Theoretische Physik auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik: Band Ia Aufgaben und Ergänzungen zur Punktmechanik

158 Pages·1966·5.052 MB·German

by  G. Falk

HHeeiiddeellbbeerrggeerr TT aasscchheennbbiiiicchheerr BBaanndd 88
TThheeoorreettiisscchhee PPhhyyssiikk
aauuff ddeerr GGrruunnddllaaggee eeiinneerr aallllggeemmeeiinneenn DDyynnaammiikk
BBaanndd IIaa
AAuuffggaabbeenn uunndd EErrggaannzzuunnggeenn zzuurr PPuunnkkttmmeecchhaanniikk
GG.. FFaallkk
MMiitt 3377 AAbbbbiilldduunnggeenn
SSpprriinnggeerr--VVeerrllaagg BBeerrlliinn HHeeiiddeellbbeerrgg NNeeww YYoorrkk 11996666
AAiillee RReeddllttee,, iinnssbbeessoonnddeerree ddaass ddeerr OObbeerrsseett%%uunngg iinn ffrreemmddee SSpprraammeenn,, vvoorrbbeehhaalltteenn.. OOhhnnee aauuss
ddrriiiiddddiimmee GGeenneehhmmiigguunngg ddeess VVeerrllaaggeess iisstt eess aauumm nniimmtt ggeessttaatttteett,, ddiieesseess BBuumm ooddeerr TTeeiillee ddaarraauuss
aauuff pphhoottoommeemmaanniissmmeemm WWeeggee ((PPhhoottookkooppiiee,, MMiikkrrookkooppiiee)) %%uu vveerrvviieellffaallttiiggeenn.. ©© bbyy SSpprriinnggeerr
VVeerrllaagg BBeerrlliinn •• HHeeiiddeellbbeerrgg 11996666..
SSooffttccoovveerr rreepprriinntt oofftthhee hhaarrddccoovveerr 1188tt eeddiittiioonn 11996666
IISSBBNN:: 1133:: 997788--33--554400--0033555577--22 ee--IISSBBNN--1133:: 997788--33--664422--9944995599--33
DDOOll:: 1100..11000077//997788--33--664422--9944995599--33
VVoorrwwoorrtt
DDeerr vvoorrlliieeggeennddee BBaanndd iisstt ddeerr OObbuunnggsstteeiill zzuu BBaanndd lluunndd ddaahheerr vvoorr
nneehhmmlliicchh iinn VVeerrbbiinndduunngg mmiitt ddiieesseemm zzuu ggeebbrraauucchheenn.. EErr eenntthhaalltt AAuuffggaabbeenn
uunndd EErrggaannzzuunnggeenn,, ddiiee ddaazzuu ddiieenneenn,, ddeenn LLeerrnneennddeenn eeiinneerrsseeiittss mmiitt ddeenn
mmaatthheemmaattiisscchheenn HHiillffssmmiitttteellnn ddeerr PPhhyyssiikk ssoowwiiee mmiitt eelleemmeennttaarreenn SSttaann
ddaarrddbbeeiissppiieelleenn pphhyyssiikkaalliisscchheerr SSyysstteemmee vveerrttrraauutt zzuu mmaacchheenn uunndd iihhmm
aannddeerreerrsseeiittss eeiinn bbeesssseerreess VVeerrssttaannddnniiss ddeerr iinn BBaanndd II bbeehhaannddeelltteenn aallllggee
mmeeiinneenn TThheeoorriiee zzuu eerrmmoogglliicchheenn.. DDiiee AAuuffggaabbeenn ssoowwoohhll aallss ddiiee iihhnneenn bbeeii
ggeeggeebbeenneenn LLoossuunnggeenn sstteelllleenn aann ddeenn LLeesseerr mmiitt wwaacchhsseennddeenn KKeennnnttnniisssseenn
iimm aallllggeemmeeiinneenn wwaacchhsseennddee AAnnffoorrddeerruunnggeenn..
NNeebbeenn ddeenn AAuuffggaabbeenn eenntthhaalltt ddeerr BBaanndd nnoocchh sseecchhss mmaatthheemmaattiisscchhee
AAnnhhaannggee,, ddiiee vvoorr aaHHeemm aallss HHiillffee ffuurr ddeennjjeenniiggeenn ggeeddaacchhtt ssiinndd,, ddeerr ssiicchh
uurrnn eeiinn VVeerrssttaannddnniiss ddeerr iinn ddeerr tthheeoorreettiisscchheenn PPhhyyssiikk ggeebbrraauucchhlliicchheenn
mmaatthheemmaattiisscchheenn MMeetthhooddeenn bbeemmuuhhtt..
AAnn mmaatthheemmaattiisscchheenn VVoorrkkeennnnttnniisssseenn iisstt VVeerrttrraauutthheeiitt mmiitt ddeerr DDiiffffee
rreennttiiaall-- uunndd IInntteeggrraallrreecchhnnuunngg vvoorraauussggeesseettzztt.. IInn eeiinniiggeenn AAuuffggaabbeenn uunndd
iinn ddeenn AAnnhhaannggeenn IIVV uunndd VV wweerrddeenn uubbeerrddiieess eeiinn ppaaaarr GGrruunnddttaattssaacchheenn
aauuss ddeerr FFuunnkkttiioonneenntthheeoorriiee bbeennuuttzztt..
KKaarrllssrruuhhee,, AApprriill 11996655 GG.. FFAALLKK
IInnhhaallttssvveerrzzeeiicchhnniiss
AAuuffggaabbeenn uunndd EErrggaannzzuunnggeenn zzuu KKaappiitteell AA.. KKiinneemmaattiikk 11
AAII:: HHaarrmmoonniisscchhee SScchhwwiinngguunngg.. .. •• •• 11
AA 22:: BBeewweegguunngg bbeeii SSttookkeesssscchheerr RReeiibbuunngg.. .. •• •• •• .. 33
AA 33:: BBeewweegguunngg bbeeii NNeewwttoonnsscchheerr RReeiibbuunngg •• •• •• .. •• 44
AA 44:: BBrreemmssHHiinnggeenn bbeeii ggeesscchhwwiinnddiiggkkeeiittssaabbhhaannggiiggeerr RReeiibbuunngg 44
AA 55:: GGeeddaammppffttee SScchhwwiinngguunngg 55
AA 66:: ZZuurr ggeeddaammppfftteenn SScchhwwiinngguunngg 66
AA 77:: EErrzzwwuunnggeennee SScchhwwiinngguunngg .. .. 77
AA 88:: AAnnssttooBBeenn eeiinneerr SScchhwwiinngguunngg .. 1100
AA 99:: ZZeeiittlliicchh bbeelliieebbiiggee AAnnrreegguunngg eeiinneess ggeeddaammppfftteenn OOsszziillIIaattoorrss 1111
AA 1100:: ZZeeiittmmiitttteellwweerrttee vvoonn XXll uunndd iill bbeeiimm hhaarrmmoonniisscchheenn OOsszziillllaattoorr .. 1133
AAllll:: AAuuffeenntthhaallttsswwaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeiitt ddeess lliinneeaarreenn OOsszziillIIaattoorrss 1144
AA 1122:: BBaahhnnkkuurrvveenn ddeess eebbeenneenn hhaarrmmoonniisscchheenn OOsszziillllaattoorrss.. •• 1144
AA 1133:: GGeesscchhlloosssseennee uunndd nniicchhtt--ggeesscchhlloosssseennee LLiissssaajjoouuss--FFiigguurreenn 1188
AA 1144:: MMeecchhaanniisscchhee AAhhnnlliicchhkkeeiitt •• .. .. •• •• •• •• .. •• .. 1199
AAuuffggaabbeenn uunndd EErrggaannzzuunnggeenn zzuu KKaappiitteell BB.. NNeewwttoonnsscchhee GGrraavviittaa--
ttiioonnsstthheeoorriiee 2200
BB 11:: ZZeeiittmmiitttteellwweerrtt vvoonn ll//rr bbeeii ddeerr eelllliippttiisscchheenn KKeepplleerr--BBeewweegguunngg .. 2200
BB 22:: ZZuurr ffrreeiieenn BBeewweegguunngg iimm KKeepplleerr--FFeelldd .. 2211
BB 33:: GGrreennzzggeesscchhwwiinnddiiggkkeeiitteenn zzuumm VVeerrllaasssseenn ddeess EErrdd--uunndd SSoonnnneennffeellddeess 2222
BB 44:: AApppprrooxxiimmaattiivvee GGeessttaalltt ddeerr MMoonndd-- uunndd EErrddbbaahhnn .. 2233
BB 55:: FFeelldd eeiinneerr zzeennttrraallssyymmmmeettrriisscchheenn VVeerrtteeiilluunngg ddeerrGGrraavviittaattiioonnssllaadduunngg 2244
BB 66:: PPootteennttiiaallffeelldd eeiinneess hhoommooggeenneenn RRoottaattiioonnsseelllliippssooiiddeess 2255
BB 77:: BBeesscchhlleeuunniigguunnggssffeelldd eeiinneess hhoommooggeenneenn RRoottaattiioonnsseelllliippssooiiddeess .. 2288
BB 88:: KKeepplleerr--BBeewweegguunngg uunntteerr ddeemm EEiinnfflluuBB eeiinneerr zzeennttrraallssyymmmmeettrriisscchheenn
SSttoorruunngg 2299
BB 99:: EEffffeekktt eeiinneess QQuuaaddrruuppoollmmoommeenntteess ddeerr SSoonnnnee 3311
AAuuffggaabbeenn uunndd EErrggaannzzuunnggeenn zzuu KKaappiitteell CC.. EElleemmeennttaarree DDyynnaammiikk 3333
CC 11:: RRaakkeetteennbbeewweegguunngg •• 3333
CC 22:: HHaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr 3355
CC 33:: EEnneerrggiiee--UUmmssaattzz bbeeii ddeerr ssttaattiioonnaarreenn eerrzzwwuunnggeenneenn SScchhwwiinngguunngg 3377
CC 44:: DDiissppeerrssiioonnssrreellaattiioonneenn 3399
CC 55:: GGeekkooppppeellttee OOsszziillllaattoorreenn 4444
CC 66:: EEnneerrggiieeaauussttaauusscchh zzwwiisscchheenn ggeekkooppppeelltteenn OOsszziillIIaattoorreenn .. 4477
CC 77:: LLiinneeaarree KKeettttee .. 4499
CC 88:: MMooddeellll eeiinneess zzwweeiiaattoommiiggeenn MMoolleekkiiiillss .. 5544
CC 99:: EEllaassttiisscchheerr SSttooBB 5566
CC 1100:: IInneellaassttiisscchheerr SSttooBB •••• 6600
VVIIIIII IInnhhaallttssvveerrzzeeiicchhnniiss
CC 1111:: CCoouulloommbb--SSttrreeuuuunngg •• •• •• •• •• .. •• .. 6611
EErrggaannzzuunngg:: DDeerr BBeeggrriiffff ddeess WWiirrkkuunnggssqquueerrssddmmiitttteess .. 6622
CC 1122:: RRuutthheerrffoorrddsscchhee SSttrreeuuffoorrmmeell .. .. .. •• •• •• 6655
CC 1133:: WWiirrkkuunnggssqquueerrsscchhnniitttt ffUUrr ddeenn SSttooBB hhaarrtteerr KKuuggeellnn •• 6677
CC 1144:: BBoohhrrsscchheess AAttoommmmooddeellll.. .. .. .. .. •• •• .. .. •• 6688
CC 1155:: EErrhhaallttuunngg vvoonn IImmppuullss uunndd MMaassssee aallss FFoollggee ddeerr EEnneerrggiieeeerrhhaallttuunngg
iinn ddeerr NNeewwttoonnsscchheenn MMeecchhaanniikk .. .. .. .. .. .. .. .. •• 7700
CC 1166:: PPaaaarr--VVeerrnniicchhttuunngg uunndd --EErrzzeeuugguunngg.. .. •• .. .. .. .. .. ..•• 7711
CC 1177:: RRuuhheenneerrggiiee eeiinneess SSyysstteemmss wweecchhsseellwwiirrkkuunnggssffrreeiieerr TTeeiillcchheenn ..•• 7722
CC 1188:: AAbbhhaannggiiggkkeeiitteenn zzwwiisscchheenn ddeenn ddyynnaammiisscchheenn GGrruunnddrreellaattiioonneenn 7722
CC 1199:: DDoopppplleerr--EEffffeekktt ddeess LLiicchhtteess •• .. .. .. .. 7722
CC 2200:: CCoommppttoonn--EEffffeekktt aamm rruuhheennddeenn EElleekkttrroonn .. 7733
CC2211:: CCoommppttoonn--EEffffeekktt aamm bbeewweeggtteenn EElleekkttrroonn •• 7744
CC 2222:: RRoottvveerrsscchhiieebbuunngg •• .. .. •• •• •• •• •• •• 7755
CC 2233:: MMiittttlleerree LLeebbeennssddaauueerr bbeewweeggtteerr TTeeiillcchheenn .. 7755
MMaatthheemmaattiissccnnee AAnnhhaannggee .. .. .. .. .. .. •• ..
II.. EEiinnddeeuuttiiggkkeeiittssssaattzzee lliibbeerr ddiiee LLoossuunnggeenn ddeerr PPooiissssoonn-- uunndd LLaappllaaccee--
GGlleeiicchhuunngg bbeeii vvoorrggeeggeebbeenneenn RRaannddwweerrtteenn •• 7766
IIII.. VVeekkttoorrrraauummee .. .. •• •• .. •• •• •• .. 7799
IIIIII.. KKuuggeellffuunnkkttiioonneenn •• •• •• •• •• •• .. .. •• 8833
IIVV.. FFoouurriieerr--TTrraannssffoorrmmaattiioonn,, DDiissttrriibbuuttiioonneenn .. 9988
VV.. LLiinneeaarree DDiiffffeerreennttiiaallgglleeiicchhuunnggeenn,, OOppeerraattoorreenn aauuff VVeekkttoorrrrlliiuummeenn,,
GGrreeeennsscchhee FFuunnkkttiioonneenn •• •• .. .. .. .. .. •• •• •• .. .. .. 111144
VVII.. QQuuaatteerrnniioonneenn--DDaarrsstteelllluunngg 33--ddiimmeennssiioonnaalleerr DDrreehhuunnggeenn uunndd RRoottaa--
ttiioonneenn 114400
SSaaccnnvveerrzzeeiiccnnnniiss 114477
AAuuffggaabbeenn uunndd EErrggaannzzuunnggeenn zzuu KKaappiitteell AA KKiinneemmaattiikk
AAuuffggaabbee AAII:: HHaarrmmoonniisscchhee SScchhwwiinngguunngg
LLoossee ddiiee DDiiffffeerreennttiiaallgglleeiicchhuunngg ddeess lliinneeaarreenn OOsszziillllaattoorrss
xx++
ww22xx== 00 ((AALLll))
mmiitt HHiillffee aa)) ddeess EExxppoonneennttiiaall--AAnnssaattzzeess,, bb)) ddeerr PPootteennzzrreeiihheenn--MMeetthhooddee..
LLoossuunngg::
aa)) DDeerr EExxppoonneennttiiaall--AAnnssaattzz.. LLiinneeaarree hhoommooggeennee DDiiffffeerreennttiiaallgglleeii
cchhuunnggeenn mmiitt kkoonnssttaanntteenn KKooeeffffiizziieenntteenn kkoonnnneenn sstteettss dduurrcchh eeiinneenn
EExxppoonneennttiiaall--AAnnssaattzz eerrxxtt bbeeffrriieeddiiggtt wweerrddeenn.. BBeeii ddeerr DDiiffffeerreennttiiaattiioonn
rreepprroodduuzziieerrtt ssiicchh nnaammlliicchh ddiiee EExxppoonneennttiiaallffuunnkkttiioonn bbiiss aauuff eeiinnee
PPootteennzz vvoonn eexx,, uunndd ddaa eerrxxtt sstteettss vvoonn NNuullll vveerrsscchhiieeddeenn iisstt,, lliieeffeerrtt ddiiee
DDiiffffeerreennttiiaallgglleeiicchhuunngg eeiinnee aallggeebbrraaiisscchhee BBeeddiinngguunnggssgglleeiicchhuunngg ffUUrr eexx..
SSeettzzeenn wwiirr aallssoo xx((tt)) == eerrxxtt,, ssoo ggeehhtt ((AAll..II)) lliibbeerr iinn
xx ++ ww22 XX == ((eexx22 ++ ww22)) eerrxxtt == 00;; eexx22 ++ ww22 == 00 --++ eexx == ±± ii ww..
MMaann eerrhhiiiilltt ssoo ddiiee bbeeiiddeenn lliinneeaarr uunnaabbhhiiiinnggiiggeenn LLoossuunnggeenn
XXll ((tt)) == eeiirroott,, XX22 ((tt)) == ee--iirroott
uunndd mmiitt ddiieesseenn aaIIllee LLiinneeaarrkkoommbbiinnaattiioonneenn
xx((tt)) == AA'' eeiirroott ++ BB'' ee--ttrroott ((AAll..22))
mmiitt bbeelliieebbiiggeenn ((kkoommpplleexxeenn)) KKoonnssttaanntteenn AA'' uunndd BB''.. DDiieessee wweerrddeenn
dduurrcchh ddiiee AAnnffaannggssbbeeddiinngguunngg ffeessttggeelleeggtt,, ddeennnn eess iisstt
xx((tt==OO))==AA''++BB'',, ii((tt==OO))==iiww((AA''--BB''))..
JJeeddee LLoossuunngg ddeerr FFoorrmm ((AAll..22)) iissttnnaattlliirrlliicchh aauucchh iinn ddeerr FFoorrmm ((33..33bb))
ooddeerr ((33..33aa)) BBdd.. II ddaarrsstteellllbbaarr uunndd uummggeekkeehhrrtt.. ZZwwiisscchheenn ddeenn KKoonn
ssttaanntteenn AA,, BB,, ssoowwiiee 00,, <<55 uunndd AA'',, BB'' bbeesstteehhtt ddeerr ZZuussaammmmeennhhaanngg
AA==AA''++BB'',, BB==ii((AA''--BB'')),, 00==22VVAA''BB'',, ee22ii66== AA''//BB''..
bb)) DDiiee PPootteennzzrreeiihheenn--MMeetthhooddee.. MMaann sseettzztt ddiiee LLoossuunngg xx((tt)) iinn FFoorrmm
eeiinneerr PPootteennzzrreeiihhee
LL0000 LL0000
xx((tt)) == ttff!! aavvttvv == aavvttee++vv,, aaoo ==!!== 00
vv==oo vv==oo
FFaallkk,, TThheeoorreettiisscchhee PPhhyyssiikk,, BBaanndd II aa 11
2 Aufgaben und Erganzungen zu Kapitel A Kinematik
an und versucht, die Koeffizienten al' und den niedrigsten Exponen
e
ten durch Einsetzen dieser Reihe in die Differentialgleichung zu
bestimmen. Anwendung dieses Verfahrens auf (Al.I) liefert
e(e -1)aot!.'-2 + e(e + I)alt!.'-l +
200:
+ [av+2(e + 'lI + 2) (e + 'lI + I) + w2av] t!.'+v = O•
• =0
Diese Beziehung kann identisch in t, d. h. fur alle t, nur gelten, wenn
der Koeffizient jeder Potenz von t verschwindet, wenn also
e( e - I) ao = 0 ,
(e + "II + 2) (e + "II + I) av+2 + w2av = 0, "II = 0, 1,2, ...
Da nach Voraussetzung ao '" 0 sein solI, folgt aus der ersten
e e
dieser Gleichungen = I oder = O. Die zweite liefert
e e
fUr = I --+ al = 0, fUr = 0 --+ al beliebig.
Aus der letzten Gleichungszeile schlieBlich folgt
e
fur = I: al = a3 = as = ... = 0
fur n<;: = 0: a 2---Nw 2 a 0, a4 = - 3w~2 a2 = + 4w4! ao, ...
w2 w2 w4
a3= -Nal, as= -Ha3= +T!al, ...
Als Losung erhalt man somit
(wt)2 (wt)4 }
fUre=I: x(t)=t { aO-3"!ao+5!ao- ... =
ao { (wt)3 (wt)5 } ao.
=-w wt- 3l+--s!- .. · =-Wsmwt
(wt)2 (wt)4
fUr e=O: x (t) = ao - 2! ao + 4! ao - ... +
+ w2t3 + w4t5
alt - alaI -51-a! - •.. =
=ao{I_~~)2+ ...} + :{wt_(~~)3+ ... }=
=aocoswt+ ~sinwt.
w
e
LaBt man die Bedingung ao '" 0 fallen, so ist der Fall = I im
e
Fall = 0 als Spezialfall (al = 0) enthalten.
Aufgabe A 2: Bewegung bei Stokesscher Reibung 3
Aufgabe A2: Bewegung bei Stokesscher Reibung
Lose die Bewegungsgleichung:
x + a x = b , a = const. > 0, b = const. (A2.1)
und zeige: Fiir t -+ 00 strebt v (t) gegen den konstanten Wertvoo = bla;
fiir kleine t ist v = bt, wenn der Korper bei t = 0 ruht.
Die G1. (A2.1) beschreibt eine Bewegung, deren Gesamtbeschleu
nigung sich additiv zusammensetzt aus einem konstanten Anteil b
x
und einem der Geschwindigkeit proportionalen verzogernden An
ax.
teil - Man spricht in diesem Fall von einem Reibungsvorgang
vom Stokesschen Typ.
v
.!2. ----------
a
Fig. A 1. Bewegung bei Stokesscher Reibung
x:
Liisung: G1. (A2.1) ist von erster Ordnung in v =
v+av=b, v~O. (A2.2)
Eine spezielle Losung ist v = bla. Da die zugeordnete homogene
Gleichung die Losung ce-at hat, lautet die Losung von (A2.2) mit
der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0
v = x = ~ (1 - e-at) (A2.3)
a
und entsprechend die Losung von (A2.1)
+-b t + b
x(t) = Xo _(e-at -1). (A2.4)
a a2
FUr at ~ 1 ist, wie behauptet, v = bla; fiir at ~ 1 erhalt man
aus (A2.3) durch Entwickeln von e-at die Beziehung v = bt. Eine
"kleine" Zeit ist bei dem betrachteten Vorgang also eine Zeit t ~ ~,
a
entsprechend t ~ ~ eine "groBe" Zeit. Die Konstante 1/a, welche
a
die Dimension einer Zeit hat, ist fiir die Dampfung der durch (A2.1)
beschriebenen Bewegung verantwortlich. Bei b = 0 ist sie die Zeit,
in der die Geschwindigkeit des Korpers auf den e-ten Teil abnimmt;
dies liest man aus (A2.2) ab, wenn man darin b = 0 setzt.
1*
4 Aufgaben und Erganzungen zu Kapitel A Kinematik
Aufgabe A3: Bewegung bei Newtonscher Reibung
Integriere die Bewegungsgleichung:
X + IXX2 = b oder V + IXV2 = b (A3.1)
und zeige: Fiir t -+ 00 strebt v(t) gegen den konstanten Wert Voo= Vb/IX;
fiir kleine t ist wieder v = bt, wenn der Korper bei t = 0 startet.
Ltisung: Schreibt man G1. (A3.1) in der Form:
dv =bdt,
ex
1-1Jv2
so laBt sie sich unmittelbar integrieren. Mit der Anfangsbedingung
v(t = 0) = 0 ist die Losung 14
V
v = b- e2VV<X bt - 1 = -tanh (VOCbt). (A3.2)
+
ex e2 a:bt 1 ex
Hieraus entnimmt man die Behauptung liber das Verhalten der
Losung fiir "groBe" (t ~ l/v;b) und "kleine" Zeiten (t ~ l/v;b).
Die charakteristische Zeitkonstante ist jetzt die GroBe l/v;b. Der
Fan b = 0 liefert allerdings nicht,wie in AufgabeA2, eine exponentiell
abfallende Geschwindigkeit; denn nach (A3.1) ist
dv 1
- V2 = IXdt oder v (A3.3)
1
ext+ -
*' Vo
mit Vo = v (t = 0) O.
Aufgabe A 4: BremsIangen bei geschwindigkeitsabhangiger
Reibung
Eine Bewegung genlige der "Bremsgleichung"
+
it fJxn = 0, x ~ 0, fJ> 0, n = 0,1,2,... (A4.1)
Fiir welche n kommt der Korper nach einer endlichen Laufstrecke
zur Ruhe, wenn er zur Zeit t = 0 mit der Geschwindigkeit Vo > 0
gestartet wird 1
Ltisung: Die Bewegungsgleichung laBt sich schreiben
~=-fJdt·
v" '