Theoretische Mechanik: Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik

811 Pages·1949·60.457 MB·German

by  Dr. Phil. Georg Hamel (auth.)

Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften 57
A Series of Comprehensive Studies in Mathematics
Georg Hamel
Theoretische Mechanik
Eine einheitliche Einführung
in die gesamte Mechanik
Springer-V erlag
Berlin Heidelberg GmbH 1978
ISBN 978-3-642-88464-1 ISBN 978-3-642-88463-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-88463-4
AMS Subject Classifications (1970): 70 A05
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Copyright 1949 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1949
Reprinted in India by Rekha Printers Private Limited, New Delhi
NY /3014-05432
DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELI;UNGEN MIT BESONDERER
BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
W. BI,ASCHKE · R. GRAMMEl,· E. HOPF · F. K. SCHMIDT
B. I,. VAN DER WAERDEN
BAND LVII
THEORETISCHE MECHANIK
EINE EINHEITLICHE EINFÜHRUNG
IN DIE GESAMT!~ MECHANIK
VON
GEORG HAMEL
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1949
THEORETISCHE
MECHANIIZ
EINE EINHEITLICHE EINFÜHRUNG
IN DIE GESAMTE MECHANIK
VON
DR. PHIL. GEORG HAM:EL
Q. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN UNIVERSIT.~T
BERLIN-CHARLOTTENBURG
Q. MITGLIED DER DEUTSCHEN AKADEMIE
DER WISSENSCHAFTEN
MIT 161 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1949
Vorwort.
Bei Abfassung dieses Buches hatte ich hauptsächlich zwei Ziele
im Auge:
Erstens sollte die ganze Mechanik als eine einheitliche Wissenschaft
erscheinen, nicht in herkömmlicher Weise nach Punktmechanik einer
seits, Mechanik der Kontinua andererseits getrennt, zweitens sollte
die auf Lagranges unsterbliches Werk zurückgehende Methode eines
einheitlichen Aufbaus auf den drei Säulen des Prinzips der "iiirtuellen
Arbeiten, des d'Alembertschen Prinzips nnd des Lagrangeschen
Prinzips der Befreiung konsequent durchgeführt werden.
Das schien mir Um so nötiger, als Lagrange die dritte Säule zwar
ständig benutzt, aber nicht klar hingestellt hat und diese dritte Säule
daher von den Nachfolgern nicht beachtet worden ist. Um den Unter
schied dieser deduktiven Methode gegen die sonst meist gebrauchten
synfuetischen, mehr anschaulichen Methoden zu betonen, wurde das
Buch , Theoretische Mechanik" genannt.
Das schien mir besser als etwa analytische Mechanik zu sagen,
wdl dieser Begriff auch so verstanden werden kann, als spielte die
Analysis, etwa die Integrationstheorie der Differentialgleichungen die
Hauptrolle. Das soll nicht sein, wenn auch der Integrationstheorie ein
guter Teil des Buches gewidmet ist.
Bei rigoroser Durchführung des zweiten Gesichtspunktes kann der
erste, die Einheitlichkeit, gefährdet werden. Deshalb wurden die syn
thetischen Methoden zur Ergänzung bzw. ntustration auch heran
gezogen, ja an einer Stelle bei der Mechanik der Drähte (Kap. III § 2)
sogar vorangestellt. Ferner wurde in die Sammlung der "Aufgaben
und Probleme" manche Aufgabe aufgenommen, die an sich mehr in
eine elementare oder technische Mechanik hineinpaßt, um die Ver
bindung herauszustellen. Diese Aufgaben sind mit dem Zeichen V
versehen, das auch solche Aufgaben bekommen haben, die der Ver
bindung mit rein mathematischen Disziplinen, z. B. der Differential
geometrie, dienen. Endlich aber wurde zum Zwecke der Einheitlichkeit
im Anhang ein Vortrag abgedruckt, den ich im Seminar an der Tech
nischen Hochschule über die Grundlegung der Mechanik halten durfte.
In diesem Vortrag wurden die verschiedenen üblichen Methoden des
Aufbaues nebeneinandergestellt. Es kann nicht ausbleiben, daß so das
eine oder andere zweimal gesagt wurde, was der Leser gütigst ent
schuldigen möge.
VI Vorwort.
Das gestellte Programm wirklich ganz durchzuführen, hätte ein um
fangreiches Handbuch benötigt, viele Bände statt des einen. Ein Hand
buch aber war nicht beabsichtigt, sondern ein Lehrbuch. Es galt sich
also zu bescheiden, zu bescheiden auf das, was als wesentlich für eine
Gesamtmechanik anzusehen ist. Es mußte so viel gebracht werden, daß
der Leser, der das Buch durchgearbeitet hat, den Zugang zu Spezial
werken findet, die nicht überflüssig gemacht werden sollen. So wurden
etwa von der Elastizitätstheorie wohl die grundlegenden Theorien dar
gestellt, auch die der endlichen Deformationen, auch die Minimalprin
zipien von Castigliano u. a. sogar für endliche Deformationen, hier
wurde ein Vortrag eingeschaltet, den ich einmal im Außeninstitut der
Technischen Hochschule Berlin gehalten habe,. aber bis auf wenige ein
fache Beispiele auf Einzelausführungen verzichtet, wie man sie in den
bekannten klassischen Werken findet. Ähnlich wurde mit der Hydro
dynamik verfahren, oder, um ein Beispiel aus der Stereomechanik zu
nennen, mit der Kreiseltheorie. Doch soll der Leser, der nur dieses
Buch über Mechanik studiert hat, immerhin wissen, was Mechanik ist.
Um den Aufbau recht klar hervortreten zu lassen, wurden Einzel
probleme, die an sich wichtig sind, aus dem eigentlichen Buch heraus
genommen und als Aufgaben in die Sammlung der "Aufgaben und Pro
bleme" verwiesen. Hier sind sie durch das Zeichen P hervorgehoben,
wogegen die Aufgaben im engeren Sinne das Zeichen A bekommen
haben. Zu der Kategorie P gehören z. B. die Untersuchungen von
Painleve u. a. zur Reibung, Probleme von Stäckel und Di Pirro
zur Trennung der Variablen, Aufstellung der Lagrangeschen Glei
chungen für den allgemeinen Kreisel in komplexen Koordinaten, eine
längere Untersuchung zum n-Körperproblem im Anschluß an die ele
mentare Lösung von Lagrange. Und anderes mehr. Der Leser kann
sich von diesen Problemen das aussuchen, was er mag.
So sind die Aufgaben und Probleme recht mannigfacher Art. Kleine,
nur zum Nachdenken anregende Aufgaben stehen neben solchen, die
gerechnet werden wollen. Ausrechnen wurde überhaupt nicht gescheut.
Auch die Aufgabe'l sind ganz durchgerechnet. Sicher ist Denken wich
tiger als Rechnen. Aber Rechnen muß man auch können, und man
lernt es nicht, wenn man daran vorbeigeht. Nichts gefährlicher als die
Meinung, ein Problem sei gelöst, wenn man eine Methode kennt, es
zu lösen.
Das Buch soll auch für den lesbar sein, der außer einer Vorlesung
über Experimentalphysik noch keine Mechanik kennt. Da es außerdem
bei dem noch immer zu beklagenden Zustand der Lehrbücher der
Mechanik unbedingt notwendig war, außer den genannten drei Säulen
noch die wichtigste, das Newtonsehe Grundgesetz mit "dem tragenden
Begriff der Kraft zu entwickeln und nicht nur anzudeuten, war ein
einleitendes elementares Kapitel nötig. Man wolle also den Titel
Vorwort. VII
"Theoretische Mechanik" nicht mißverstehen. Das Buch wendet sich
auch nicht nur an Mathematiker, sondern ebensosehr an Physiker
und Ingenieure.
Das Buch ist aus meinen Vorlesungen entstanden, die ich durch
viele Semester über theoretische Mechanik, die Grundlagen der Me
chanik, über analytische Mechanik, über Hydromechanik und Elasti
zitätstheorie an der Technischen Hochschule Berlin gehalten habe. Den
Grundstock bildet eine Ausarbeitung, die meine Schülerin, Frl. Dr. Inge
borg Kraft, angefertigt hat. Die Ausarbeitung wurde dann unter
Mitwirkung von Herrn Ottokar Gdaniec immer wieder überarbeitet
und erweitert, so besonders während meines Aufenthaltesam Bodensee
und in Landshut 1945 bis 1948. Da ich an diesen Orten fast von allen
Hilfsmitteln entblößt war, mußte vieles aus dem Gedächtnis an Früheres
ergänzt oder auch aus dem Kopfe neu geschaffen werden. Meinen
Tübinger Kollegen danke ich sehr, daß sie mir durch eine Gastvorlesung
über Theoretische Mechanik, die vom Herbst 1946 bis zUm Sommer 1947
dauerte, ermöglichten, Literatur einzusehen. Von Einzelheiten möchte
ich noch folgendes hervorheben. Die Mechanik der Häute und der
dünnen Schalen wurde aus meiner Akademiearbeit übernommen.
Während der erste Teil fast wörtlich als Kap. III, § 3 aufgenommen
werden konnte, mußte der zweite in § 4 wesentlich umgearbeitet werden.
Einmal war dieser Teil in der Originalarbeit durch ungewöhnlich viele
Druckfehler entstellt. Dann aber enthielt diese einen Mangel, der in
der voreiligen Annahme einer Symmetrie bestand und entsprechende
Folgen hatte. Herr K. Ludwig in Hannover hat mich darauf auf
merksam gemacht. Ich habe daraus noch etwas Wichtiges über das
Befreiungsprinzip gelernt. Kann man ein und dieselbe Tatsache über
die virtuellen Verschiebungen in mehrfacher Weise ausdrücken, so
sollte man jede Ausdrucksform mit einem anderen Lagrangeschen
Parameter versehen, nicht wie ich es tat mit demselben. Sonst bekommt
man zwar kein falsches aber leicht ein zu enges Ergebnis.
Steht auch etwasNeues in dem Buch? Ich glaube ja. Jedenfalls istvieles
neu und selbständig durchgerechnet. So besonders in den Abschnitten
über den starren Körper (Kap. II, § 9, Kap. VIII, § 7 und 8); über den
Stoß (Kap. VIII, § 5), bei den nicht holonomen Systemen (Kap. IX, § 6),
von schon Genanntem abgesehen. Über die Trennung der Variablen (nach
Stäckel und Di Pirro) wurden in Aufgabe 123 u. ff. neue Unter
suchungen veröffentlicht. Vielleicht ist auch die Ausdehnung der La
grangeschen Methoden auf die Mechanik der Kontinua Kap. V,§ 10 neu.
Ein wenig Relativitätstheorie kommt neben der sonst klassischen Mecha
nik auch vor, wohl etwas anders behandelt als gewöhnlich (Kap. I, § 9).
Sonst wurden für die analytische Mechanik im engeren Sinne außer
dem Werk von Lagrange sehr stark der Enzyklopädieartikel von
Prange und das Buch von Whittaker benutzt.
VIII Vorwort.
Noch ein Wort über die benutzte Bezeichnung. Wider das in Deutsch
land Übliche wurden Vektoren nach Resal und Heun durch über
gesetzte Striche, Dyaden durch zwei Striche gekennzeichnet. Das
ist einprägsam international verständlich und erspart zwei oder gar
drei Alphabete, die für andere Zwecke frei wurden. Nur war es nötig,
für konjugiert komplexe Zahlen, die selten vorkommen, ein anderes
Zeichen zu wählen, ich nahm die übergesetzte Schlange, z. B. ä, während
für Mittelwerte die Indizesmoder 0 verwandt wurden, für alles, was
sich auf den Massenmittelpunkt bezieht, der Stern. Das Vektorprodukt
wurde nach Gib bs durch ein liegendes Kreuz bezeichnet.
Beim Korrekturlesen haben mich Herr Ottokar Gdaniec, meine
Assistentin Fr1. Dipl. math. Erika Behlendorff und Frl. Dr. Ingeborg
Kraft wesentlich unterstützt. Die Zeichnungen wurden nach meinen
Skizzen von Herrn Gdaniec entworfen und von Herrn stud. ing. Günter
Wyczecki ausgeführt. Ich sage allen vier meinen herzlichsten Dank.
Ganz besonders Dank gebührt dem Springer-Verlag dafür, daß er
in diesen schweren Zeiten die Herausgabe eines so umfangreichen
Werkes unternommen, den Druck eifrig betrieben und das Buch wie
in alten Zeiten auch ästhetisch erfreulich herausgebracht hat.
Landshut, 29. Januar 1949.
Hamel.
Inhaltsveneichnis •.
Teil I.
Aufbau der Theoretischen Mechanik.
Seilt
Einleitung . . . . . . . . . . 1
Zur Geschichte der Mechanik . 3
Literaturübersicht . . . 5
Einteilung der Mechanik . . . 6
Kapitel I.
Der Begrlff der Kraft und das Newtonsehe Grundgesetz.
1. Vorbemerkung S. 6.
f l. Geschwindigkeit und Beschleunigung • 8 (528)
2. Axiomgruppe I S. 8.
I 2. GaUleische Fallbewegungen . . . . . 11 (528)
3. Die Erdbeschleunigung S. 11 - 4. Klasse und Beschleunigungs
gesetz S. 13.
f 8, Ebene Bewegungen Jn Polarkoordinaten . . . . . . . . 15 (529)
5. Eine Zerlegung von Geschwindigkeit u. Beschleunigung S. 15.
f 4. Die Bewegung der Planeten und Kometen um die Sonne 17 ( 529)
6. Keplers Gesetze S. 17 - 7. Das Beschleunigungsgesetz der
Planeten S. 19 - 8. Masse von Sonne und Erde S. 22.
f ö. Das r&•Körperproblem der Astronomie . . . . . . . . . 23 (534)
9. Das Parallelogrammgesetz S. 23 - 10. Gegenwirkungsprinzip
und Impulssätze S. 25 - 11. Energie und Leistung S. 28 -
12. Beispiel: Das Zweikörperproblem S. 30 - 13. Zwei Be-
merkungen S. 31.
f 6. Widerstandsbewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . 33 (5 38 )
14. Reibung und Luftwiderstand S. 33 - 15. Wurf und Luft-
widerstand S. 35 - 16. Schräger Wurf S. 37 - 17. Die Asym·
ptoten S. 40.
§ 7. Zusammenfassung des I. Kapitels . . . . . . . . . . • 43 (540)
18. Das Beschleunigungsgesetz und seine Merkmale S. 43 -
19. Masse und Kraft S. 44-20. Die drei ersten Axiomgruppen
5.48.
• Die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf Teil li, Aufgaben und Probleme
der Theorctis<'hen Mechanik.