The Structure of Paintings

226 Pages·2006·2.081 MB·English

by  Michael Leyton

(cid:53)(cid:81)(cid:75)(cid:80)(cid:73)(cid:77)(cid:84)(cid:8)(cid:52)(cid:77)(cid:97)(cid:92)(cid:87)(cid:86)
(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:59)(cid:92)(cid:90)(cid:93)(cid:75)(cid:92)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)
(cid:56)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:91)
W
(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:78)(cid:22)(cid:8)(cid:53)(cid:81)(cid:75)(cid:80)(cid:73)(cid:77)(cid:84)(cid:8)(cid:52)(cid:77)(cid:97)(cid:92)(cid:87)(cid:86)
(cid:56)(cid:91)(cid:97)(cid:75)(cid:80)(cid:87)(cid:84)(cid:87)(cid:79)(cid:97)(cid:8)(cid:44)(cid:77)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:20)(cid:8)(cid:43)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:44)(cid:81)(cid:91)(cid:75)(cid:90)(cid:77)(cid:92)(cid:77)(cid:8)(cid:53)(cid:73)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:91)(cid:8)(cid:14)(cid:8)(cid:8)
(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:87)(cid:90)(cid:77)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:59)(cid:75)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:20)
(cid:58)(cid:93)(cid:92)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:8)(cid:61)(cid:86)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:8)(cid:42)(cid:90)(cid:93)(cid:86)(cid:91)(cid:95)(cid:81)(cid:75)(cid:83)(cid:20)(cid:8)(cid:54)(cid:50)(cid:8)(cid:24)(cid:32)(cid:32)(cid:29)(cid:28)(cid:20)(cid:8)(cid:61)(cid:59)(cid:41)(cid:8)
(cid:45)(cid:21)(cid:53)(cid:73)(cid:81)(cid:84)(cid:34)(cid:8)(cid:85)(cid:84)(cid:77)(cid:97)(cid:92)(cid:87)(cid:86)(cid:40)(cid:76)(cid:81)(cid:85)(cid:73)(cid:75)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:93)(cid:92)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:77)(cid:76)(cid:93)
(cid:60)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:83)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:91)(cid:93)(cid:74)(cid:82)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:8)(cid:92)(cid:87)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:88)(cid:97)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:22)
(cid:41)(cid:84)(cid:84)(cid:8)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:77)(cid:90)(cid:94)(cid:77)(cid:76)(cid:20)(cid:95)(cid:80)(cid:77)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:95)(cid:80)(cid:87)(cid:84)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:81)(cid:73)(cid:84)(cid:8)
(cid:81)(cid:91)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:90)(cid:86)(cid:77)(cid:76)(cid:20)(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:226)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:84)(cid:97)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:87)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:86)(cid:91)(cid:84)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:20)(cid:90)(cid:77)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:21)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:226)(cid:84)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:20)
(cid:74)(cid:90)(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:75)(cid:73)(cid:91)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:20)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:76)(cid:93)(cid:75)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:74)(cid:97)(cid:8)(cid:88)(cid:80)(cid:87)(cid:92)(cid:87)(cid:75)(cid:87)(cid:88)(cid:97)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:85)(cid:73)(cid:75)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:91)(cid:81)(cid:85)(cid:81)(cid:84)(cid:73)(cid:90)(cid:8)(cid:85)(cid:77)(cid:73)(cid:86)(cid:91)(cid:20)
(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:90)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:76)(cid:73)(cid:92)(cid:73)(cid:8)(cid:74)(cid:73)(cid:86)(cid:83)(cid:91)(cid:22)
(cid:56)(cid:90)(cid:87)(cid:76)(cid:93)(cid:75)(cid:92)(cid:8)(cid:52)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:81)(cid:84)(cid:81)(cid:92)(cid:97)(cid:34)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:88)(cid:93)(cid:74)(cid:84)(cid:81)(cid:91)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:75)(cid:73)(cid:86)(cid:8)(cid:79)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:8)(cid:86)(cid:87)(cid:8)(cid:79)(cid:93)(cid:73)(cid:90)(cid:73)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:73)(cid:84)(cid:84)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)
(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:92)(cid:73)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:74)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:22)(cid:60)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:76)(cid:87)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:84)(cid:91)(cid:87)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:92)(cid:87)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:73)(cid:74)(cid:87)(cid:93)(cid:92)(cid:8)(cid:76)(cid:90)(cid:93)(cid:79)(cid:8)(cid:76)(cid:87)(cid:91)(cid:73)(cid:79)(cid:77)(cid:8)
(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:73)(cid:88)(cid:88)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:87)(cid:78)(cid:22)(cid:8)(cid:49)(cid:86)(cid:8)(cid:77)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:97)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:94)(cid:81)(cid:76)(cid:93)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:75)(cid:73)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:8)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:85)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:8)(cid:75)(cid:80)(cid:77)(cid:75)(cid:83)(cid:8)
(cid:81)(cid:92)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:75)(cid:75)(cid:93)(cid:90)(cid:73)(cid:75)(cid:97)(cid:8)(cid:74)(cid:97)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:93)(cid:84)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:8)(cid:87)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:88)(cid:80)(cid:73)(cid:90)(cid:85)(cid:73)(cid:75)(cid:77)(cid:93)(cid:92)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:84)(cid:81)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:22)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:79)(cid:81)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:76)(cid:8)
(cid:86)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:20)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:90)(cid:83)(cid:91)(cid:20)(cid:77)(cid:92)(cid:75)(cid:22)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:88)(cid:93)(cid:74)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:76)(cid:87)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:86)(cid:87)(cid:92)(cid:8)(cid:81)(cid:85)(cid:88)(cid:84)(cid:97)(cid:20)(cid:8)(cid:77)(cid:94)(cid:77)(cid:86)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:73)(cid:74)(cid:91)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:73)(cid:8)
(cid:91)(cid:88)(cid:77)(cid:75)(cid:81)(cid:226)(cid:75)(cid:8)(cid:91)(cid:92)(cid:73)(cid:92)(cid:77)(cid:85)(cid:77)(cid:86)(cid:92)(cid:20)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:73)(cid:92)(cid:8)(cid:91)(cid:93)(cid:75)(cid:80)(cid:8)(cid:86)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:77)(cid:96)(cid:77)(cid:85)(cid:88)(cid:92)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:87)(cid:85)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:84)(cid:77)(cid:94)(cid:73)(cid:86)(cid:92)(cid:8)(cid:88)(cid:90)(cid:87)(cid:92)(cid:77)(cid:75)(cid:92)(cid:81)(cid:94)(cid:77)(cid:8)(cid:84)(cid:73)(cid:95)(cid:91)(cid:8)
(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:79)(cid:93)(cid:84)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:91)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:90)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:78)(cid:87)(cid:90)(cid:8)(cid:79)(cid:77)(cid:86)(cid:77)(cid:90)(cid:73)(cid:84)(cid:8)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:22)
(cid:136)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:30)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:62)(cid:77)(cid:90)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:23)(cid:63)(cid:81)(cid:77)(cid:86)
(cid:56)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:8)(cid:41)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:81)(cid:73)
(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:63)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:65)(cid:87)(cid:90)(cid:83)(cid:8)(cid:81)(cid:91)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:8)(cid:87)(cid:78)
(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:59)(cid:75)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:75)(cid:77)(cid:19)(cid:42)(cid:93)(cid:91)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:53)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:73)
(cid:91)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:22)(cid:75)(cid:87)(cid:85)
(cid:43)(cid:87)(cid:94)(cid:77)(cid:90)(cid:8)(cid:49)(cid:84)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:73)(cid:92)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:34)(cid:8)(cid:53)(cid:81)(cid:75)(cid:80)(cid:73)(cid:77)(cid:84)(cid:8)(cid:52)(cid:77)(cid:97)(cid:92)(cid:87)(cid:86)(cid:20)(cid:8)(cid:60)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:59)(cid:93)(cid:88)(cid:90)(cid:77)(cid:85)(cid:73)(cid:75)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:52)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:20)(cid:8)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:8)(cid:65)(cid:87)(cid:90)(cid:83)(cid:20)(cid:8)(cid:25)(cid:33)(cid:33)(cid:26)(cid:20)
(cid:8) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:73)(cid:75)(cid:90)(cid:97)(cid:84)(cid:81)(cid:75)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:75)(cid:73)(cid:86)(cid:94)(cid:73)(cid:91)(cid:20)(cid:8)(cid:25)(cid:29)(cid:26)(cid:8)(cid:96)(cid:8)(cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:8)(cid:75)(cid:85)(cid:8)(cid:16)(cid:30)(cid:24)(cid:8)(cid:96)(cid:8)(cid:28)(cid:32)(cid:8)(cid:81)(cid:86)(cid:17)
(cid:60)(cid:97)(cid:88)(cid:77)(cid:91)(cid:77)(cid:92)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:34)(cid:8)(cid:43)(cid:73)(cid:85)(cid:77)(cid:90)(cid:73)(cid:8)(cid:90)(cid:77)(cid:73)(cid:76)(cid:97)(cid:8)(cid:74)(cid:97)(cid:8)(cid:92)(cid:80)(cid:77)(cid:8)(cid:73)(cid:93)(cid:92)(cid:80)(cid:87)(cid:90)
(cid:56)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:34)(cid:8)(cid:48)(cid:87)(cid:84)(cid:98)(cid:80)(cid:73)(cid:93)(cid:91)(cid:77)(cid:86)(cid:8)(cid:44)(cid:90)(cid:93)(cid:75)(cid:83)(cid:8)(cid:93)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:53)(cid:77)(cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:8)(cid:47)(cid:85)(cid:74)(cid:48)(cid:20)(cid:8)(cid:25)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:8)(cid:62)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:86)(cid:73)
(cid:56)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:87)(cid:86)(cid:8)(cid:73)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:21)(cid:78)(cid:90)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:73)(cid:86)(cid:76)(cid:8)(cid:75)(cid:80)(cid:84)(cid:87)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:21)(cid:78)(cid:90)(cid:77)(cid:77)(cid:8)(cid:74)(cid:84)(cid:77)(cid:73)(cid:75)(cid:80)(cid:77)(cid:76)(cid:8)(cid:88)(cid:73)(cid:88)(cid:77)(cid:90)
(cid:59)(cid:56)(cid:49)(cid:54)(cid:34)(cid:25)(cid:25)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:24)(cid:33)(cid:32)
(cid:63)(cid:81)(cid:92)(cid:80)(cid:8)(cid:86)(cid:93)(cid:85)(cid:77)(cid:90)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:8)(cid:16)(cid:88)(cid:73)(cid:90)(cid:92)(cid:84)(cid:97)(cid:8)(cid:75)(cid:87)(cid:84)(cid:87)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:76)(cid:17)(cid:8)(cid:46)(cid:81)(cid:79)(cid:93)(cid:90)(cid:77)(cid:91)
(cid:52)(cid:81)(cid:74)(cid:90)(cid:73)(cid:90)(cid:97)(cid:8)(cid:87)(cid:78)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:86)(cid:79)(cid:90)(cid:77)(cid:91)(cid:91)(cid:8)(cid:43)(cid:87)(cid:86)(cid:92)(cid:90)(cid:87)(cid:84)(cid:8)(cid:54)(cid:93)(cid:85)(cid:74)(cid:77)(cid:90)(cid:34)(cid:8)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:30)(cid:33)(cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:25)(cid:28)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:21)(cid:25)(cid:24)(cid:8)(cid:27)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:27)(cid:29)(cid:31)(cid:27)(cid:33)(cid:21)(cid:28)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:63)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:65)(cid:87)(cid:90)(cid:83)
(cid:49)(cid:59)(cid:42)(cid:54)(cid:21)(cid:25)(cid:27)(cid:8)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:27)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:25)(cid:21)(cid:27)(cid:29)(cid:31)(cid:27)(cid:33)(cid:21)(cid:26)(cid:8)(cid:59)(cid:88)(cid:90)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:77)(cid:90)(cid:63)(cid:81)(cid:77)(cid:86)(cid:54)(cid:77)(cid:95)(cid:65)(cid:87)(cid:90)(cid:83)
Contents
1 ShapeasMemoryStorage 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 NewFoundationstoGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 TheWorldasMemoryStorage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 TheFundamentalLaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 TheMeaningofanArtwork. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 TensioninCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 CurvatureExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 SymmetryinComplexShape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Symmetry-CurvatureDuality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 CurvatureExtremaandtheSymmetryPrinciple . . . . . . . . . . . . . 18
1.12 CurvatureExtremaandtheAsymmetryPrinciple . . . . . . . . . . . . 19
1.13 GeneralShapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.14 TheThreeRules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.15 ProcessDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.16 TryingouttheRules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.17 HowtheRulesConformtotheProcedureforRecoveringthePast . . . 24
1.18 ApplyingtheRulestoArtworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.19 CaseStudies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.19.1 Picasso: LargeStill-LifewithaPedestalTable. . . . . . . . . . 27
1.19.2 Raphael: AlbaMadonna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.19.3 Ce´zanne: ItalianGirlRestingonHerElbow . . . . . . . . . . 34
1.19.4 deKooning: BlackPainting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.19.5 HenryMoore: ThreePiece#3,Vertebrae . . . . . . . . . . . . 40
1.20 TheFundamentalLawsofArt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 ExpressivenessofLine 43
2.1 TheoryofEmotionalExpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 ExpressivenessofLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 TheFourTypesofCurvatureExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Process-ArrowsfortheFourExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 HistoricalCharacteristicsofExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 TheRoleoftheHistoricalCharacteristics . . . . . . . . . . . . . . . . 63
v
vi CONTENTS
2.7 TheDualityOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.8 Picasso: WomanIroning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 TheEvolutionLaws 73
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 ProcessContinuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Continuationat(cid:8)+and(cid:12)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Continuationat(cid:12)+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Continuationat(cid:8)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7 Bifurcationat(cid:8)+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.8 Bifurcationat(cid:12)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.9 TheBifurcationFormat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.10 Bifurcationat(cid:12)+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.11 Bifurcationat(cid:8)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.12 TheProcess-Grammar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.13 TheDualityOperatorandtheProcess-Grammar . . . . . . . . . . . . . 97
3.14 Holbein: AnneofCleves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.15 TheEntireHistory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.16 HistoryontheFullClosedShape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.17 Gauguin: VisionaftertheSermon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.18 Memling: PortraitofaMan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.19 TensionandExpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Smoothness-Breaking 129
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 TheSmoothness-BreakingOperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Cusp-Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4 AlwaystheAsymmetryPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 Cusp-FormationinCompressiveExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 TheBentCusp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.7 Picasso: Demoisellesd’Avignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 TheMeaningofDemoisellesd’Avignon . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.9 Balthus: The´re`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.10 Balthus: The´re`seDreaming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.11 Ingres: PrincessedeBroglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.12 Modigliani: JeanneHe´buterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.13 TheCompleteSetofExtrema-BasedRules . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.14 FinalComments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Credits 203
Chapter 1
Shape as Memory Storage
1.1 Introduction
Thisisthefirstinaseriesofbookswhosepurposeistogiveasystematicelaboration
ofthelawsofartisticcomposition. Weshallseethattheselawsenableustobuildupa
completeunderstandingofanypainting–bothitsstructureandmeaning.
Thereasonwhyitispossibletobuildupsuchanunderstandingisasfollows. Ina
seriesofbooksandpapers,Ihavedevelopednewfoundationstogeometry–foundations
that are very different from those that have been the basis of geometry for the last
3000years. Aconceptualelaborationofthesenewfoundationswasgivenbymybook
Symmetry,Causality,Mind(MITPress,630pages),andthemathematicalfoundations
wereelaboratedbymybookAGenerativeTheoryofShape(Springer-Verlag,550pages).
Thecentralproposalofthistheoryis:
SHAPE = MEMORYSTORAGE.
That is: What we mean by shape is memory storage, and what we mean by memory
storageisshape.
In the next section, we will see how these new foundations for geometry are di-
rectlytheoppositeofthefoundationsthathaveexistedfromEuclidtomodernphysics,
includingEinstein.
Mybooksapplythesenewfoundationstoseveraldisciplines: humanandcomputer
vision,robotics,softwareengineering,musicalcomposition,architecture,painting,lin-
guistics,mechanicalengineering,computer-aideddesignandmodernphysics.
Thenewfoundationsunifythesedisciplinesbyshowingthataresultofthesefounda-
tionsisthatgeometrybecomesequivalenttoaesthetics. Thatis,thetheoryofaesthetics,
givenbythenewfoundations,unifiesallscientificandartisticdisciplines.
1
2 CHAPTER1. SHAPEASMEMORYSTORAGE
Now,assaidabove,accordingtothenewfoundations,shapeisequivalenttomemory
storage. Withrespecttothis,asignificantprincipleofmybooksisthis:
ARTWORKSAREMAXIMALMEMORYSTORES.
Myargumentisthattheaboveprincipleexplainsthestructureandfunctionofartworks.
Furthermore,itexplainswhyartworksarethemostvaluableobjectsinhumanhistory.
1.2 New Foundations to Geometry
This book will show that the new foundations to geometry explain art, whereas the
conventional foundations of Euclid and Einstein do not. Thus, to understand art, we
needtobeginbycomparingthetwoopposingfoundations.
Thereaderwas,nodoubt,raisedtoconsiderEinsteinaherowhochallengedthebasic
assumptionsofhistime. Infact,Einstein’stheoryofrelativityissimplyare-statement
oftheconceptofcongruencethatisbasictoEuclid. Itisnecessarytounderstandthis,
andtodoso,webeginbyconsideringanexampleofcongruence.
Fig1.1showstwotriangles. Totestiftheyarecongruent,youtranslateandrotate
the upper one to try to make it coincident with the lower one. If exact coincidence is
possible, you say that they are congruent. This allows you to regard the triangles as
essentiallythesameobject.
This approach has been the basis of geometry for over 2,000 years, and received
its most powerful formulation in the late 19th century by Klein, in the most famous
statement in all mathematics – a statement which became the basis not only of all
geometry, but of all mathematics and physics: A geometric object is an invariant (an
unchangedproperty)undersomechosentransformations.
Let us illustrate by returning to the two triangles in Fig 1.1. Consider the upper
triangle: Ithasanumberofproperties:
(1)Threesides.
(2)Pointsupward.
(3)Twoequalangles.
Nowapplyamovementtomakeitcoincidentwiththelowertriangle. Properties(1)and
(3)remaininvariant(unchanged);i.e.,thelowertrianglealsohasthreesidesandhastwo
equalangles. Incontrast,property(2)isnotinvariant;i.e.,thetrianglenolongerpoints
upwards. Kleinsaidthatthegeometricpropertiesarethosethatremaininvariant; i.e.,
properties(1)and(3).
Now a crucial part of my argument is this: Because properties (1) and (3) are
unchanged(invariant)underthemovement,itisimpossibletoinferfromthemthatthe
movementhastakenplace. Onlythenon-invariantproperty,thedirectionofpointing,
allowsustorecoverthemovement. Therefore, intheterminologyofmybooks, Isay
thatinvariantsarethosepropertiesthatarememoryless;i.e.,theyyieldnoinformation
aboutthepast. BecauseKleinproposesthatageometricobjectconsistsofinvariants,
Kleinviewsgeometryasthestudyofmemorylessness.
1.2. NEWFOUNDATIONSTOGEOMETRY 3
Figure1.1: Conventionalgeometry.
Klein’sapproachbecamethebasisof20thcenturymathematicsandphysics. Thuslet
usturntoEinstein’stheoryofrelativity. Einstein’sfundamentalprinciplesaysthis: The
objectsofphysicsarethosepropertiesthatremaininvariantunderchangesofreference
frame. Thusthename"theoryofrelativity"isthecompletelywrongnameforEinstein’s
theory. Itis,infact,thetheoryofanti-relativity. Itsaysthatonemustrejectfromphysics
anypropertythatisrelativetoanobserver’sreferenceframe.
Now I argue this: Because Einstein’s theory says that the only valid properties of
physicsarethosethatdonotchangeingoingfromonereferenceframetoanother,he
isactuallyimplyingthatphysicsisthestudyofthosepropertiesfromwhichyoucannot
recoverthefactthattherehasbeenachangeofreferenceframe;i.e.,theyarememoryless
tothechangeofframe.
Einstein’s program spread to all branches of physics. For example, quantum me-
chanicsisthestudyofinvariantsundertheactionsofmeasurementoperators. Thusthe
classification of quantum particles is simply the listing of invariants arising from the
energyoperator.
TheimportantthingtoobserveisthatthisisallsimplyanapplicationofKlein’stheory
thatgeometryisthestudyofinvariants. NoticethatKlein’sviewreallyoriginateswith
Euclid’snotionofcongruence:Theinvariantsarethosepropertiesthatallowcongruence.
The basis of modern physics can be traced back to Euclid’s concern
withcongruence.
Wecanthereforesaythattheentirehistoryofgeometry,fromEuclid
tomodernphysics,hasbeenfoundedonthenotionofmemorylessness.
Thisfundamentallycontrastswiththetheoryofgeometrydevelopedinmybooks.
Inthistheory, ageometricobjectisamemorystoreforaction. Considertheshapeof
thehumanbody. Onecanrecoverfromitthehistoryofembryologicaldevelopmentand
4 CHAPTER1. SHAPEASMEMORYSTORAGE
subsequentgrowth,thatthebodyunderwent. Theshapeisfullofitshistory. Thereis
verylittlethatiscongruentbetweenthedevelopedbodyandtheoriginalsphericalegg
fromwhichitarose. Thereisverylittlethathasremainedinvariantfromtheoriginstate.
Iarguethatshapeisequivalenttothehistorythatithasundergone.
Letusthereforecontrasttheviewofgeometricobjectsinthetwoopposingfounda-
tionsforgeometry:
STANDARDFOUNDATIONSFORGEOMETRY
(Euclid,Klein,Einstein)
Ageometricobjectisaninvariant;i.e.,memoryless.
NEWFOUNDATIONSFORGEOMETRY
(Leyton)
Ageometricobjectisamemorystore.
Furthermore,myargumentisthatthelatterviewofgeometryistheappropriateone
forthecomputationalage. Acomputationalsystemisfoundedontheuseofmemory
stores. Ourageisconcernedwiththeretentionofmemoryratherthanthelossofit. We
trytobuycomputerswithgreatermemory,notless. Peopleareworriedaboutdeclining
intooldage,becausememorydecreases.
The point is that, for the computational age, we don’t want a theory of geometry
basedonthenotionofmemorylessness–thetheoryofthelast2,500years. Wewanta
theoryofgeometrythatdoestheopposite: Equatesshapewithmemorystorage. Thisis
thetheoryproposedanddevelopedinmybooks.
Furthermore,fromthisfundamentallinkbetweenshapeandmemorystorage,Iargue
thefollowing:
Theretrievalofmemoryfromshapeistherealmeaningofaesthetics.
Asaresultofthis,thenewfoundationsestablishthefollowing3-wayequivalence:
Geometry (cid:2) Memory (cid:2) Aesthetics.
In fact, my books have shown that this is the basis of artistic composition. The rules
bywhichanartworkisstructuredaretherulesthatwillenabletheartworktoactasa
memorystore.
Thelawsofartisticcompositionarethelawsofmemorystorage.
Letusalsoconsiderasimpleanalogy. Acomputerhasanumberofmemorystores.
Theycanbeinsidethecomputer,ortheycanbeattachedasexternalstores. Myclaim
isthatartworksareexternalmemorystoresforhumanbeings. Infact,theyarethemost
powerfulmemorystoresthathumanbeingspossess.
1.3. THEWORLDASMEMORYSTORAGE 5
1.3 The World as Memory Storage
Soletusbegin. Westartbydefiningmemoryinthesimplestpossibleway:
Memory = Informationaboutthepast.
Consequently,wewilldefineamemorystoreinthefollowingway:
Memorystore = Anyobjectthatyieldsinformationaboutthepast.
Infact,Iarguethattheentireworldaroundusismemorystorage,i.e.,information
about the past. We extract this information from the objects we see. There are many
sourcesofmemory. Letusconsidersomeexamples. Itisworthreadingthemcarefully
tofullyunderstandthem.
(1)SCARS: Ascaronaperson’sfaceis,infact,amemorystore. Itgivesusinformation
about the past: It tells us that, in the past, the surface of the skin was cut. Therefore,
pastevents,i.e.,process-history,isstoredinascar.
(2)DENTS: Adentinacardoorisalsoamemorystore;i.e.,itgivesusinformation
aboutthepast: Ittellsusthat,inthepast,thedoorunderwentanimpactfromanother
object. Therefore,process-historyisstoredinadent.
(3)GROWTHS: Anygrowthisamemorystore,i.e.,ityieldsinformationaboutthe
past. For example, the shape of a person’s face gives us information that a history of
growthhasoccurred,e.g.,thenoseandcheekbonesgrewoutward,thewrinklesfolded
inward,etc. Theshapeofatreegivesusveryaccurateinformationabouthowitgrew.
Both,afaceandatree,informusofapasthistory. Eachisthereforeamemorystoreof
process-history.
(4)SCRATCHES: Ascratchonatableisinformationaboutthepast. Itinformsus
that, in the past, the surface had contact with a sharp moving object. Therefore, past
events,i.e.,process-history,isstoredinascratch.
(5) CRACKS: A crack in a vase is a memory store, i.e., it yields information about
the past. It informs us that, in the past, the vase underwent some impact. Therefore,
process-historyisstoredinacrack.
I argue that the world is, in fact, layers and layers of memory storage. One can
see this for instance by looking at the relationships between the examples just listed.
For example, consider item (1) above, a scar on a person’s face. This is memory of
scratching. Thissitsonaperson’sface,item(3),whichismemoryofgrowth. Thusthe
memorystoreforscratching–thescar–sitsontopofthememorystoreforgrowth–
theface.
6 CHAPTER1. SHAPEASMEMORYSTORAGE
As another example, consider item (5): a crack in a vase. The crack is due to the
history of hitting, but the vase on which it occurs is the result of formation from clay
on the potter’s wheel. Indeed the shape of the vase tells us much about how it was
formed. Theverticalheightismemoryoftheprocessthatpushedtheclayupwards;and
theoutlineofthevase, curvinginandout, ismemoryofthechangingpressureofthe
potter’shands. Thereforethememorystoreforhitting–thecrack–sitsontopofthe
memorystoreforclay-manipulation–thevase.
Accordingtothistheory,therefore,theentireworldismemorystorage. Eachobject
aroundusisamemorystoreofthehistoryofprocessesthatformedit.Acentralpartof
mynewfoundationsforgeometryisthattheyestablishtherulesbywhichitispossible
toextractmemoryfromobjects.
1.4 The Fundamental Laws
Accordingtothenewfoundations,memorystoragecantakeaninfinitevarietyofforms.
For example, scars, dents, growths, scratches, twists, cracks, are all memory stores
becausetheyallyieldinformationaboutpastactions. However,mathematicalarguments
giveninmybooks,showthat,onadeeplevel,allmemorystoreshaveonlyoneform.
Thisisgivenbymyfundamentallawsofmemorystorage:
FIRSTFUNDAMENTALLAWOFMEMORYSTORAGE
(Leyton,1992)
Memoryisstoredonlyinasymmetries.
SECONDFUNDAMENTALLAWOFMEMORYSTORAGE
(Leyton,1992)
Memoryiserasedbysymmetries.
That is, information about the past can be recovered only from asymmetries. And
correspondingly,informationaboutthepastiserasedbysymmetries.
Letusbeginwithasimpleexample. Considerthesheetofpapershownontheleft
inFig1.2. Evenifonehadneverseenthatsheetbefore,onewouldconcludethatithad
undergone twisting. The reason is that the asymmetry in the sheet yields information
aboutthepast. Inotherwords, fromtheasymmetry, onecanrecoverthepasthistory.
Thatis,theasymmetryactsasamemorystoreforthepastaction–asstatedinmyFirst
FundamentalLawofMemoryStorage(above).
Nowletusun-twistthepaper,thusobtainingthestraightsheetgivenontherightin
Fig1.2. Supposeweshowthisstraightsheettoanypersononthestreet. Wouldthey
beabletoinferfromitthefactthatithadoncebeentwisted? Theansweris"No."The
reasonisthatthesymmetryofthestraightsheethaswipedouttheabilitytorecoverthe
precedinghistory. Thismeansthatthesymmetryerasesthememorystore–asstatedin
mySecondFundamentalLawofMemoryStorage(above).