Theoretische Physik: Thermodynamik (Skript)

87 Pages·2009·0.715 MB·German

by  R. Redmer

THEORETISCHE PHYSIK:
THERMODYNAMIK
{ VORLESUNGSSKRIPT {
von R. Redmer
Universit(cid:127)at Rostock
Fachbereich Physik
D{18051 Rostock
1
2
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegri(cid:11)e der Thermodynamik 5
1.1 Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en im thermodynamischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Zustandsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Haupts(cid:127)atze der Thermodynamik 11
2.1 Nullter Hauptsatz: Die Temperatur T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Erster Hauptsatz: Die innere Energie U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Zweiter Hauptsatz: Die Entropie S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Irreversible Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Entropie und W(cid:127)arme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Das perpetuum mobile 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Gibbssche Fundamentalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5 Beziehung zwischen thermischer und kalorischer Zustandsgleichung . . . . 19
3 Grundlegende thermodynamische Prozesse und Beziehungen 21
3.1 Spezi(cid:12)sche W(cid:127)armen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Erw(cid:127)armung bei konstantem Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Erw(cid:127)armung bei konstantem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 Beziehungen zwischen den Molw(cid:127)armen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.4 Abh(cid:127)angigkeit von Volumen und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.5 Molw(cid:127)armen und Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Adiabatische und polytrope Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Der Carnotsche Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Verlauf im p{V{Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Carnot{Prozess mit idealem Gas als Arbeitsmedium . . . . . . . . . . . . 28
3.3.3 Entropie und Wirkungsgrad fu(cid:127)r den Carnot{Prozess . . . . . . . . . . . . 29
3.3.4 W(cid:127)armepumpe und K(cid:127)altemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Thermodynamische Temperaturskala: Die absolute Temperatur T . . . . . . . . . 32
4 Thermodynamische Potenziale 33
4.1 Einkomponentensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Entropie und innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Konstruktion thermodynamischer Potenziale aus U(S;V) . . . . . . . . . 34
4.1.3 Konstruktion thermodynamischer Potenziale aus S(U;V) . . . . . . . . . 36
4.1.4 Die thermodynamischen Potenziale des idealen Gases . . . . . . . . . . . 37
4.2 Mehrkomponentensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Entropie fu(cid:127)r o(cid:11)ene Systeme und chemisches Potenzial . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Gibbs{Duhemsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Die thermodynamischen Potenziale I;J;K;L . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 U(cid:127)bersicht u(cid:127)ber thermodynamische Potenziale und Maxwell{Relationen . . . . . . 42
4.4 Gleichgewichts- und Stabilit(cid:127)atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1 Allgemeine Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2 Auswertung der Gleichgewichts- und Stabilit(cid:127)atsbedingungen. . . . . . . . 44
4.4.3 U(cid:127)bersicht u(cid:127)ber die Stabilit(cid:127)atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Das Verhalten bei tiefen Temperaturen: Der 3. HS 49
5.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
5.2 Formulierung des 3. HS: Das Nernstsche W(cid:127)armetheorem . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Folgerungen aus dem 3. HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1 Molw(cid:127)armen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.2 Thermische Koe(cid:14)zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.3 Entropie und chemisches Potenzial des idealen Gases fu(cid:127)r T !0 . . . . . . 51
5.4 Der Joule{Thomson{E(cid:11)ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Adiabatische Entmagnetisierung und negative Temperaturen . . . . . . . . . . . 55
6 Homogene Einkomponentensysteme 57
6.1 Phasenu(cid:127)berg(cid:127)ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 Phasendiagramm fu(cid:127)r Einkomponentensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Klassi(cid:12)zierung von Phasenu(cid:127)berg(cid:127)angen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Clausius{Clapeyronsche Gleichung fu(cid:127)r PU(cid:127) 1. Art . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.4 PU(cid:127) 2. Art und Ehrenfestsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.5 Landau{Theorie fu(cid:127)r PU(cid:127) 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Gase und Flu(cid:127)ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.1 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.2 van der Waalssche Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.3 Virialentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.1 Thermodynamik des Photonengases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.2 Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Mehrkomponentensysteme 73
7.1 Mehrkomponentensysteme ohne chemische Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.1 Gleichgewichtsbedingung fu(cid:127)r heterogene Mehrkomponentensysteme . . . . 73
7.1.2 Gibbssche Phasenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.3 Ideale homogene Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.1.4 Mischungsentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.1.5 Reale homogene Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.6 Der osmotische Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.7 Raoultsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Mehrkomponentensysteme mit chemischer Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.1 Bedingung fu(cid:127)r chemisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.2 Das Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.3 Verschiebung des chemischen Gleichgewichts: van't Ho(cid:11)sche Gleichungen
und das Prinzip von Le Chatelier und Braun . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2.4 Anwendungen zum Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Literaturempfehlung 87
4
1 Grundbegri(cid:11)e der Thermodynamik
1.1 Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en im thermodynamischen Gleichgewicht
Thermodynamisches System
(cid:15) Mikroskopische Beschreibung auf atomarem Niveau: Statistische Physik
23
(cid:15) Hier: makroskopische Beschreibung eines Systems von etwa 10 Teilchen, z.B. Mo-
leku(cid:127)le, Atome (Gase, Flu(cid:127)ssigkeiten, Festk(cid:127)orper), Elektronen und Protonen (Plas-
men), Photonen (Schwarzk(cid:127)orperstrahlung), Phononen (Festk(cid:127)orpergitter) ...
(cid:15) Charakterisierung des Systems durch messbare Gr(cid:127)o(cid:25)en (Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en) wie Volu-
men V, Druck p, Temperatur T, Magnetisierung M~ , Polarisation P~ :::
(cid:15) Thermodynamisches System: Temperaturisteine Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)e!Thermodynamik
(cid:15) Wichtige Aspekte der Thermodynamik: Umwandlung verschiedener Energieformen
ineinander (innere Energie) und die Bewertung der Energie durch die Entropie; Pha-
senumwandlungen wie Verdampfen und Kondensieren, Schmelzen und Erstarren
(cid:15) System: Als abgeschlossen von der Umgebung betrachtet (Vereinfachung), d.h. WW
im Innern viel st(cid:127)arker als mit der Umgebung. Beispiele: Sto(cid:11)probe im Chemiela-
bor, Thermobeh(cid:127)alter (Ka(cid:11)eekanne), Ku(cid:127)hl(cid:13)asche (Sticksto(cid:11)), chemischer Synthese-
reaktor (Ammoniaksynthese), Erdatmosph(cid:127)are (Klimamodelle), Jupiter und Sonne
(Astrophysik), Universum (Kosmologie)
(cid:15) M(cid:127)ogliche Austausche mit der Umgebung:
ARBEIT WAERME
(mech. oder Felder) (Waermebad)
δΑ δQ
SYSTEM
δΝ
STOFF (Teilchenreservior)
(cid:15) Charakterisierung des Systems:
abgeschlossen: (cid:14)A = 0, (cid:14)Q = 0, (cid:14)N = 0
adiabatisch isoliert: (cid:14)A 6= 0, (cid:14)Q = 0, (cid:14)N = 0
geschlossen: (cid:14)A 6= 0, (cid:14)Q 6= 0, (cid:14)N = 0
o(cid:11)en: (cid:14)A 6= 0, (cid:14)Q 6= 0, (cid:14)N 6= 0
5
Thermodynamischer Gleichgewichtszustand (Erfahrungssatz)
Jedes von der Umgebung isolierte thermodynamische System geht nach hinreichend lan-
ger Zeit in einen Zustand (cid:127)uber, den es spontan nicht wieder verl(cid:127)asst. Dieser Zustand
hei(cid:25)t thermodynamisches Gleichgewicht. Durch ihn sind alle Eigenschaften des Systems
bestimmt.
(cid:15) Beispiele:
{ Temperaturausgleich
{ Druckausgleich
{ Konzentrationsausgleich
{ Spontane Magnetisierung in Ferromagnetika (z.B. Fe, Co, Ni, Gd, Dy, EuO)
{ Spontane Polarisation in Ferroelektrika (z.B. KDP{Kristalle wie KD2PO4, Tri-
glyzinsulfat, Perovskite wie BaTiO3 oder KNbO3)
(cid:15) Transitivit(cid:127)at des thermodynamischen Gleichgewichts: Ist A mit B im Gleichgewicht
und B mit C, so ist auch A mit C im Gleichgewicht.
(cid:15) Nichtgleichgewichtszust(cid:127)ande: Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en h(cid:127)angen von Ort und Zeit ab, z.B.
Anregungs- und Relaxationsprozesse (kurze intensive Laserpulse auf Ober(cid:13)(cid:127)achen:
hochangeregter Halbleiter), Injektion schneller Teilchen in ein Fusionsplasma (Hei-
zung),W(cid:127)armeleitung(Temperaturgradient),Di(cid:11)usion(Konzentrationsgradient),elek-
trischer Strom (elektrisches Feld), Hall{Widerstand (magnetisches Feld), p{n{U(cid:127)ber-
gang unter Last (Spannung) ...
(cid:15) Modell des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts ist h(cid:127)au(cid:12)g nu(cid:127)tzlich; Problem
der Wahl geeigneter Zeit- und L(cid:127)angenskalen ! Nichtgleichgewichtsthermodynamik
und Nichtgleichgewichtsstatistik
Komponente
Ein System kann aus verschiedenen Komponenten (Sto(cid:11)en) bestehen. Beispiel: Luft kann
fu(cid:127)r einfache thermodynamische Rechnungen als Gemisch aus Sticksto(cid:11) (78%), Sauersto(cid:11)
(21%) und Argon (1%) betrachtet werden.
Phase
Eine Phase ist ein in physikalischer und chemischer Hinsicht homogener Bereich eines
thermodynamischen Systems. Beispiel: Wasser im Gleichgewicht mit seinem Dampf ist
ein System aus 2 Phasen.
Grenz(cid:13)(cid:127)achen
trennen Phasen voneinander. Die Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en (z.B. Dichte) (cid:127)andern sich sehr schnell
mit dem Ort in diesen eigentlich inhomogenen, sehr schmalen U(cid:127)bergangszonen. Das Mo-
dell einer mathematischen Fl(cid:127)ache ist fu(cid:127)r das Mehrphasensystem anwendbar.
6
1.2 Zustandsvariablen
ZustandsvariablensindParameteroderMessgr(cid:127)o(cid:25)en,dieeinenthermodynamischenGleich-
gewichtszustand charakterisieren. Man unterscheidet innere (z.B. Druck p, Temperatur
T, chemische Zusammensetzung) und (cid:127)au(cid:25)ere (Felder, Volumen V) sowie extensive und
intensive. Gleichgewichtszust(cid:127)ande sind durch eine kleine Anzahl von Zustandsvariablen
vollst(cid:127)andig charakterisiert. Den kleinsten m(cid:127)oglichen Satz von Zustandsvariablen nennt
man deshalb auch vollst(cid:127)andigen Satz. Die zu ihm geh(cid:127)orenden Zustandsvariablen bezeich-
nen wir als unabh(cid:127)angig. Die Auswahl eines vollst(cid:127)andigen Satzes von Zustandsvariablen
ist willku(cid:127)rlich und erfolgtnach Zweckm(cid:127)a(cid:25)igkeitskriterien. Alle anderen Zustandsvariablen
sind Funktionen der Zustandsvariablen des vollst(cid:127)andigen Satzes; man nennt sie Zustands-
gr(cid:127)o(cid:25)en oder abh(cid:127)angige Zustandsvariablen. Die Zahl der unabh(cid:127)angigen Zustandsvariablen
gibt die Zahl der thermodynamischen Freiheitsgrade des Systems an.
Extensive Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en
(cid:15) Proportional zur Gr(cid:127)o(cid:25)e des Systems, z.B. Teilchenzahl N, Sto(cid:11)menge (Molzahl) n,
VolumenV,Masse m,innereEnergieU,EntropieS,MagnetisierungM~ ,Polarisation
P~
(cid:15) Sind in einem Mehrphasensystem aus i Phasen additiv, d.h.
Xi Xi
(j) (j)
U = U ; S = S :::
j=1 j=1
(cid:15) Fu(cid:127)r ihre A(cid:127)nderung in einem Volumenelement (cid:1)V existieren Bilanzgleichungen:
dA daA diA
= + :
dt dt dt
daA: Bilanz aus Zu(cid:13)uss/Ab(cid:13)uss von A in/aus das/dem Volumenelement
diA: Bilanz aus Vernichtung und Produktion von A im Volumenelement
(cid:15) Abgeschlossenes System: daA = 0. Falls weiterhin diA = 0 gilt, ist A eine Erhal-
dA
tungsgr(cid:127)o(cid:25)e: = 0. Beispiele: Masse m, Ladung q, Energie E, Impuls p~, Drehimpuls
dt
L~.
(cid:15) Extensive Gr(cid:127)o(cid:25)en k(cid:127)onnen von einem System auf ein anderes u(cid:127)bertragen werden und
sind zum Teil ineinander umwandelbar (z.B. verschiedene Energieformen, Massen
durch Reaktionen).
(cid:15) Beachte: Die Entropie S kann in abgeschlossenen Systemen auch anwachsen (3. HS).
Intensive Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en
(cid:15) Sind unabh(cid:127)angig von der Gr(cid:127)o(cid:25)e des Systems, z.B. Temperatur T, Druck p
(cid:15) Quotienten zweier extensiver Gr(cid:127)o(cid:25)en sind intensiv. Bezieht man sich auf das
Volumenelement (cid:1)V: (cid:24)dichte, z.B. Massendichte % = (cid:1)m=(cid:1)V
Massenelement (cid:1)m: spezi(cid:12)sche (cid:24), z.B. spez. W(cid:127)armekapazit(cid:127)at C = (cid:1)Q=(cid:1)m
Sto(cid:11)menge (cid:1)n: molare (cid:24), z.B. molare Entropie s = (cid:1)S=(cid:1)n
7
Thermodynamischer Prozess
(cid:15) Allgemein jede A(cid:127)nderung einer Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)e mit der Zeit
(cid:15) Speziell jeder Prozess, der zum Erreichen eines Gleichgewichtszustands fu(cid:127)hrt, z.B.
Temperaturausgleich(W(cid:127)armeleitung),DruckausgleichdurchVolumen(cid:127)anderung,Kon-
zentrationsausgleich (Di(cid:11)usion) etc.
(cid:15) Verlaufen von selbst oder unter dem Ein(cid:13)uss (cid:127)au(cid:25)erer Einwirkungen
(cid:15) Im allgemeinen irreversibel, d.h. unumkehrbar
(cid:15) Als Idealisierung ist der reversible (umkehrbare) Prozess anzusehen: Er l(cid:127)auft nur
u(cid:127)ber Gleichgewichtszust(cid:127)ande, (cid:127)andert damit die Umgebung nicht und kann wieder
zum Ausgangszustand zuru(cid:127)ckgefu(cid:127)hrt werden.
(cid:15) N(cid:127)aherung durch sehr langsame, quasistatische Prozesse
(cid:15) Prozessarten:
isotherm dT = 0 adiabatisch (cid:14)Q = 0 polytrop c = const.
isobar dp = 0 isentrop dS = 0
isochor dV = 0 isenthalp dH = 0
1.3 Zustandsgleichungen
Zustandsgleichungen verknu(cid:127)pfen Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)en miteinander. Aus ihnen sind alle ther-
modynamischen Eigenschaften des Systems ableitbar. Zustandsgleichungen kann man als
Fl(cid:127)achen im Zustandsraum darstellen. Der Zustandsraum wird durch eine geeignete Zahl
von Zustandsvariablen aufgespannt. Fu(cid:127)r ein Gas folgt z.B. aus den unabh(cid:127)angigen Varia-
blen Temperatur T und Volumen V die Zustands(cid:13)(cid:127)ache fu(cid:127)r den Druck p = p(T;V). Jeder
Gleichgewichtszustand des thermodynamischen Systems entspricht einem Punkt auf der
Zustands(cid:13)(cid:127)ache.
Beispiel: Modell des idealen Gases
(cid:15) Punktf(cid:127)ormige Teilchen: kein Eigenvolumen
(cid:15) Keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen: H = K +V, V = 0
m
(cid:15) Gute N(cid:127)aherung fu(cid:127)r T ! 1 oder % = ! 0
V
(cid:15) Zustandsgleichungen fu(cid:127)r das ideale Gas:
p(T;V;n) = nRT=V thermische Zustandsgleichung
3
U(T;V;n) = nRT kalorische Zustandsgleichung (1)
2
3
(cid:22)(T;V;N) = RT ln(N(cid:21) =V) chemisches Potenzial
q
2
(cid:21) = 2(cid:25)h(cid:22) =(MkBT) : thermische Wellenl(cid:127)ange von Teilchen der Masse M
(cid:0)34 2
h(cid:22) = h=2(cid:25) = 1:0546(cid:2)10 Ws : Plancksches Wirkungsquantum
R = 8:3145 J/(mol K) : universelle Gas{Konstante, R = LkB
23 (cid:0)1
L = 6:0221(cid:2)10 mol : Lochschmidtsche Zahl
(cid:0)23
kB = 1:38066(cid:2)10 Ws/K : Boltzmann{Konstante
8
Einheiten:
Sto(cid:11)menge [n]=mol
(cid:14)
Absolute Temperatur [T]=K, 0K=(cid:0)273:15 C
7
Innere Energie [U]=J, 1J=1Ws=10 erg=0:23885cal
2 5
Druck [p]=Pa=N/m , 10 Pa=1bar=1.0197at=0.9869atm
Zustandsgleichung realer Gase:
Teilchen haben eine Ausdehnung und wechselwirken miteinander. Damit ist die M(cid:127)oglich-
keit von Phasenu(cid:127)berg(cid:127)angen gegeben. Die van der Waalssche Zustandsgleichung
nRT A
p(V;T;N) = V(cid:0)B (cid:0) V2 (2)
(cid:18) (cid:19)
a
oder p+ (v (cid:0)b) = RT
2
v
bezogen auf 1 mol mit v = V=n beru(cid:127)cksichtigt das Eigenvolumen der Atome (Moleku(cid:127)le)
2
(b) und die Anziehung zwischen ihnen (a=v ).
1.4 Materialeigenschaften
Thermodynamische Gr(cid:127)o(cid:25)en, die den di(cid:11)erenziellen Zuwachs einer Zustandsgr(cid:127)o(cid:25)e bei in(cid:12)-
nitesimaler A(cid:127)nderung einer unabh(cid:127)angigen Variable beschreiben:
!
1 @V
(cid:11) = isobarer Ausdehnungskoe(cid:14)zient
V @T
p;N
!
1 @V
(cid:20)T = (cid:0) isotherme Kompressibilit(cid:127)at
V @p
T;N
!
1 @p
(cid:12) = isochorer Druckkoe(cid:14)zient
p @T
V;N
! !
@U @U
Cv = ; Cp = W(cid:127)armekapazit(cid:127)aten
@T @T
V;N p;N
0 1
1 @M~
(cid:31)m = @ A magnetische Suszeptibilit(cid:127)at
V @H~
T;V;N
Beispiel ideales Gas: pV = nRT ergibt sofort
1 1 1
(cid:11) = ; (cid:20)T = ; (cid:12) =
T p T
und damit den (allgemeinen) Zusammenhang
p(cid:12)(cid:20)T = (cid:11) (3)
9
10