Theoretische Physik II

188 Pages·2017·2.91 MB·German

Theoretische Physik II: Analytische
Mechanik und Grundlagen der
Thermodynamik
Matthias Bartelmann
Institut für Theoretische Astrophysik
Universität Heidelberg
ii
Herzlichen Dank an viele Studentinnen und Studenten, die das Skript
kommentiertundkorrigierthabenunddamitsehrdazubeigetragenhaben,
eszuverbessernundverständlicherzumachen!
Inhaltsverzeichnis
1 SystememitNebenbedingungen 1
1.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 ZwangsbedingungenundverallgemeinerteKo-
ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . 3
1.2 Dasd’AlembertschePrinzip . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Zwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 AllgemeineFormulierungdesd’Alembert’schen
Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 ErweiterungaufdynamischeSysteme . . . . . 8
1.2.4 Lagrange-GleichungenersterArt . . . . . . . 10
2 Lagrange-Formalismus 13
2.1 LagrangegleichungenzweiterArt . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 EinfacheBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 KräfteinbeschleunigtenBezugssystemen . . . 16
2.2 Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Bewegungdeskräftefreien,symmetrischenKrei-
sels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Euler’scheGleichungen . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 AnwendungderEuler’schenGleichungen . . . 20
2.2.4 KreiselimSchwerefeld . . . . . . . . . . . . . 22
3 Extremalprinzipien 25
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
3.1 HamiltonsPrinzipderstationärenWirkung . . . . . . 25
3.1.1 Beispiel:DasFermat’schePrinzip . . . . . . . 25
3.1.2 HamiltonsPrinzip . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 DiekanonischenGleichungen . . . . . . . . . 28
3.2.2 HamiltonfunktionundEnergie . . . . . . . . . 30
3.2.3 Kanonische Gleichungen aus dem Wirkungs-
prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 MechanikkontinuierlicherMedien 35
4.1 LineareKette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 GrenzübergangzumKontinuierlichen . . . . . 35
4.1.2 AbleitungderBewegungsgleichungenausdem
Lagrangefunktional . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.3 Died’Alembert’scheGleichung . . . . . . . . 39
4.2 SchwingendeSaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 SchwingendeMembran . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 SymmetrienundErhaltungssätze 47
5.1 Galilei-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Noether-Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Lorentz-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.1 DiespezielleLorentztransformation . . . . . . 52
5.3.2 DerMinkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . 54
6 AnalytischeMechanik 57
6.1 KanonischeTransformationen . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 BahnenimerweitertenPhasenraum . . . . . . 57
6.1.2 KanonischeTransformationen . . . . . . . . . 59
6.2 Hamilton-Jacobi-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 DieHamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . 60
6.2.2 HarmonischerOszillator . . . . . . . . . . . . 61
INHALTSVERZEICHNIS v
6.2.3 BewegungdesfreienMassenpunkts . . . . . . 62
6.2.4 LösungderHamilton-Jacobi-Gleichung . . . . 63
6.3 LiouvillescherSatz,Poisson-Klammern . . . . . . . . 64
6.3.1 DerLiouvillescheSatz . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.2 Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 StabilitätundChaos 67
7.1 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.1 BewegunginderNähedesGleichgewichts . . 67
7.1.2 DefinitionenundSätzezurStabilität . . . . . . 70
7.1.3 HamiltonscheSysteme . . . . . . . . . . . . . 71
7.1.4 Attraktoren;dievan-der-PolscheGleichung . . 73
7.2 ChaosinderHimmelsmechanik . . . . . . . . . . . . 74
7.2.1 Beispiel:SaturnmondHyperion . . . . . . . . 74
7.2.2 ChaotischesTaumelnaufderEllipsenbahn . . 76
8 GrundlagenderstatistischenPhysik 79
8.1 DasGrundpostulatderstatistischenPhysik . . . . . . . 79
8.1.1 Mikro-undMakrozustände . . . . . . . . . . . 79
8.1.2 AufenthaltswahrscheinlichkeitenimPhasenraum 80
8.1.3 DerLiouville’scheSatz . . . . . . . . . . . . . 82
8.1.4 ÜberganginsGleichgewicht . . . . . . . . . . 83
8.1.5 AnzahlzugänglicherZustände . . . . . . . . . 84
8.2 WechselwirkungenzwischenSystemen . . . . . . . . 86
8.2.1 MechanischeArbeitundWärme . . . . . . . . 86
8.2.2 VollständigeundunvollständigeDifferentiale . 87
8.2.3 QuasistatischeZustandsänderungen . . . . . . 89
9 TemperaturundEntropie 91
9.1 ÜbergängezwischenGleichgewichtszuständen . . . . 91
9.1.1 ReversibleundirreversibleZustandsänderungen 91
vi INHALTSVERZEICHNIS
9.1.2 ÄußereParameterimGleichgewicht . . . . . . 92
9.2 ThermischesGleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.1 DieabsoluteTemperatur . . . . . . . . . . . . 93
9.2.2 Physikalische Eigenschaften im thermischen
Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.3.2 AllgemeineWechselwirkung . . . . . . . . . . 99
9.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4.1 Helium-Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4.2 Fermi-Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.4.3 VerlaufeinerAdiabate . . . . . . . . . . . . . 104
10 Wahrscheinlichkeit 105
10.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.1.1 Kolmogorow’scheAxiome . . . . . . . . . . . 105
10.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.1.3 MittelwertundStreuung . . . . . . . . . . . . 108
10.2 Zufallsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2.1 Zufallsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2.2 Grenzfallgroßer N . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.3 DieMaxwell-unddieBoltzmann-Verteilung . . . . . . 114
10.3.1 DieMaxwell-Verteilung . . . . . . . . . . . . 114
10.3.2 DieBoltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . 116
11 EinfacheAnwendungen 117
11.1 EinfachethermodynamischeBeziehungen . . . . . . . 117
11.1.1 EindeutigkeitderEntropie . . . . . . . . . . . 117
11.1.2 ThermischesundmechanischesGleichgewicht 118
11.1.3 WärmekapazitätundspezifischeWärme . . . . 119
11.2 DasidealeGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
INHALTSVERZEICHNIS vii
11.2.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2.2 SpezifischeWärmen . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2.3 AdiabatischeExpansion . . . . . . . . . . . . 125
11.2.4 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.2.5 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12 ThermodynamischeFunktionen 129
12.1 ThermodynamischeFunktionen . . . . . . . . . . . . 129
12.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1.2 Legendre-Transformationen . . . . . . . . . . 130
12.1.3 DieEnthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.1.4 DiefreieEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.1.5 DiefreieEnthalpie . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.1.6 Zusammenfassung;Maxwell-Relationen . . . . 134
12.2 EinigeAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.2.1 SpezifischeWärmen . . . . . . . . . . . . . . 135
12.2.2 EntropieundEnergie . . . . . . . . . . . . . . 137
12.2.3 VanderWaals-Gas . . . . . . . . . . . . . . . 139
13 Kreisprozesse 141
13.1 DerJoule-Thomson-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.1.1 FreiexpandierendesGas . . . . . . . . . . . . 141
13.1.2 Joule-Thomson-Koeffizient . . . . . . . . . . . 142
13.1.3 Joule-Thomson-EffektimVan-der-Waals-Gas . 143
13.2 KreisprozesseundWärmekraftmaschinen . . . . . . . 146
13.2.1 DerCarnotscheWirkungsgrad . . . . . . . . . 146
13.2.2 DerCarnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.2.3 DerOtto-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.2.4 DieClausius-Clapeyron’scheGleichung . . . . 150
14 Phasengleichgewicht 153
viii INHALTSVERZEICHNIS
14.1 GleichgewichtundStabilität . . . . . . . . . . . . . . 153
14.1.1 ExtremaleigenschaftenimGleichgewicht . . . 153
14.1.2 Stabilitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 155
14.2 DaschemischePotential . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.2.1 Definition,Phasengleichgewicht . . . . . . . . 157
14.2.2 DieGibbs’schePhasenregel . . . . . . . . . . 158
14.2.3 Gibbs-Duhem-Beziehung, Reaktionsgleichge-
wichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.3 Phasenübergangimvan-der-Waals-Gas . . . . . . . . 161
14.3.1 DiefreieEnthalpie . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.3.2 LatenteWärme . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15 IdealeHydrodynamik 165
15.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15.1.2 DieKontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . 166
15.1.3 DieEulerscheGleichung . . . . . . . . . . . . 167
15.1.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.2 EinfacheAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.2.1 DieBernoullischeGleichung . . . . . . . . . . 172
15.2.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.2.3 DiebarometrischeHöhenformel . . . . . . . . 175
Kapitel 1
Systeme mit Nebenbedingungen
1.1 Vorbereitung
1.1.1 Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koor-
dinaten
• Bereits in der Punktmechanik im ersten Teil der Vorlesung wur-
de erwähnt, dass physikalische Systeme oft durch besondere Be-
dingungen in ihrer Bewegung eingeschränkt werden. Ein einfa-
chesBeispielwardasmathematischePendel,dessenPendelkörper
durch seine Pendelachse auf eine Ebene und durch die konstan-
te Pendellänge auf die Bewegung längs einer Kreislinie einge-
schränktwird.WirkönnendiesenSachverhaltdadurchausdrücken,
dass die ursprünglichendrei Freiheitsgradedes Massenpunkts im
mathematischenPendeldurchzweiBedingungenauf einenredu-
ziertwerden.
• Weitere naheliegende und alltägliche Beispiele für Nebenbedin-
gungen sind Kinder, die auf einer Rutschbahn rutschen; zwei
Massenpunkte, die durch eine Stange zu einer Hantel verbunden
sind;Kugelbahnen, indeneneine herabrollendeKugel durcheine
Schienegeführtwird;einPlanet,dessenBewegungdurchdieDre-
himpulserhaltungaufeineBahnebeneeingeschränktwird,usw.
• BisherhattenwirdieFreiheitsgradevonKörpernmeistensdurch
kartesischeKoordinatenbeschrieben.AllgemeinkönnenFreiheits-
gradeaberdurchweitgehendbeliebige,unabhängigeLageparame-
terbeschriebenwerden,diezurvollständigenCharakterisierung
der Lage des Systems notwendig (und hinreichend) sind. So hat
einSystemvon N MassenpunktenohneeinschränkendeNebenbe-
dingungen f = 3N Freiheitsgrade,diedurchdie N Ortsvektoren
(cid:126)x mitihrenjeweilsdreiKomponentendargestelltwerdenkönnen.
i
Zwei Massenpunkte an einer Stange haben f = 3 × 2 − 1 = 5
1
2 KAPITEL1. SYSTEMEMITNEBENBEDINGUNGEN
Freiheitsgrade,weildieStangeeineNebenbedingungdarstellt.Ein
starrerKörperhat f = 6Freiheitsgrade,nämlichdie Lageseines
SchwerpunktsunddiedreiEulerwinkel,dieseineOrientierungim
Raumangeben.
• Nebenbedingungen,diedieAnzahlder Freiheitsgradeeinschrän-
ken, werden auch Zwangsbedingungen genannt. Sie können auf
verschiedene Weisen formuliert werden. Oft ist es möglich, sie
durchGleichungenderArt
f((cid:126)x ,...,(cid:126)x ,t) = 0 , 1 ≤ i ≤ r (1.1)
i 1 N
auszudrücken,dier Bedingungenandie N OrtsvektorenderMas-
senpunktestellen.WirnehmenimFolgendenan,dassdier Funk-
tionen f genügendoftdifferenzierbarsindunddassdieMatrix
i
 
 ∂∂∂x...ff11r1 ∂∂∂x...ff11r2 ...... ∂∂∂x...f3f1rN  (1.2)
∂x11 ∂x12 ∂x3N
dort den Rang r hat, wo f((cid:126)x ,t) = 0 erfüllt ist1 Beispiele für
i j
NebenbedingungendieserArtsind:
– EineBewegungaufeinerEbeneerfülltdieBedingung(cid:126)x·(cid:126)n =
0,wenn(cid:126)nderNormalenvektorderEbeneist.
– Eine Bewegung auf einer Kugel stellt die Bedingung |(cid:126)x| =
R = konst,also|(cid:126)x|−R = 0.
ZwangsbedingungendesTyps(1.1)heißenholonom,anderenTyps
nichtholonom.EinBeispielfüreinenichtholonomeZwangsbedin-
gung ist die für die Bewegung innerhalb einer Kugel, also mit
|(cid:126)x| ≤ R. Bedingungen,die dieZeit explizitenthalten, heißenrheo-
nom,anderenfallsskleronom(griechischrheos=fließend;skleros
= starr).Bei r Zwangsbedingungenfür N Massenpunktereduziert
sichdieAnzahlderFreiheitsgradeauf f = 3N −r.
• Der Konfigurationsraum eines Systems ist der Teil des 3N-
dimensionalen Raums, der von den Koordinaten oder Lagepara-
metern der N Massenpunkteaufgespannt wird. Dier Bedingungs-
gleichungen f definiereneine(3N −r)-dimensionalesogenannte
i
Untermannigfaltigkeit im Konfigurationsraum2. Zum Beispielist
derKonfigurationsraumeinesfreienMassenpunktsderdreidimen-
sionale reelle Raum R3. Die Zwangsbedingung |(cid:126)x| = R definiert
1DerRangeinerlinearenAbbildungA:V →W auseinemVektorraumV ineinen
VektorraumW istdieDimensionihresBildraums,d.h.dieDimensiondesRaums,der
vondenBildvektorenallerVektorenausdemVektorraumV aufgespanntwird.
2n-dimensionaleMannigfaltigkeitensindstetige,genügendglatteRäume,deren
GeometrieallgemeineralsdiedesRnseinkann.EinegenauereDefinitionisthiernicht
notwendig.