The Kramers Problem for Quantum Fermi Gases with Velocity - Dependent Collision Frequency and Specular - Diffusive Boundary Conditions

0.24 MB·English

by  A. Yu. Kvashnin

The Kramers Problem for Quantum Fermi Gases with
Velocity - Dependent Collision Frequency and Specular -
Diffusive Boundary Conditions
1 2 3
A. Yu. Kvashnin , A. V. Latyshev and A. A. Yushkanov
Faculty of Physics and Mathematics,
Moscow State Regional University, 105005,
2
1 Moscow, Radio str., 10–A
0
2

n
a
J

5
TheclassicalKramersproblemofthekinetictheoryissolved.TheKramers

]
h problemaboutisothermalslidingforquantumFermigasesisconsidered.Quantum
p
gaseswiththevelocity-dependentcollisionfrequencyareconsidered.Specular
-
h
- diffusive boundary conditions are applied. Dependence of isothermal sliding
t
a
on the resulted chemical potential is found out.
m
Key words: statement of problem, collisional rarefied gas, characteristic
[

equation, Fredholm equation.
1
v PACS numbers: 05.20.Dd Kinetic theory, 47.45.-n Rarefied gas dynamics,
9
02.30.Rz Integral equations.
6
2
1
.
1 Содержание
0
2
1
: Введение 2
v
i
X
r 1 Формулировка граничных условий и постановка за-
a
дачи 3
2 Неоднородное кинетическое уравнение 7
3 Характеристическая система и интегральное уравне-
ние Фредгольма 10
[email protected]
[email protected]
[email protected]
ВВЕДЕНИЕ 2
4 Решение задачи 13
4.1 Нулевое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Первое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Второе приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4 Высшие приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Сравнение с точным решением и профиль массовой
скорости 17
5.1 Сравнение с точным решением . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Профиль скорости газа в полупространстве и ее зна-
чение у стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Список литературы 22
Введение
В первой половине прошлого столения Юлинг и Уленбек [1] обоб-
щили кинетическое уравнение Больцмана на случай квантовых га-
зов.
Поведение квантовых газов представляет значительный интерес
и в настоящее время [2] и [3].
Первые аналитические решения граничных задач для модельных
кинетических уравнений для квантовых газов с постояннойчастотой
столкновений были получены в работах [4]–[7].
Аналитические решения граничных задач для квантовых газов с
переменной частотой столкновений получены в работах [8]–[16].
Вопросыскольжения одноатомныхклассическихгазоввдоль плос-
кой твердой поверхности изложены в монографиях [17]–[20].
Укажем на другие работы по скольжению классических газов
вдоль плоской твердой поверхности [21]–[33].
Начало аналитическим методам в кинетической теории было по-
ложено работой К. Черчиньяни [34]. В его работах (и вместе с со-
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 3
авторами) [35]–[38] были заложены идеи формулировки и решения
граничных задач и с новыми (более адекватными) граничными усло-
виями и с частотой столкновений, зависящей от модуля скорости
молекул.
Следует отметить еще ряд работ, посвященных аналитическому
решению граничных задач кинетической теории [39]–[41], а также
численному и приближенному решению таких задач [42]–[44].
Настоящая работа является продолжением нашей предыдущей
работы [16], где была рассмотрена классическая задача кинетиче-
ской теории – задача Крамерса об изотермическом скольжении для
квантовых ферми–газов с переменной частотой столкновений и с
полностью диффузными граничными условиями.
В настоящей работе эта задача решается с более общими зеркаль-
но – диффузными граничными условиями. При этом применяется
метод, изложенный в ряде наших работ (см., например, [45]–[47]).
Показано, что применяемый метод обладает высокой эффективно-
стью. Так, уже второе приближение дает ошибку, менее 0.01%.
1 Формулировка граничных условий и
постановка задачи
В качестве кинетического уравнения будем использовать линей-
ное уравнение (5.11) из [16]
1
∂h 3
2
µ + h(x ,µ) = (1 µ )h(x ,µ )dµ . (1.1)
1 ′ 1 ′ ′
∂x 4 −
1
Z
1
−
Уравнение (1.1) выведено из нелинейного кинетического уравне-
ния для квантовых ферми–газов, которое в условиях задачи Кра-
мерса может быть записано в виде:
∂f
v v v
v = ν( )[f (x, ,t) f(x, ,t)]. (1.2)
x F∗
∂x −
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 4
v
При этом функция распределения f(x, ,t) связана с функцией
h(x ,µ) равенством:
1
v
f(x, ,t) = f (v) + g(v)C h(x ,µ),
F y 1
где
exp(βv2 µ/kT) m
C v
g(v) = − , β = , = β ,
1 + exp(βv2 µ/kT) 2 2kT
− p
(cid:0) 1 (cid:1) C
x
f (v) = , µ = ,
F
1 + exp βv2 µ/kT C
−
x = x/(ν √β) – безразмерная координата, ν = 1/τ, τ – время меж-
1 0 (cid:0) (cid:1) 0
ду двумя последовательными столкновениями ферми–частиц газа,
l = τv – средняя длина свободного пробега ферми–частиц, v =
T T
1/√β – тепловая скорость ферми–частиц, ν(v) = v/l.
Сформулируем зеркально – диффузные граничные условия для
функции распределения:
v
f(+0, ) = qf (v) + (1 q)f(+0, v ,v ,v ), v > 0,
F x y z x
− −
где q – коэффициент диффузности, 0 6 q 6 1, f (v) – абсолютный
F
фермиан.
Параметр q – часть молекул, рассеивающихся границей диффуз-
но, т.е. уходящие от стенки молекулы имеют максвелловское рас-
пределение по скоростям, 1 q – часть молекул, рассеивающихся
−
зеркально.
Продолжим функцию распределения на сопряженное полупро-
странство симметричным образом:
v
f(x, ) = f( x, v ,v ,v ). (1.3)
x y z
− −
Продолжение на полупространство x < 0 позволяет включить
граничные условия в уравнения задачи.
Такое продолжение функции распределения позволяет фактиче-
ски рассматривать две задачи, одна из которых определена в "по-
ложительном" полупространстве x > 0, вторая – в отрицательном
"полупространстве" x < 0.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 5
Сформулируем зеркально – диффузные граничные условия для
функции распределения соответственно для "положительного" и
для "отрицательного" полупространств:
v
f(+0, ) = qf (v) + (1 q)f(+0, v ,v ,v ), v > 0, (1.4)
F x y z x
− −
v
f( 0, ) = qf (v) + (1 q)f( 0, v ,v ,v ).v < 0. (1.5)
F x y z x
− − − −
Далее безразмерную координату x снова будем обозначать через
1
x. Тогда для функции h(x,µ) вместо (1.3) мы имеем:
h(x,µ) = h( x, µ), µ > 0.
− −
Граничные условия (1.4) и (1.5) преобразуются следующим обра-
зом:
h(+0,µ) = (1 q)h(+0, µ), 0 < µ < 1, (1.6)
− −
h(x,µ) = h (x,µ) + o(1), x , (1.7)
as
→ ∞
где
h = 2U + 2G (x µ),
as sl v
−
U = √βu - искомая скорость изотермического скольжения (без-
sl sl
размерная).
Правая часть уравнения (1.1) есть удвоенная массовая скорость
классического одноатомного газа [18]:
1
3
2
U(x) = (1 µ )h(x,µ )dµ . (1.8)
′ ′ ′
8 −
Z
1
−
Требуется найти скорость скольжения газа u и построить функ-
sl
цию h(x,µ). Для решения этой задачи развивается новый эффектив-
ный метод решения граничных задач с зеркально – диффузными
граничными условиями.
В основе предлагаемого метода лежит идея включить граничное
условие на функцию распределения в виде источника в кинетиче-
ское уравнение.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6
Суть предлагаемого метода состоит в следующем. Сначала фор-
мулируется в полупространcтве x > 0 классическая задача Крамер-
са об изотермическом скольжении с зеркально – диффузными гра-
ничными условиями. Затем функция распределения продолжается в
сопряженное полупространство x < 0 четным образом по простран-
ственной и по скоростной переменным. В полупространстве x < 0
также формулируется задача Крамерса.
После того как получено линеаризованное кинетическое уравне-
ние разобьем искомую функцию (которую также будем называть
функцией распределения) на два слагаемых: чепмен — энскоговскую
функцию распределения h (x,µ) и вторую часть функции распре-
as
деления h (x,µ), отвечающей непрерывному спектру:
c
h(x,µ) = h (x,µ) + h (x,µ),
as c
(as asymptotic,c continuous).
≡ ≡
В силу того, что чепмен – энскоговская функция распределе-
ния есть линейная комбинация дискретных решений исходного урав-
нения, функция h (x,µ) также является решением кинетического
c
уравнения. Функция h (x,µ) обращается в нуль вдали от стенки. На
c
стенке эта функция удовлетворяет зеркально – диффузному гранич-
ному условию.
Далеепреобразуемкинетическоеуравнение для функции h (x,µ),
c
включив в это уравнение в виде члена типа источника, лежащего в
плоскости x = 0, граничное условие на стенке для функции h (x,µ).
c
Подчеркнем, что функция h (x,µ) удовлетворяет полученному ки-
c
нетическому уравнению в обеих сопряженных полупространствах
x < 0 и x > 0.
Это кинетическое уравнение мы решаем во втором и четвертом
квадрантах фазовой плоскости (x,µ) как линейное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, считая известным функцию U (x).
c
Из полученных решений находим граничные значения неизвестной
функции h (x,µ) при x = 0, входящие в кинетическое уравнение.
±
±
Теперь мы разлагаем в интегралы Фурье неизвестную функцию
НЕОДНОРОДНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 7
h (x,µ), неизвестную функцию U (x) и дельта – функцию Дирака.
c c
Граничные значения неизвестной функции h (0,µ) при этом вы-
±c
ражаются одним и тем же интегралом на спектральную плотность
E(k) функции U (x).
c
Подстановка интегралов Фурье в кинетическое уравнение и вы-
ражение функции U (x) приводит к характеристической системе
c
уравнений. Если исключить из этой системы спектральную плот-
ность Φ(k,µ) функции h (x,µ),мы получим интегральное уравнение
c
Фредгольма второго рода.
Считая градиент функции U (x) заданным, разложим неизвест-
c
ную скорость скольжения, а также спектральные плотности функ-
ции U (x) и функции распределения в ряды по степеням коэффи-
c
циента диффузности q (это ряды Неймана). На этом пути мы по-
лучаем счетную систему зацепленных уравнений на коэффициенты
рядов для спектральных плотностей. При этом все уравнения на
коэффициенты спектральной плотности для функции U (x) имеют
c
особенность (полюс второго порядка в нуле). Исключая эти особен-
ности последовательно, мы построим все члены ряда для скорости
скольжения, а также ряды для спектральных плотностей функции
U (x) и функции распределения.
c
2 Неоднородное кинетическое уравнение
В этом п. мы преобразуем кинетическое уравнение для функ-
ции h (x,µ), включив в это уравнение в виде члена типа источ-
c
ника, лежащего в плоскости x = 0, граничное условие на стенке
для функции h (x,µ). Функция h (x,µ) удовлетворяет полученно-
c c
му кинетическому уравнению в обеих сопряженных полупростран-
ствах x < 0 и x > 0. Заметим, что функция h (x,µ) являет-
as
ся решением уравнения (1.1). Поэтому новая неизвестная функция
h (x,µ) = h(x,µ) h (x,µ) удовлетворяет также уравнению (1.1).
c as
−
Так как вдали от стенки (x ) функция распределения h(x,µ)
→ ∞
НЕОДНОРОДНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 8
переходит в чепмен— энскоговскуюh (x,µ),то для функции h (x,µ),
as c
отвечающей непрерывному спектру, получаем следующее граничное
условие: h ( ,µ) = 0. Отсюда для функции U (x) получаем:
c c
±∞
U ( ) = 0.
c
±∞
Граничные условия переходят в следующие:
h (+0,µ) = h+(+0,µ)+
c as
−
+(1 q)h+(+0, µ) + (1 q)h (+0, µ), µ > 0,
as c
− − − −
h ( 0,µ) = h ( 0,µ)+
c −as
− − −
+(1 q)h ( 0, µ)(1 q)h ( 0, µ), µ < 0.
−as c
− − − − − −
Перепишем эти условия в виде:
h (+0,µ) = h+(µ) + (1 q)h (+0, µ), µ > 0,
c 0 c
− −
h ( 0,µ) = h (µ) + (1 q)h ( 0, µ), µ < 0,
c −0 c
− − − −
где
h (µ) = h (0,µ) + (1 q)h (0, µ) =
±0 ±as ±as
− − −
= 2qU (q) + (2 q)2G µ .
sl v
− − | |
Учитывая симметричное продолжение функции распределения,
имеем
h ( 0, µ) = h (+0,+µ), h (+0, µ) = h ( 0,+µ).
c c c c
− − − −
Следовательно, граничные условия перепишутся в виде:
h (+0,µ) = h+(µ) + (1 q)h ( 0,µ), µ > 0, (2.1)
c 0 c
− −
h ( 0,µ) = h (µ) + (1 q)h (+0,µ), µ < 0. (2.2)
c −0 c
− −
Граничные условия обеих задач можно объединить следующим
образом:
h ( 0,µ) = h (µ) + (1 q)h ( 0,µ), µ > 0 ( µ < 1), (2.3)
c ±0 c
± − ∓ ± | |
h ( ,µ) = 0, µ < 0 ( µ < 1). (2.4)
c
±∞ ± | |
НЕОДНОРОДНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 9
Здесь
h (µ) = 2qU + 2(2 q)G µ,
±0 sl ±v
− −
причем
G = G+.
−v v
−
Возьмем уравнение, содержащее оба граничные условия (2.3):
∂h
c
µ + h (x,µ) =
c
∂x
= 2U (x) + µ [h (µ) qh ( 0,µ)]δ(x), (2.5)
c ±0 c
| | − ∓
где δ(x) – дельта–функция Дирака, U (x) – часть массовой скорости
c
классического газа, отвечающая непрерывному спектру,
1
3
2
2U (x) = (1 µ )h (x,µ )dµ . (2.6)
c ′ c ′ ′
4 −
Z
1
−
Проверим, что граничные условия включены в уравнение (2.5).
Пусть, например, µ (0,1). Проинтегрируем обе части уравнения
∈
(2.5) по x от ε до +ε. Получаем, что
−
h (+ε,µ) h ( ε,µ) = h+(µ) qh ( 0,µ).
c c 0 c
− − − −
Переходя к пределу при ε 0 в этом выражении, получаем в
→
точности условие (2.3).
На основании определения массовой скорости (2.6) заключаем,
что для неё выполняется условие U ( )=0. Следовательно, в по-
c
±∞
лупространстве x > 0 профиль массовой скорости газа вычисляется
по формуле:
1
3
2
U(x) = U (x) + (1 µ )h (x,µ)dµ ,
as ′ c ′ ′
8 −
Z
1
−
где
U (x) = U (q) + g x,
as sl v
а вдали от стенки имеет следующее линейное распределение:
U(x) = U (x), x + .
as
→ ∞
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 10
3 Характеристическая система и интегральное
уравнение Фредгольма
Решая уравнение (2.5) при x > 0,µ < 0, считая известной массо-
вую скорость U (x), получаем, удовлетворяя граничным условиям
c
(2.3) и (2.4), следующее решение:
+
exp( x/µ) ∞
h+(x,µ) = − exp(t/µ)2U (t)dt. (3.1)
c − µ c
Z
x
Аналогично при x < 0,µ > 0 находим:
x
exp( x/µ)
h (x,µ) = − exp(t/µ)2U (t)dt. (3.2)
−c c
µ
Z
−∞
Теперь уравнения (2.5) можно переписать, заменив второй член
в квадратной скобке из (2.5) согласно (3.1) и (3.2), в виде:
∂h
c
µ + h (x,µ) =
c
∂x
= 2U (x) + µ [h (µ) qh (0,µ)]δ(x). (3.3)
c ±0 ±c
| | −
В равенстве (3.3) граничные значения h (0,µ) выражаются че-
±c
рез составляющую массовой скорости, отвечающей непрерывному
спектру:
1 ±∞
h (0,µ) = e x/µ et/µ2U (t)dt.
±c −µ − c
Z
0
Решение уравнения (2.5) и (2.6) ищем в виде интегралов Фурье:
1 ∞ 1 ∞
2U (x) = exp(ikx)E(k)dk, δ(x) = exp(ikx)dk, (3.4)
c
2π 2π
Z Z
−∞ −∞
и
1 ∞
h (x,µ) = exp(ikx)Φ(k,µ)dk. (3.5)
c
2π
Z
−∞