Theoretische Physik II: Elektrodynamik

223 Pages·2009·1.241 MB·German

by  Reinhard Schlickeiser

Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
(cid:70)(cid:70)
Fakult¨at fu¨r Physik
und Astronomie der
Ruhr-Universit¨at Bochum
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Institut fu¨r Theoretische Physik
Weltraum- und Astrophysik
Manuskript zur Vorlesung
Theoretische Physik II:
Elektrodynamik
3. korrigierte Auflage
– basierend auf Vorlesungen gehalten von R. Schlickeiser –
Bochum 2009

Vorlesung Theoretische Physik II
(Elektrodynamik)
gehalten von R. Schlickeiser
Reinhard Schlickeiser
Institut fu¨r Theoretische Physik
Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik
3. korrigierte Auflage

Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
0.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Einfu¨hrung 3
1.1 Vier Bereiche der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Vier Grundkr¨afte der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Historische Entwicklung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Eigenschaften der elektrischen Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Mathematische Voru¨berlegungen 7
2.1 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Differentiation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Koordinatenlinien und Koordinaten߬achen . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Festlegung von Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Beispiel: Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Der Nabla-Operator ∇(cid:126) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Rechenregeln fu¨r vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Produktregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Quotientenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren . . . . . 20
2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.5 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.6 Beispiel: Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Integralrechnung mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
Inhaltsverzeichnis
2.6.1 Integration von Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Integration von Divergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.3 Integration von Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.4 S¨atze von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Dirac’s Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.1 Divergenz von (cid:126)e /r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
r
2.7.2 Die eindimensionale Delta-Funktion δ(x−x ) . . . . . . . . . . . . . 34
0
2.7.3 Einschub: Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . 36
2.7.4 Eigenschaften der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7.5 Die dreidimensionale Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Helmholtz-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Skalare Potentiale und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Elektrostatik 43
3.1 Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Elektrische Feldst¨arke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Differentielle Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Integralform der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Anwendung des Gauß-Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Feld einer homogenen geladenen Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Feldverhalten an Grenz߬achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Elektrostatische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Energie einer Punktladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.2 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.1 Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.2 Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.3 Leiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.1 Formulierung des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.2 Partikul¨are und homogene L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.3 Eindeutigkeit der L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8.4 Greensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,begrenzten Ladungsver-
teilung nach Multipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9.1 Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9.2 Eigenschaften der Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9.3 Multipolentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9.4 Beispiel: Der physikalische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Spiegelungsmethode oder Methode der Bildladungen . . . . . . . . . . . . . 72
3.10.1 Beispiel: Punktladung vor geerdeter, unendlich ausgedehnter Metall-
platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ii
Inhaltsverzeichnis
3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen . . . . . . . . . . . 75
3.11.1 Ebenes Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.11.2 Methode der konformen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.11.3 Beispiel: Gerader geladener Draht durch den Ursprung und senkrecht
zur Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 L¨osung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz . . . . . . . . . . . . 80
3.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.12.2 Zylindersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.12.3 Entwicklung nach Legendre-Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.12.4 Zylindersymmetrisches Beispiel: Leitende Kugel im homogenen Feld . 84
3.12.5 Assoziierte Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.12.6 Inneres und ¨außeres Dirichletproblem fu¨r die Kugel . . . . . . . . . . 89
4 Magnetostatik 91
4.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Stromdichte und Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.2 Mikroskopische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.3 Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Amp`ere-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Magnetische Induktion und Biot-Savart-Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Beispiel: Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Beispiel: Magnetfeld eines geraden Leiters . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Differentielle Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Integralform der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6 Feldverhalten an Grenz߬achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Multipolentwicklung fu¨r das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.1 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.7.2 Magnetisches Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.7.3 Magnetisches Moment eines geschlossenen, ebenen Stromkreises . . . 109
4.7.4 Magnetisches Moment eines Systems von Punktladungen . . . . . . . 109
4.8 Beispiel: Magnetfeld durch Gleichstrom im Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . 110
5 Maxwell-Gleichungen 117
5.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Feldgleichungen vor Maxwell fu¨r zeitabh¨angige Felder . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 Verschiebungsstrom (oder: wie Maxwell das Ampere-Gesetz reparierte) . . . . 119
5.4 Elektromagnetische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5.1 Lorenz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.2 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 Energiesatz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7 Impulssatz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.8 Lagrange- und Hamilton-Funktion eines geladenen Teilchens im elektroma-
gnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iii
Inhaltsverzeichnis
6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung 133
6.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.2 Ebene, monochromatische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.1.3 Linearkombination von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . . . 136
6.1.4 Potentiale und Felder von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . 137
6.1.5 Energiedichte und Poynting-Vektor der ebenen, monochromatischen
Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.1.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Singul¨are Funktionen der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.2 Viererpotential einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.3 Elektrische Feldst¨arke einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . 154
6.2.4 Magnetische Feldst¨arke einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . 160
6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3.1 Larmor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.3 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie 177
7.1 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2.1 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren und Vierer-Tensoren . . . . . . . . . . 180
7.3 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.1 Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.2 Kovariante Maxwellgleichungen und Feldst¨arketensor . . . . . . . . . 183
7.3.3 Lorentz-Transformation der Feldst¨arken . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus fu¨r Felder . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4.1 Lagrange-Dichte und Hamilton-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4.2 Klein-Gordon-Lagrange-Dichte fu¨r ein skalares (Spin 0) Feld . . . . . 187
7.4.3 Proca-Lagrange-Dichte fu¨r ein Vektor-Feld (Spin 1) . . . . . . . . . . 188
7.4.4 Maxwell-Lagrange-Dichte fu¨r ein masseloses Vektor-Feld mit Quelle jµ189
7.4.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8 Elektrodynamik in Materie 191
8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.2 Feld eines polarisierten Objekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.1.3 Beispiel: Elektrisches Feld einer gleichf¨ormig polarisierten Kugel vom
Radius R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1.4 Elektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.1.5 Lineare Dielektrika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
iv
Inhaltsverzeichnis
8.1.6 Beispiel:KugelauslinearemdielektrischenMaterialimgleichf¨ormigen
elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2 Magnetisierte Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.1 Suszeptibilit¨at und Permeabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Maxwell-Gleichungen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.1 Maxwell-Gleichungen in integraler Form . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.2 Maxwell-Gleichungen in differentieller Form . . . . . . . . . . . . . . 209
A Anhang 211
A.1 Mathematischer Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1.1 N¨aherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1.2 Eulersche Formeln und Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1.3 Darstellung des ∇(cid:126)-Operators in verschiedenen Koordinatensystemen . 211
A.1.4 Rechenregeln fu¨r den ∇(cid:126)-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.2 Empfohlene Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.2.1 Bu¨cher zur Theoretischen Elektrodynamik: . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.2.2 Bu¨cher fu¨r mathematische Formeln (“Grundausstattung”): . . . . . . 213
A.2.3 Bu¨cher fu¨r mathematische Physik (“Grundausstattung”): . . . . . . . 213
v
Inhaltsverzeichnis
vi