
` ` ´ ´
SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS
Guy Cohen
CentreAutomatiqueetSyste`mes
E´coledesMinesdeParis,Fontainebleau
&
INRIA,Rocquencourt
1995
Avertissement
Ce cours est issu de recherches commence´es en 1981 au sein d’un groupe de travail a` l’INRIA-
Rocquencourt,groupequis’estdonne´plustardlenomdeMaxPlus. Ontparticipe´ouparticipenttoujours
a` cegroupeendehorsdel’auteur: Jean-PierreQuadrat,MichelViot,PierreMoller,RamineNikoukhah,
Ste´phane Gaubert, Marianne Akian. D’autres chercheurs ont contribue´ ailleurs au de´veloppement de
cettethe´orie. Uneassezgrandepartdecestravauxestrelate´edansunlivreparuenseptembre1992(cf.
[4]). Onytrouveraunebibliographiepluscomple`tequelalisteci-dessousquiconcerneplutoˆtdessujets
connexes au pre´sent cours que le cours lui-meˆme. Les notes ci-apre`s constituent un bref compte-rendu
del’essentieldecequipeuteˆtretraite´ danslevolumeducoursoral. Desde´veloppementspluscomplets
pourronteˆtretrouve´sdans[4]etd’autresre´fe´rencesplusre´centes.
Re¶fe¶rences
1. G.Birkhoff.LatticeTheory.Amer.Math.Soc.Coll.Pub.,Providence,1967(3rdEd.).
2. T.S.BlythandM.F.Janowitz.ResiduationTheory.PergamonPress,Oxford,England,1972.
3. P.Chre´tienne.LesRe´seauxdePe´triTemporise´s.The`sed’e´tat,Universite´ deParis6,Paris,France,1983.
4. F. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder, J.-P. Quadrat. Synchronization and Linearity — An Algebra for Discrete
EventSystems.Wiley,New-York,1992.
5. R.A. Cuninghame-Green. Minimax Algebra. Number 166 in Lecture Notes in Economics and Mathematical
Systems.Springer-Verlag,Berlin,Germany,1979.
6. P.DubreiletM.L.Dubreil-Jacotin.Lec¸onsd’Alge`breModerne.Dunod,Paris,France,1964.
7. M.GondranandM.Minoux.Linearalgebraindioids: asurveyofrecentresults.AnnalsofDiscreteMathematics.,
19:147–164,1984.
8. M.GondranetM.Minoux.GraphesetAlgorithmes.Eyrolles,Paris,1979.
9. JamesL.Peterson.PetriNetTheoryandtheModelingofSystems.PrenticeHall,EnglewoodCliffs,N.J.07632,
USA,1981.
ii
Table des Matie(cid:181)res
Re´fe´rences i
1. Ge´ne´ralite´ssurlessyste`mesa` e´ve´nementsdiscrets(SED) 1
1.1. Classesdesyste`mes
1.2. Caracte´ristiques
1.3. Proble`mes
1.4. Approchesetme´thodes
2. Ne´cessite´ d’unenouvellearithme´tique,dio¨ıdes 5
2.1. Unenouvellefac¸ondecompter
2.2. L’alge`bredesdio¨ıdes
2.3. Autresphe´nome`nesmettantenjeul’alge`bredesdio¨ıdes
3. Introductionauxre´seauxdePetri(RdP) 11
3.1. Ge´ne´ralite´s
3.2. Graphesd’e´ve´nements
3.3. Approchedelamode´lisationbase´esurlesressources
4. Graphesetmatrices 17
4.1. Graphesoriente´s
4.2. Repre´sentationsmatriciellesdesgraphesvalue´s
4.3. Matricedetransition
4.4. Ope´rationssurlesgraphesetmatrices
5. Re´solutiondese´quations x D Ax 'bdansundio¨ıde 21
5.1. Casd’undio¨ıdecomplet
5.2. Casdedio¨ıdesnoncomplets
6. Miseene´quationsdesgraphesd’e´ve´nementstemporise´s 23
6.1. Dateurs,domainee´ve´nementieletalge`breZ
max
6.2. Compteurs,domainetemporeletalge`breZ
min
6.3. Syste`mescontinusmin-oumax-line´aires,analogieavecdesgraphesd’e´ve´nements
7. Transforme´esen(cid:176) et– etmatricedetransfert 30
7.1. Transforme´esen(cid:176) et–
7.2. Matricedetransfert
7.3. Conditionsinitialesnoncanoniques
7.4. Exempled’utilisationdelamatricedetransfert
8. Valeurspropresetvecteurspropresdessyste`mesautonomes 33
8.1. Fermeturedelaboucleetsyste`meautonome
8.2. Interpre´tationduproble`medevaleurpropreetquestions
8.3. Existencedevaleurpropre/vecteurpropre
8.4. Structuredel’ensembledesvecteurspropres
8.5. Ite´re´es Ak d’unematriceirre´ductible. Pe´riodicite´ delare´ponseimpulsionnelle.
8.6. A` proposdesalgorithmesdecalculdevaleurspropres
8.7. Valeurspropresge´ne´ralise´es
9. Stabilisationparfeedbacketoptimisationderessources 42
9.1. Stabilisationparfeedback
9.2. Pre´servationdelavitesseintrinse`quedusyste`me
9.3. Optimisationderessources
9.4. Exemples
iii
10. Repre´sentationdesgraphesd’e´ve´nementstemporise´sdansundomaine2D 46
10.1. Unecomparaisondesrepre´sentationsdateursetcompteurs
10.2. “Filtrage”destrajectoiresmonotones
10.3. Passagea` larepre´sentation2D
11. Rationalite´,re´alisabilite´,pe´riodicite´ 56
11.1. Rationalite´,causalite´
11.2. Re´alisabilite´,polynoˆmialite´
11.3. Pe´riodicite´
11.4. The´ore`mefondamental
12. Datesauplustard 58
1
1. Ge¶ne¶ralite¶s sur les syste(cid:181)mes a(cid:181) e¶ve¶nements discrets (SED)
Le vocable “syste`mes (dynamiques) a` e´ve´nements discrets”1 est relativement re´cent (moins de dix
ans)etrecouvreunchampderecherchesencoreassezdiverses,maisquicherchenta` sefe´de´rersousce
drapeau. Cedomaineestactuellementtre`sactif,faitl’objetdenombreusesmanifestationsscientifiques,
etade´ja` sonproprejournalspe´cialise´2.
1.1. Classesdesyste`mes. Alorsquelathe´orieclassiquedessyste`mes“continus”(ycomprisentemps
discret) et de l’Automatique s’inte´resse a` des syste`mes “naturels” obe´issant essentiellement aux lois
de la Physique, et descriptibles par des e´quations diffe´rentielles ou aux de´rive´es partielles (ou leur
discre´tisationapproche´eentemps),levocableSEDrecouvredessyste`mese´galementdynamiques,mais
dontladynamiquee´chappetotalementa`cegenrededescription. Enre´alite´,c’estplutoˆtleniveaudescriptif
auquelonseplacequiesta`lasourcedecetteimpossibilite´: aulieudes’inte´resseraude´roulementcontinu
des phe´nome`nes, on ne se soucie que des “de´buts” et des “fins” de ces phe´nome`nes (les “e´ve´nements
discrets”)eta` leurenchaˆınementdynamique,logiqueoutemporel.
Cessyste`mes,ge´ne´ralementfabrique´sparl’homme,ontunepartcroissante,voirepre´ponde´rante,dans
l’e´conomiemoderne. Pourtant,surleplandelathe´orie,ilnebe´ne´ficiaientpasjusqu’a` re´cemmentd’un
“statut”etd’uneconceptualisationcomparablesaceuxdessyste`mescontinus. Deplus,ilse´taientplutoˆt
e´tudie´sparlaRechercheOpe´rationnellequeparl’Automatique. Envoiciquelquesexemples.
1.1.1. Syste`mesdeproduction,ateliersflexibles. Lesme´thodesdeproductionmanufacturie`remodernes
sesontoriente´esversdesateliersorganise´senre´seauxdemachinesmulti-taˆchesa`laplacedesanciennes
“lignes de transfert” rigides de machines mono-taˆche. Cette organisation, qui permet la production
simultane´edepetitesoumoyennesse´riesenrespectantdesratiosdeproduction,conduita` dessyste`mes
plussouplesmaisbeaucoupplusdifficilesa` ge´rer.
1.1.2. Syste`mes informatiques. On vise la` tout type de syste`me, des plus microscopiques comme une
“puce”spe´cialise´eentraitementdesignal,jusqu’auxplusmacroscopiquescommeunre´seauinternational
d’ordinateurscommuniquantparsatellites.
1.1.3. Re´seaux de communication, de transport. Te´le´phone ou re´seau SNCF sont des exemples de
situationou` desmessagesoudestrainsdoiventemprunterlesmeˆmesvoiessanssete´lescoper.
1.1.4. Planification de taˆches. La gestion d’un chantier de construction ou d’un projet quelconque
ne´cessitel’articulationdetaˆchesdontcertainespeuventsede´roulerenparalle`le,c’est-a`-diresansordre
pre´e´tabli,alorsqued’autressupportentdescontraintesdepre´ce´dence3. Cestaˆchespeuventfaireappela`
desressourcescommunes(hommes,machines).
1.2. Caracte´ristiques. La plupart des syste`mes e´nume´re´s ci-dessus pre´sente les caracte´ristiques com-
munessuivantes.
1.2.1. Paralle´lisme. Denombreuxe´ve´nementspeuventsede´roulersimultane´mentetinde´pendamment
dansdiversespartiesdusyste`me.
1.2.2. Synchronisation. L’accomplissementdecertainse´ve´nementsne´cessiteladisponibilite´simultane´e
deplusieursressourcesoulave´rificationsimultane´edeplusieursconditions. Lafind’une´ve´nementen-
traˆıne l’apparition simultane´e de plusieurs autres e´ve´nements. Par exemple, pour qu’une conversation
te´le´phonique ait lieu, il faut qu’une ligne soit disponible pour acheminer l’appel et que les deux inter-
locuteursaientde´croche´. Lafindelaconversationmarquelalibe´rationdelaligne,etlefaitquelesdeux
interlocuteurs peuvent de´sormais vaquer a` d’autres occupations. De telles conside´rations peuvent eˆtre
reprisesparexemplea` proposd’unatelierflexible.
1enAnglais,“DiscreteEvent(Dynamic)Systems”—DEDS
2JournalofDiscreteEventDynamicSystems: TheoryandApplications,KluwerAcademicPublishers
3danslaconstructiond’unimmeuble,ilvautmieuxconstruireledeuxie`mee´tageapre`slepremier!
2
1.2.3. Concurrence. Certains e´ve´nements excluent l’apparition simultane´e d’autres e´ve´nements. Par
exemple, une machine ne peut travailler que sur une seule pie`ce a` la fois. A` la SNCF, les voies sont
divise´es en tronc¸ons appele´s “cantons”. Le “cantonnement” consiste a` exclure par un syste`me de feux
rougeslapre´sencesimultane´ededeuxtrainssurlemeˆmecanton. Surunbusd’ordinateurnonmultiplexe´,
unseulmessagepeuttransitera` lafois.
1.3. Proble`mes. Ce qui suit est une liste de proble`mes-type souleve´s par la conception, la re´alisation,
laconduiteoulagestion,l’optimisationdecessyste`mes.
1.3.1. Spe´cification. Avant de concevoir un syste`me, il faut dire ce qu’on veut lui faire faire, quel doit
eˆtre sa “re´ponse” dans un certain nombre de situations-type, etc. Il se pose donc de´ja` un proble`me de
langagedanslequelcesdesideratatrouverontuneexpressionpre´cise(etdoncve´rifiableaposteriori).
1.3.2. Conception, architecture. Une fois spe´cifie´ le comportement fonctionnel du syste`me, il faut le
concevoir, notamment du point de vue de son architecture : composants, agencement et articulations,
me´canismesdesynchronisationetd’exclusion.
1.3.3. Validationlogique. Ilfautensuiteve´rifierquelesyste`meainsiconc¸ure´pondbienauxspe´cifications
de´sire´es,etqu’iln’engendrepasd’autrescomportementsinde´sirables. Lacastypiqueestle“deadlock”:
pourcommencer,PierreattendquePaulcommence,celui-ciattendqueJacquescommence,maisJacques
attendquePierrecommence. Unbelexemplededeadlockestdonne´ a` laSNCFparle“fameuxtriangle
de Gagny” repre´sente´ sche´matiquement par la Figure 1. Si on laisse trois trains s’engager dans la
Figure 1. LetriangledeGagny
configuration indique´e, c’est le blocage. Le me´canisme de feux rouges devra e´viter d’atteindre cet e´tat
dusyste`me.
1.3.4. E´valuationdeperformance. A` cettee´tape, lanotiondetemps, jusquela`, absenteintervient. On
cherchealorsa` re´pondrea` desquestionsdutype: combiend’e´ve´nementsd’untypedonne´ seproduisent
en une heure, a` quelle date se produira le n-ie`me e´ve´nement, etc.? Par exemple, pour un syste`me
informatique spe´cialise´ en annulation d’e´cho sur le signal de parole transmis a` partir d’une salle de
te´le´confe´rence,ilfautve´rifiersilavitessedetraitementdusignalestcompatibleaveclavitessenormale
d’e´locution.
3
1.3.5. Ordonnancement. L’ordonnancement a pour but d’e´tablir des politiques de priorite´, de routage,
etc., destine´es a` re´soudre les proble`mes pose´s par les phe´nome`nes de concurrence. Il est clair que la
performanceglobaled’unsyste`mepeutde´pendredelafac¸ondontcesphe´nome`nesauronte´te´arbitre´s. A` la
limite,lapolitiqued’ordonnancementelle-meˆmepeuteˆtrelacausededeadlocks(etdoncdeperformances
“infiniment”mauvaises).
1.3.6. Optimisation, dimensionnement. L’ordonnancement peuteˆtre un premier “levier” d’une optimi-
sation de performance. Mais de`s le choix de l’architecture, on risque d’avoir e´ventuellement engage´
de fac¸on assez de´terminante la performance du syste`me. A posteriori, on peut essayer d’ame´liorer les
performances en dupliquant (ou en n-pliquant) certaines ressources (machines, serveurs, buffers, etc.),
mais ceci n’a ge´ne´ralement de sens que sous une contrainte de budget donne´, ou de couˆt a` minimiser.
Autre exemple : pour un “chip” spe´cialise´, une certaine surface de silicium est disponible ; comment
l’utiliseraumieuxpouravoirlaperformanceoptimale? Doit-onrajouterdesbuffers(effet“pipe-line”),
unbus,undeuxie`memultiplieur,etc.?
Commeladiscussionvientdelesugge´rer,lasuitedequestionsci-dessusn’estpasenge´ne´ralre´solue
se´quentiellementenuneseulepasse,maisbienparunede´marcheite´rative.
1.4. Approchesetme´thodes. Onciteiciquelquesunesdesapprocheslesplususuellesdansl’e´tudedes
SEDsenpre´cisantleurchampd’application.
1.4.1. Simulation“pare´ve´nements”surordinateur. Ils’agitdereproduiresurunordinateur,e´ventuelle-
ment avec l’aide de langages de programmation spe´cialise´s pour la simulation, le de´roulement de
l’“histoire” du syste`me : le temps courant est e´grene´ et les e´ve´nements a` venir sont stocke´s dans une
pilejusqu’a` cequelesconditionssoientre´uniespourqu’ils“seproduisent”etsortentdelapile. Toutes
sortes de compteurs et d’outils statistiques peuvent eˆtre “branche´s” sur une telle simulation. Ce genre
d’approchen’aaprioridelimitesqueparlacomplexite´ duprogrammea` e´crireetletempsd’exe´cution.
Cependant, c’est une me´thode “aveugle” ou “boˆıte noire” en ce sens qu’il n’y a pas de compre´hension
analytique de la relation entre les entre´es (les choix faits a priori) et les sorties (les re´sultats observe´s),
saufa` de´pouillerdestonnesdelistingpermettantdesuivrelede´roulementdese´ve´nementspasa` pas,ce
quiestrarementpraticable.
1.4.2. Approche “Pertubation Analysis” (PA). Cette approche tourne´e vers l’optimisation n’est pas a`
proprementparlerunedescriptionnouvelledesSEDsmaisplutoˆtunetechniquedecalculdesensibilite´
de certaines grandeurs par rapport a` certains parame`tres. On doit s’appuyer sur une premie`re trajec-
toire nominale obtenue par simulation ou par tout autre moyen. Sans re´pe´ter la simulation pour une
valeurle´ge`rementdiffe´rented’unparame`tre,oncherchea` e´valuerlesmodificationsdelatrajectoirequi
re´sulteraient d’une petite modification de ce parame`tre. On obtient ainsi par diffe´rence finie une sorte
de“gradientstochastique”susceptibled’eˆtreutilise´ enoptimisationdansl’algorithmeite´ratifdumeˆme
nom.
1.4.3. Re´seauxdefilesd’attente. Lesyste`meestmode´lise´ entermesdeserveursetdeclientsenattente
danslesfilesdevantlesserveurs. Lesclientscirculentd’unefilea` uneautreapre`savoirrec¸uunservice.
Les temps de service sont ale´atoires et obe´issent a` des lois de probabilite´ donne´es. Il existe un certain
nombre de re´sultats analytiques montrant que, sous certaines conditions, la loi conjointe p.x ;:::;x /
1 n
deslongueursfx g denfilesenre´gimestationnairepeuts’e´criresous“formeproduit”,c’est-a`-dire
i iD1;:::;n
Y
n
p.x ;:::;x / D p .x / ;
1 n i i
iD1
ce qui est a priori surprenant puisque les variables ale´atoires x sont loin d’eˆtre inde´pendantes. On
i
parle alors de “re´seaux jacksoniens”. Cependant, ce type de re´sultat ne´cessite des hypothe`ses souvent
4
irre´alistes(e.g. tempsdeservicepoissoniens4,pasdeblocageduserviceamontparsaturationdelafile
d’attenteaval,etc.). Ilexisteaussidestentativesd’extensionsdecettethe´oriepardesre´sultatsapproche´s.
Cependant,ilfautconside´rercesapprochescommedesoutilsd’e´valuation“enmoyenne”etsurlelong
terme,plutoˆtquecommedeve´ritablesoutilsd’e´tudedephe´nome`nesdynamiques.
1.4.4. Automates. On fait ici allusion a` des extensions de la the´orie des automates par le point de vue
“commande”desautomaticiens. Unautomatereconnaˆıt,ouengendre,unlangagequiestl’ensembledes
“mots”(trajectoires)forme´sdesuitesordonne´esde“lettres”(associe´esauxe´tatsdel’automate)qu’ilest
susceptibledeproduireenconside´ranttouteslestransitionspossiblesentree´tats. Lacommandeconsistea`
limiterlelangageauplusgrandsous-langagecontenudansunvocabulairedonne´(concre`tement,celuiqui
e´viteles“grosmots”,c’est-a`-direlessuitesd’e´ve´nementsoulese´tatsinde´sirables)enayantlapossibilite´
d’inhibercertainestransitions.
Cette the´orie est actuellement bien adapte´e a` l’e´tude de l’aspect logique du fonctionnement, des
questionsdevalidation,etc. Parcontre,elleaplusdemala`incorporerl’aspectquantitatifdel’e´valuation
deperformance.
1.4.5. Re´seaux de Petri (RdP). Les RdP sont un langage graphique de description des phe´nome`nes
de synchronisation et de concurrence. Les RdP temporise´s permettent de plus de prendre en compte
les aspects “e´valuation de performance”. Un certain nombre de proprie´te´s des syste`mes ainsi de´crits
(invariantsaucoursdufonctionnement,pre´sencededeadlocks,etc.) peuventeˆtree´tudie´esdanscecadre.
En temps que langage graphique, les RdP ont sur le plan pratique les avantages et les inconve´nients
decetypederepre´sentation: concisionetclarte´ pourdessyste`messimples,difficulte´ d’utilisationpour
dessyste`mesatteignantuncertainniveaudecomplexite´. Danscecas,a` l’instardes“blocs-diagramme”
utilise´sparlesautomaticienspourde´criregraphiquementlessyste`mescontinus,uneapprochehie´rarchise´e
(proce´dant par zooms successifs sur des parties du syste`me de plus en plus de´taille´es) est hautement
recommandable.
Dans ce cours, nous nous servirons des RdP comme outil de repre´sentation agre´able a` utiliser pour
de´crire rapidement des sche´mas simples. De meˆme que l’alge`bre des fonctions rationnelles permet de
plaquersurlesblocs-diagramme,etdanslecasdesyste`mesline´airesstationnairesdedimensionfinie,une
structuredecalculdealge´brique(calculsurlesfonctionsdetransfert)permettantdeprendrelerelaisde
l’outilgraphique,demeˆmeonpeutvoirl’objetdececourscommeunede´marchevisanta`plaquersurune
sous-classe de RdP temporise´s (ceux qui apparaˆıtront comme line´aires stationnaires dans une certaine
alge`bre)unestructuredecalculalge´briqueentouspointsanaloguea` celledesfonctionsdetransfert.
1.4.6. Langages de programmation paralle`le/temps re´el. Un certain nombre de ces langages informa-
tiques(Occam,Este´rel,Signal,Lustre,::: )peuventaussieˆtrevuscommedeslangagesdespe´cification,
voire de validation logique, des SEDs. Cependant la notion d’e´valuation de performance est pour
l’essentielabsentedecetyped’approche.
1.4.7. Mode`les dynamiques alge´briques. C’est l’objet de ce cours de proposer une description de cer-
tainesclassesdeSEDs,prenantencomptel’aspectquantitatif(e´valuationdeperformance),ets’appuyant
surdesmode`lesmathe´matiquestouta` faitanaloguesauxmode`lesutilise´senAutomatique. Cependant,
ondevrapourcelae´carterlesphe´nome`nesdeconcurrence(suppose´sde´ja` arbitre´spardespolitiquesde
priorite´,d’ordonnancement,etc.) pourselimitera`lapriseencomptedesphe´nome`nesdesynchronisation.
4Ilfautuntempsquasimentde´terministepourperceruntroudansunetoˆleoupoureffectueruneadditiondans
uncalculateur. Certesunemachinepeuttomberenpanne,maiscese´ve´nementssont,onl’espe`re,assezrares,et
entre deux pannes, la description stochastique semble inapproprie´e dans ce cas. Elle le sera d’autant moins que
l’on s’inte´ressera a` des phe´nome`nes moins microscopiques et plus globaux comme la dure´e d’une conversation
te´le´phonique.
5
2. Ne¶cessite¶ d’une nouvelle arithme¶tique, dio˜‡des
2.1. Unenouvellefac¸ondecompter.
2.1.1. Phe´nome`nes cumulatifs et alge`bre usuelle. Le calcul diffe´rentiel ou plutoˆt inte´gral de´crit des
phe´nome`nescumulatifs(unre´servoirquiseremplitouquisevide): lanotiond’“addition”correspond
a` l’ope´rateur C habituel. Si on s’inte´resse a` la production de bicyclettes, on dira : 6 kg pour le cadre
C 600 g pour les roues D 6,6 kg pour la bicyclette. On remarque qu’il ne faut additionner que des
grandeursdemeˆmenature(dimensionphysique)etlesexprimerdanslameˆmeunite´avantdepouvoirles
additionner.
2.1.2. Phe´nome`nes de rendez-vous, de synchronisation, d’assemblage, de me´lange ::: et alge`bre des
dio¨ıdes. Si on s’inte´resse a` nouveau a` la production de bicyclettes, on peut dire qu’une bicyclette est
la “somme” d’une paire de roues et d’un cadre Cette nouvelle “somme”, note´e ' pour la distinguer
Figure 2. Assemblagedebicyclettes
du C habituel, correspond a` l’ope´ration d’assemblage. On notera que l’on se permet alors d’“ajouter”
des “torchons et des serviettes”, des chevaux et des cavaliers, des paires de roues et des cadres, etc.,
c’est-a`-diredesgrandeursnes’exprimantpasdanslesmeˆmesunite´s. Siona2pairesderoueset1cadre,
onnepeutfabriquerqu’uneseulebicyclette,donc
1'2 D 1 etplusge´ne´ralement a'b D min.a;b/ :
Si on s’inte´resse maintenant a` la date t de fabrication de la n-ie`me bicyclette, celle-ci sera calcule´e
n
commemax.(cid:181) ;¿ /ou` (cid:181) estladatededisponibilite´ delan-ie`mepairederouestandisque¿ repre´sente
n n n n
ladatededisponibilite´ dun-ie`mecadre. Sionestquatrepourfaireunbridge,c’estl’heured’arrive´edu
quatrie`mepartenairequide´terminel’heuredede´butdelapartie.
On le voit, les ope´rateurs tels que min ou max interviendront5 a` chaque fois que l’on conside`re
des phe´nome`nes d’assemblage, de rendez-vous, ou plus ge´ne´ralement de synchronisation de plusieurs
conditions. Deplus,cettesituationn’estpaspropreaucasdiscretetlesphe´nome`nesdeme´langeencontinu
de fluides par exemple donnent lieu aux meˆmes ope´rateurs (combien produit-on l’instant t de litres de
peinture rose si celle-ci est obtenue par me´lange dans la proportion un pour un de peintures blanche et
rouge,etquel’ondisposel’instantt de x.t/etde y.t/demi-litresdecescouleursrespectivement?).
En dehors de l’ope´rateur min ou max, on aura aussi besoin de l’ope´rateur C habituel (phe´nome`nes
cumulatifsusuels)danslamesureoulaquantite´produitea`l’instantt estlasommedesquantite´sproduites
auxinstantsante´rieurs,ouqueladatedefineste´galea` ladatedede´butCunedure´e.
5minlorsqu’ils’agiradequantite´s,maxlorsqu’ils’agiradedates
6
2.2. L’alge`bredesdio¨ıdes.
2.2.1. Axiomatique. Un dio¨ıde est un ensemble muni de deux ope´rations internes note´es ' et › et
D
appele´es“addition”et“multiplication”respectivement,tellesque
l’additionestassociative: .a›b/'c D a'.b'c/;
l’additionestcommutative: a'b D b'a ;
l’additionadmetune´le´mentneutre: note´ " etappele´ “ze´ro”: a'" D a ;
lamultiplicationestassociative: .a›b/›c D a›.b›c/;
lamultiplicationadmetune´le´mentneutre: note´ eetappele´ “identite´”: a›e D e›a D a ;
lamultiplicationestdistributiveparrapporta` l’addition: a›.b'c/ D .a›b/'.a›c/
etidempourlamultiplicationa` gauche;
leze´roestabsorbantpourlamultiplication: "›a D a›" D " ;
l’additionestidempotente: a'a D a.
Comme en alge`bre usuelle, le signe multiplicatif sera parfois omis. Le dio¨ıde est dit commutatif si la
multiplicationestcommutative. Onparleradesous-dio¨ıded’undio¨ıdepourunsous-ensemblestablepar
'et›(6)etcontenant" ete.
2.2.2. Quelquesexemples.
(1) N ;Z ;Q ;R : il s’agit des ensembles N;Z;Q;R; augmente´s de l’e´le´ment ¡1 (qui
max max max max
joueleroˆlede")avec' D maxet› D C.
Exercice1. Ve´rifiertouslesaxiomes. A` quoieste´gale? Pourquoinepasprendreplutoˆt' D C
et› D max? Pourquoinepassecontenterde" D 0danslecasdeN ?.
max
(2) Z : onremplace' D maxpar' D mindansZ et¡1parC1.
min max
(3) Dio¨ıdes de parties de Rn : on conside`re la collection des parties de Rn (y compris ? et Rn
lui-meˆme)quel’onnotSe2Rn, etonpose' D [et› D C(sommevectorielledeparties: ona
parexemple AC B D fx C Bgou` x C B estletranslate´ de B parlevecteur x).
x2A
Exercice2. Ve´rifier les axiomes. Montrer que R est isomorphe au sous-dio¨ıde des demies-
max
droites]¡1;x]deRmunide' D [et› D Cenpre´cisantcetisomorphisme.
(4) Alge`bredeBoole: ve´rifierquec’estundio¨ıde(leplussimpledesdio¨ıdes,hormisledio¨ıdetrivial
re´duita`‡f"g). ·
(5) Dio¨ıde R;max;min : onapose´ R D R[f¡1g[fC1get' D max,› D min. Ve´rifierles
¡ ¢
axiomes. Conside´rerdemeˆme 2Rn;[;\ .
2.2.3. Dio¨ıdes matriciels. A` partir d’un dio¨ıde “scalaire” (mais n’importe lequel des exemples ci-
D
dessus peut eˆtre conside´re´ comme le dio¨ıde scalaire de de´part), on peut obtenir un dio¨ıde “matriciel”
en conside´rant les matrices carre´es de taille n a` coefficients dans et en munissant cet ensemble de la
D
sommeetduproduitmatricielsusuels:
¡ ¢ ¡ ¢ Mn
A D A ; B D B ; .A' B/ D A ' B ; .A› B/ D A › B :
ij ij ij ij ij ij ik kj
kD1
Exercice3. Montrer que cette structure obe´it bien aux axiomes des dio¨ıdes. Donner l’expression de
" et celle de e dans ce nouveau dio¨ıde7 Donner l’expression du produit matriciel avec les notations de
l’alge`breusuellelorsque D R .
D max
Observerqueledio¨ıdematricielassocie´a`undio¨ıdescalairecommutatif n’estpasenge´ne´rallui-meˆme
commutatif. Onreviendrasurl’interpre´tationducalculmatricielenliaisonaveclesgraphesvalue´s.
6i.e.lasommeetleproduitdedeuxe´le´mentsdusous-ensembleappartiennentaussiausous-ensemble
7Danscecours,onnoteratoujours"etelese´le´mentsneutresde'et›,quelquesoitledio¨ıdeconside´re´.