Theoretical and Experimental Aerodynamics

517 Pages·2019·16.11 MB·English

by  Mrinal Kaushik

Mrinal Kaushik
Theoretical and
Experimental
Aerodynamics
Theoretical and Experimental Aerodynamics
Mrinal Kaushik
Theoretical and Experimental
Aerodynamics
123
Mrinal Kaushik
Department ofAerospace Engineering
Indian Institute of Technology Kharagpur
Kharagpur, West Bengal, India
ISBN978-981-13-1677-7 ISBN978-981-13-1678-4 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-981-13-1678-4
LibraryofCongressControlNumber:2018951404
©SpringerNatureSingaporePteLtd.2019
Thisworkissubjecttocopyright.AllrightsarereservedbythePublisher,whetherthewholeorpartofthematerialis
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Thepublisher,theauthorsandtheeditorsaresafetoassumethattheadviceandinformationinthisbookarebelieved
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ThisSpringerimprintispublishedbytheregisteredcompanySpringerNatureSingaporePteLtd.
Theregisteredcompanyaddressis:152BeachRoad,#21-01/04GatewayEast,Singapore189721,Singapore
Preface
This book is elegantly composed for an average student who is interested in learning the
fundamentals of aerodynamics. Even if they do not have any background in aerodynamics,
thisbookisforthem.Theconceptsarewellexplainedandarealmostcompleteinthemselves
sothatthereaderneednotreferanyothersourceofinformation.Moreover,ineachchapter,I
havetriedtomaintainanadequatebalancewhileprovidinganelaboratediscussionontheflow
physics with their corresponding mathematical formulations. Indeed, I was inspired to write
this text while delivering the lectures in aerodynamics courses to undergraduate and post-
graduate students at IIT Kharagpur, where a strong need was felt to have a book which can
explain the subject from the student’s perspective.
This manuscript has been developed to provide a complete exposure to aerodynamics
beginning with definitions and concepts and to cover applied areas of practical importance.
The text is broadly divided into two parts: Theoretical Aerodynamics and Applied Aerody-
namics.Thefirstpartisspreadover12chapters,whilethesecondpartconsistsof2chapters.
The sequential organization of the book is discussed below in brief.
In aerodynamics, one has to deal with the effects of the earth’s atmosphere on flying
objects; therefore, the properties of the atmosphere are discussed in Chap. 1. The basic
conceptsinaerodynamics,equationsofmotion,potentialflows,andincompressibleflowsover
two- and three-dimensional wings are given in Chaps. 2–7. Thermodynamic aspects offluid
flows, one-dimensional isentropic flows, flow across shock waves, and high Mach number
flows are elaborated in Chaps. 8–10. The fundamental aspects of boundary layers, which are
essentialtounderstandingtheboundarylayer separation,sudden riseofdrag, andways ofits
reduction, are discussed in Chap. 11. A thorough discussion on the design and operation of
various general- and special-purpose wind tunnels is provided in Chap. 12. Besides these,
some advanced concepts of high Mach number flows particularly useful for researchers and
practicing engineers are discussed in Chaps. 13 and 14. These topics may be quite useful for
anadvancedcourse,andhopefully,theirinclusionwillbeappreciatedtotheexistingliterature
on the subject.
Some additional topics of interest are also discussed in Appendix A. To help estimate
uncertainty in an experimental investigation, the procedure for uncertainty analysis is laid
downinAppendixB.ThepropertiesoftheInternationalStandardAtmosphereandisentropic
flows are tabulated in Appendices C and D, respectively. In addition, to help evaluate the
understanding of the subject, a complete set of 600 multiple choice questions with their
answersareprovidedinAppendixE.Iamconfidentthatthereaderswillfindthemextremely
useful while studying the subject.
Ithankthealmightyforhismercyandblessings.IsincerelythankMs.SwatiMeherishiand
Ms.Avni of Springerfor providing theirgenerous support andadvice that helped immensely
in improving the quality of the book.
Kharagpur, India Mrinal Kaushik
v
Contents
Part I Theoretical Aerodynamics
1 The Standard Atmosphere ... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 3
1.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 3
1.1.1 Role of Atmosphere in the Aerodynamics.... .... ..... .... 4
1.2 Composition and Structure of the Atmosphere .... .... .... ..... .... 4
1.2.1 Primary Layers in the Atmosphere.. .... .... .... ..... .... 4
1.2.2 Secondary Layers in the Atmosphere.... .... .... ..... .... 6
1.3 Interpretation of the Altitude. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 7
1.4 Variation of Pressure in the Standard Atmosphere . .... .... ..... .... 7
1.5 Relation Between Geopotential and Geometric Altitude . .... ..... .... 8
1.6 Distribution of Properties in Troposphere and Stratosphere... ..... .... 8
1.7 Physical and Optical Properties of the Atmosphere. .... .... ..... .... 10
1.7.1 Pressure. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 10
1.7.2 Temperature.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 10
1.7.3 Mass and Density . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 10
1.7.4 Scattering Phenomena ... .... .... .... .... .... ..... .... 10
1.7.5 Absorption and Emission. .... .... .... .... .... ..... .... 11
1.7.6 Refractive Index... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 11
1.8 Static Stability Analysis of Troposphere Layer.... .... .... ..... .... 12
1.9 Definition of Wind .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 14
1.9.1 Cyclones and Anticyclones in Temperate Zones ... ..... .... 16
1.9.2 Hurricanes or Typhoons in Tropics . .... .... .... ..... .... 16
1.10 Geostrophic and Ageostrophic Winds... .... .... .... .... ..... .... 16
1.11 Ekman Spiral .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 19
1.12 Global and Local Winds.... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 19
1.12.1 Land and Sea Breeze.... .... .... .... .... .... ..... .... 19
1.12.2 Zonal Wind Directions... .... .... .... .... .... ..... .... 20
1.12.3 Some Specific Names of the Wind . .... .... .... ..... .... 20
1.12.4 Measuring the Winds.... .... .... .... .... .... ..... .... 21
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 22
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 24
2 Basic Concepts. .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 27
2.1 Aerodynamics: An Overview ..... .... .... .... .... .... ..... .... 27
2.2 The Aircraft . .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 27
2.2.1 Aerodynamic Forces .... .... .... .... .... .... ..... .... 28
2.2.2 Aerodynamic Moments .. .... .... .... .... .... ..... .... 29
2.3 Parametric Studies in Aerodynamics.... .... .... .... .... ..... .... 29
2.3.1 Pressure. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 30
2.3.2 Density . .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 31
2.3.3 Temperature.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 31
2.3.4 Flow Velocity .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 31
2.3.5 Stress... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 31
vii
viii Contents
2.3.6 Coefficient of Viscosity .. .... .... .... .... .... ..... .... 33
2.4 The Airfoil .. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 34
2.4.1 Nomenclature of an Airfoil and the Wing .... .... ..... .... 34
2.4.2 Pressure Distribution Around an Airfoil.. .... .... ..... .... 35
2.4.3 Generation of Forces and Moments. .... .... .... ..... .... 37
2.4.4 Center of Pressure . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 39
2.4.5 The Aerodynamic Center. .... .... .... .... .... ..... .... 40
2.5 Dimensional Analysis.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 41
2.5.1 Concept of Flow Similarity ... .... .... .... .... ..... .... 43
2.6 Types of Flows... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 44
2.6.1 Continuum and Non-continuum Flows... .... .... ..... .... 44
2.6.2 Steady and Unsteady Flows... .... .... .... .... ..... .... 46
2.6.3 Uniform and Nonuniform Flows ... .... .... .... ..... .... 46
2.6.4 Incompressible and Compressible Flows . .... .... ..... .... 47
2.6.5 Inviscid and Viscous Flows... .... .... .... .... ..... .... 48
2.6.6 Mach Number Flow Regimes . .... .... .... .... ..... .... 48
2.7 Hodograph Transformation.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 49
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 52
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 54
3 Governing Equations of Fluid Flows .... .... .... .... .... .... ..... .... 57
3.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 57
3.2 Review of Vector Relations . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 57
3.2.1 Scalar (or Dot) Product .. .... .... .... .... .... ..... .... 57
3.2.2 Vector (or Cross) Product .... .... .... .... .... ..... .... 58
3.2.3 Orthogonal Coordinate Axes .. .... .... .... .... ..... .... 58
3.2.4 Scalar and Vector Fields . .... .... .... .... .... ..... .... 59
3.2.5 Scalar Product of Two Vectors .... .... .... .... ..... .... 60
3.2.6 Vector Product of Two Vectors.... .... .... .... ..... .... 60
3.2.7 Gradient of a Scalar..... .... .... .... .... .... ..... .... 60
3.2.8 Divergence of a Vector .. .... .... .... .... .... ..... .... 61
3.2.9 Curl of a Vector... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 61
3.2.10 Line Integral . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 62
3.2.11 Surface Integral ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 62
3.2.12 Volume Integral... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 63
3.2.13 Stokes Curl Theorem.... .... .... .... .... .... ..... .... 63
3.2.14 Gauss Divergence Theorem... .... .... .... .... ..... .... 63
3.2.15 Gradient Theorem . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 63
3.3 Eulerian and Lagrangian Viewpoints.... .... .... .... .... ..... .... 63
3.3.1 Local and Material Derivatives .... .... .... .... ..... .... 63
3.4 Primary and Auxiliary Laws for Continuous Media .... .... ..... .... 64
3.5 Flow Analysis Techniques .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 65
3.5.1 Finite Control Mass Approach. .... .... .... .... ..... .... 65
3.5.2 Finite Control Volume Approach... .... .... .... ..... .... 65
3.5.3 Infinitesimal Fluid Element Approach ... .... .... ..... .... 65
3.5.4 Microscopic Approach... .... .... .... .... .... ..... .... 65
3.6 Integral and Differential Analysis .. .... .... .... .... .... ..... .... 65
3.7 One-, Two-, and Three-Dimensional Flows... .... .... .... ..... .... 66
3.8 The Continuity Equation.... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 66
3.8.1 Some Important Observations . .... .... .... .... ..... .... 67
3.9 Graphical Representation of Fluid Flows .... .... .... .... ..... .... 68
3.9.1 Timelines.... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 68
3.9.2 Streamlines .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 68
3.9.3 Pathlines .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 70
3.9.4 Streaklines... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 70
Contents ix
3.10 Angular Velocity, Vorticity, and the Shear Strain Rate.. .... ..... .... 70
3.11 The Navier–Stokes Equation. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 73
3.11.1 The Euler Equation ..... .... .... .... .... .... ..... .... 77
3.11.2 Velocity–Vorticity Form of the Navier–Stokes Equation.. .... 77
3.11.3 The Crocco’s Theorem... .... .... .... .... .... ..... .... 78
3.12 Rotational Flows and the Circulation ... .... .... .... .... ..... .... 79
3.13 Irrotational Flows and the Potential Function . .... .... .... ..... .... 79
3.14 Stream Function and the Concept of Vector Potential... .... ..... .... 80
3.14.1 Concept of Streamline in Three Dimensions .. .... ..... .... 82
3.14.2 Axisymmetric Flows .... .... .... .... .... .... ..... .... 83
3.14.3 Physical Interpretation of Lagrange Stream Function..... .... 83
3.15 The Cauchy–Riemann Equations... .... .... .... .... .... ..... .... 84
3.16 The Bernoulli’s Equation ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 85
3.16.1 Steady Bernoulli’s Equation... .... .... .... .... ..... .... 86
3.16.2 Unsteady Bernoulli’s Equation. .... .... .... .... ..... .... 91
3.17 Using the Bernoulli’s Equation.... .... .... .... .... .... ..... .... 92
3.17.1 Airspeed Measurement Using Pitot-Static Probe ... ..... .... 92
3.17.2 Pressure Coefficient and the Compressibility Correction
Factor... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 92
3.17.3 The Airspeed. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 94
3.18 Reynolds Transport Theorem ..... .... .... .... .... .... ..... .... 95
3.18.1 Physical Significance of RTT.. .... .... .... .... ..... .... 99
3.19 The Energy Equation .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 99
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 101
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 104
4 Potential Flow Theory... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 107
4.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 107
4.2 Potential Flows and the Laplace’s Equation .. .... .... .... ..... .... 107
4.3 Standard Solutions of the Potential Flow .... .... .... .... ..... .... 108
4.3.1 Uniform Potential Flow.. .... .... .... .... .... ..... .... 109
4.3.2 Line Source (or Line Sink) ... .... .... .... .... ..... .... 110
4.3.3 Source–Sink Combination and the Doublet Potential..... .... 112
4.3.4 Line Vortex.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 114
4.4 Superposition of Standard Solutions .... .... .... .... .... ..... .... 115
4.4.1 A Source in the Uniform Flow (Axisymmetric Flow
over a Semi-infinite Body).... .... .... .... .... ..... .... 115
4.4.2 A Pair of Source and Sink in the Uniform Flow
(Axisymmetric Flow over a Closed Body).... .... ..... .... 117
4.4.3 A Doublet in the Uniform Flow (Flow over a Circular
Cylinder Without Circulation) . .... .... .... .... ..... .... 117
4.4.4 A Point Vortex in the Uniform Flow.... .... .... ..... .... 119
4.4.5 A Doublet and a Vortex Flow in the Uniform Flow
(Flow Past a Circular Cylinder with Circulation)... ..... .... 119
4.5 Implications of Kutta–Joukowski Theorem in the Lift Generation .. .... 123
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 123
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 124
5 Thin Airfoil Theory. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 127
5.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 127
5.2 Circulation and Vorticity.... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 127
5.3 The Kutta Condition... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 128
5.4 Kelvin’s Circulation Theorem..... .... .... .... .... .... ..... .... 129
5.4.1 The Starting Vortex..... .... .... .... .... .... ..... .... 131
x Contents
5.5 Summary of the Lift Generation Mechanism by the Airfoil .. ..... .... 132
5.6 Classical Thin Airfoil Theory ..... .... .... .... .... .... ..... .... 132
5.6.1 Aerodynamic Characteristics of a Thin Symmetric Airfoil. .... 135
5.6.2 Aerodynamic Characteristics of a Thin Cambered Airfoil . .... 138
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 141
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 143
6 Finite Wing Theory. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 145
6.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 145
6.1.1 Relation Between Trailing Edge Vortices and Spanwise
Load Distribution.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 148
6.2 Concept of Vortex. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 148
6.2.1 Forced Vortex .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 148
6.2.2 Free Vortex .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 149
6.2.3 Vortex Line, Vortex Tube, and the Vortex Filament ..... .... 149
6.3 Helmholtz’s Theorems of Vortex Motion .... .... .... .... ..... .... 150
6.3.1 Helmholtz First Theorem. .... .... .... .... .... ..... .... 150
6.3.2 Helmholtz Second Theorem... .... .... .... .... ..... .... 150
6.3.3 Helmholtz Third Theorem .... .... .... .... .... ..... .... 151
6.3.4 Helmholtz Fourth Theorem ... .... .... .... .... ..... .... 151
6.4 Biot and Savart Law of Vortex Motion.. .... .... .... .... ..... .... 151
6.4.1 Application of Biot and Savart Law: Velocity Induced
by a Straight Vortex Filament . .... .... .... .... ..... .... 154
6.5 Vortex System and the Evolution of Prandtl’s Lifting Line Theory . .... 155
6.5.1 Lanchester–Prandtl Wing Theory... .... .... .... ..... .... 158
6.5.2 Symmetric Elliptical Aerodynamic Load Distribution .... .... 161
6.5.3 Symmetric General Aerodynamic Load Distribution ..... .... 163
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 165
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 167
References. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 168
7 Panel Methods. .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 169
7.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 169
7.2 Hess and Smith Method .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 169
7.2.1 Line Source Distribution . .... .... .... .... .... ..... .... 172
7.2.2 Perturbation Velocity Components Due to Source
Distribution .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 173
7.3 Vortex Panel Methods.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 174
7.3.1 Panel of Constant Strength.... .... .... .... .... ..... .... 174
7.3.2 Panel with Linearly Varied Vortex Strength .. .... ..... .... 176
7.3.3 Transformation of Panel Coordinates.... .... .... ..... .... 177
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 177
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 178
8 Thermodynamics of Fluids in Motion ... .... .... .... .... .... ..... .... 181
8.1 Introduction.. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 181
8.1.1 Concept of System, Surroundings, and the Universe..... .... 181
8.2 Internal Energy and the First Law of Thermodynamics.. .... ..... .... 181
8.2.1 Concept of Work.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 183
8.2.2 Concept of Enthalpy .... .... .... .... .... .... ..... .... 183
8.2.3 Different Forms of the First Law for an Adiabatic Flow .. .... 184
8.2.4 Concept of Specific Heats .... .... .... .... .... ..... .... 184
8.2.5 Coefficient of Thermal Conductivity .... .... .... ..... .... 185
8.3 Energy Equation for an Open System... .... .... .... .... ..... .... 185
Contents xi
8.4 Entropy and the Second Law of Thermodynamics . .... .... ..... .... 186
8.4.1 Thermodynamic Efficiency and Clausius Inequality. ..... .... 186
8.5 Combined Forms of the First Law and the Second Law. .... ..... .... 188
8.6 Maxwell’s Thermodynamic Relations... .... .... .... .... ..... .... 189
8.6.1 Internal Energy ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 189
8.6.2 Enthalpy. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 189
8.6.3 Helmholtz Free Energy .. .... .... .... .... .... ..... .... 189
8.6.4 Gibbs Free Energy. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 190
8.7 Effects of Fluid Compressibility on Specific Heats. .... .... ..... .... 190
8.8 Thermal and Calorical Properties .. .... .... .... .... .... ..... .... 192
8.8.1 Thermally Perfect Gas... .... .... .... .... .... ..... .... 192
8.8.2 Mayer’s Relation.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 193
8.9 The Perfect Gas .. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 193
8.9.1 Ratio of Specific Heats .. .... .... .... .... .... ..... .... 193
8.9.2 Limitation of Air as a Perfect Gas.. .... .... .... ..... .... 193
Summary.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 194
Exercises.. .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 195
9 Compressible Flows. .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 199
9.1 Introduction to Elastic and Inviscid Compressible Flows .... ..... .... 199
9.1.1 One-Dimensional Flow Approximation .. .... .... ..... .... 199
9.2 Governing Equations of Compressible Flows . .... .... .... ..... .... 199
9.3 Effects of Acoustic Speed on the Fluid Compressibility . .... ..... .... 201
9.3.1 Speed of Sound... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 201
9.3.2 Speed of Sound in a Perfect Gas... .... .... .... ..... .... 202
9.3.3 Effect of Molecular Weight on the Acoustic Speed. ..... .... 202
9.3.4 Concept of Mach Number.... .... .... .... .... ..... .... 203
9.3.5 The Mach Angle .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 203
9.3.6 Classification of Flow Regimes Based on the Mach
Number . .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 204
9.4 One-Dimensional, Steady, and Isentropic Flow of a Perfect Gas ... .... 204
9.4.1 Stagnation (or Total) Properties in an Isentropic Flow.... .... 205
9.4.2 The Dimensionless Velocity ðM(cid:1)Þ.. .... .... .... ..... .... 206
9.4.3 Effect of Area Variation on Compressible Flow
(Area–Velocity Relation). .... .... .... .... .... ..... .... 207
9.4.4 Mass Flow Rate (m(cid:1)) .... .... .... .... .... .... ..... .... 208
9.4.5 Mass Flow Rate in a Choked Streamtube .... .... ..... .... 209
9.4.6 Physical Interpretation of Flow at the Throat.. .... ..... .... 210
9.4.7 Area Ratio for the Convergent–Divergent Streamtube.... .... 210
9.4.8 Types of Characteristic Speeds along a Streamtube. ..... .... 211
9.4.9 Mass Flow Rate Variation with Pressure. .... .... ..... .... 212
9.5 The Adiabatic Flow Ellipse.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 213
9.6 Processes Causing a Change of State in Compressible Flows. ..... .... 214
9.6.1 Fanno Curve . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 215
9.6.2 Rayleigh Curve ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 215
9.6.3 Normal Shock Wave .... .... .... .... .... .... ..... .... 215
9.7 One-Dimensional Flow Across a Normal Shock... .... .... ..... .... 215
9.7.1 Governing Equations of the Normal Shock ... .... ..... .... 216
9.7.2 Normal Shock Equations for a Perfect Gas ... .... ..... .... 216
9.7.3 Working Relations for Normal Shock Wave .. .... ..... .... 217
9.7.4 The Prandtl–Meyer Relation .. .... .... .... .... ..... .... 219
9.7.5 The Rankine–Hugoniot Relation ... .... .... .... ..... .... 221
9.8 Supersonic Pitot Probe . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 221
9.8.1 Rayleigh Supersonic Pitot Probe Formula .... .... ..... .... 222
9.9 Convergent–Divergent Nozzle (de Laval Nozzle).. .... .... ..... .... 222