Table Of Content

T S F ( ) HE ECRET OF LIGHT DRAFT JOHAN HOFFMAN, JOHAN JANSSON AND CLAES JOHNSON AllRigthsReserved December 5, 2011 2 Contents I Prolog 1 1 ShortStoryofFlight 3 1.1 WhyisitPossibletoFly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 NewTheoryofFlight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 ButterﬂyinBrazilandTornadoinTexas . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 LiftandDragwithoutBoundaryLayer . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 WhySlipisaPhysicalBoundaryCondition . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Compute-Analyze-Understand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 HowtoSayGoodbyeinanElegantWay . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 FlightandTurbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ShortHistoryofAviation 15 2.1 LeonardodaVinci,Newtonandd’Alembert . . . . . . . . . . . . 15 2.2 CayleyandLilienthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Kutta,ZhukovskyandtheWrightBrothers . . . . . . . . . . . . . 16 3 EulerandNavier-Stokes 21 3.1 ModelofFluidMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 BoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 TheEulerEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 D’Alembert’sParadox 25 4.1 ZeroDragofPotentialFlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 What’sWrongwiththePotentialSolution? . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Prandtl’sResolutionin1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.4 TheMantraofModernFluidMechanics . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 NewResolution2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.6 SuppressionofBirkhoff’sInnocentQuestion . . . . . . . . . . . 27 3 4 CONTENTS II The Story of Flight 29 5 TheMysteryofFlight 31 5.1 WhatKeepsAirplanesintheAir? . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 UnderstandaMiracle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 AerodynamicsasNavier-StokesSolutions . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 ComputationvsExperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.5 ManyOldTheories: NoneCorrect . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.6 CorrectNewTheory: d’Alembert’sParadox . . . . . . . . . . . . 37 6 IncorrectTheoriesforUneducated 39 6.1 IncorrectTheories: NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2 TrivialTheory: NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 IncorrectTheoryforEducated 45 7.1 Newton,d’AlembertandWright . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.2 Kutta-Zhukovsky: Circulation: Lift . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.3 Prandtl: BoundaryLayer: DragKing . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.4 MoreConfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8 SummaryofState-of-the-Art 49 8.1 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2 d’AlembertandPotentialFlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.3 Kutta-Zhukovsky-Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.4 TextBookTheoryofFlight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9 ShutUpandCalculate 53 9.1 Naviers-StokesvsSchro¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Compute-Analyze-Understand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 10 MathematicalMiracleofFlight 55 10.1 MathematicalComputationandAnalysis . . . . . . . . . . . . . . 56 11 ObservingPressure,Liftanddrag 59 11.1 PotentialFlowModiﬁedatSeparation . . . . . . . . . . . . . . . 59 11.2 Pressure,LiftandDragDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12 ObservingVelocity 65 CONTENTS 5 13 ObservingVorticity 73 14 SummaryofObservation 77 14.1 SummaryLiftandDrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 15 ComputationvsExperiments 79 15.1 Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 15.2 DataforExperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 15.3 ComparingComputationwithExperiment . . . . . . . . . . . . . 82 16 SensitivityofLift/DragvsDiscretization 83 16.1 APosterioriErrorControlbyDuality . . . . . . . . . . . . . . . 83 16.2 DualPressureandVelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 17 PreparingUnderstanding 87 17.1 NewResolutionofd’Alembert’sParadox . . . . . . . . . . . . . 87 17.2 Slip/SmallFrictionBoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . 87 17.3 Computable+Correct=Secret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 17.4 NoLiftwithoutDrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 18 Kutta-Zhukovsky-PrandtlIncorrect 89 19 MathematicalMiracleofSailing 91 III Solving Navier-Stokes 93 20 Navier-StokesEquations 95 20.1 ConservationofMass,MomentumandEnergy . . . . . . . . . . 95 20.2 WellposednessandClayMillenniumProblem . . . . . . . . . . . 97 20.3 LaminarvsTurbulentBoundaryLayer . . . . . . . . . . . . . . . 97 21 G2ComputationalSolution 99 21.1 GeneralGalerkinG2: FiniteElementMethod . . . . . . . . . . . 99 21.2 APosterioriErrorControlandWellposedness . . . . . . . . . . . 100 21.3 WhatYouNeedtoKnow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 21.4 TurbulentFlowaroundaCar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6 CONTENTS 22 PotentialFlow 103 22.1 Eulerdefeatedbyd’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 22.2 PotentialFlowasNearNavier-StokesSolution . . . . . . . . . . . 104 22.3 PotentialFlowSeparatesonlyatStagnation . . . . . . . . . . . . 105 22.4 VortexStretching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 23 D’AlembertandhisParadox 107 23.1 d’AlembertandEulerandPotentialFlow . . . . . . . . . . . . . 107 23.2 TheEulerEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 23.3 PotentialFlowaroundaCircularCylinder . . . . . . . . . . . . . 111 23.4 Non-SeparationofPotentialFlow . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 IV Understanding Navier-Stokes 115 24 LiftandDragfromSeparation 117 25 Separation 119 25.1 FromUnstabletoQuasi-StableSeparation . . . . . . . . . . . . . 119 25.2 ResolutionofD’Alembert’sParadox . . . . . . . . . . . . . . . . 122 25.3 MainResult . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 25.4 Navier-StokesEquationswithSlipbyG2 . . . . . . . . . . . . . 123 25.5 StabilityAnalysisbyLinearization . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 25.6 Instabilityof2dIrrotationalSeparation . . . . . . . . . . . . . . . 125 25.7 Quasi-StableRotational3dSeparation . . . . . . . . . . . . . . . 127 25.8 Quasi-StablePotentialFlowAttachment . . . . . . . . . . . . . . 128 26 BasicCases 129 26.1 CircularCylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 26.2 NACA0012TrailingEdgeSeparation . . . . . . . . . . . . . . . 131 26.3 AccuracteDragandLiftwithoutBoundaryLayer . . . . . . . . . 133 26.4 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 26.5 Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 26.6 FlatPlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 27 EnergyEstimate 137 28 G2ComputationalSolution 139 28.1 WellposednessofMean-ValueOutputs . . . . . . . . . . . . . . . 140 CONTENTS 7 V History 143 29 Aristotele 145 29.1 LiberationfromAristotle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 30 MedievalIslamicPhysicsofMotion 149 30.1 Avicenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 30.2 Abu’l-Barakat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 30.3 Biruni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 30.4 Biruni’sQuestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 30.5 Ibnal-Haytham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 30.6 Others . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 31 LeonardodaVinci 155 31.1 ThePolymath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 31.2 TheNotebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 31.3 TheScientist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 31.4 TheMathematician . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 31.5 TheEngineer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 31.6 ThePhilosopher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 32 Newton’sIncorrectTheory 161 33 RobinsandtheMagnusEffect 163 33.1 EarlyPioneers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 33.2 Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 33.3 LilienthalandWright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 33.4 StatusQuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 34 LilienthalandBirdFlight 175 35 WilburandOrwilleWright 181 36 LiftbyCirculation 187 36.1 Lanchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 36.2 Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 36.3 Zhukovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8 CONTENTS 37 TheDisastrousLegacyofPrandtl 191 37.1 CritiquebyLancasterandBirkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 37.2 CanYouProvethatPrandtlWasIncorrect? . . . . . . . . . . . . . 192 38 PrandtlandBoundaryLayers 195 38.1 Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 38.2 BoundaryLayers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 38.3 Prandtl’sResolutionofd’Alembert’sParadox . . . . . . . . . . . 199 Part I Prolog 1