The Grothendieck Festschrift: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck PDF
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Modern Birkhauser Classics Many of the original research and survey monographs in pure and applied mathematics published by Birkhauser in recent decades have been groundbreaking and have come to be regarded as foun dational to the subject. Through the MBC Series, a select number of these modern classics, entirely uncorrected, are being re-released in paperback (and as eBooks) to ensure that these treasures remain ac cessible to new generations of students, scholars, and researchers. The Grothendieck Festschrift Volume III A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck P. Cartier L. Illusie N.M. Katz G. Laumon Yu.I. Manin K.A. Ribet Editors Reprint of the 1990 Edition Birkhauser Boston • Basel • Berlin Luc Illusie Pierre Cartier Universite de Paris-Sud Institut des Hautes Etudes Scientifiques Departement de Mathematiques F-91440 Bures-sur-Yvette F-91405 Orsay France France Gerard Laumon Nicholas M. Katz Universite de Paris-Sud Princeton University Departement de Mathematiques Department of Mathematics F-91405 Orsay Princeton, NJ 08544 France U.S.A. Yuri I. Manin Kenneth A. Ribet Max-Planck Institut fur Mathematik University of California D-53111Bonn Department of Mathematics Germany Berkeley, CA 94720 U.S.A. Originally published as Volume 88 in the series Progress in Mathematics Cover design by Alex Gerasev. Mathematics Subject Classification (2000): 00B15, 00B30, 01A60, 01A75 (primary); 11G05, 11G30, 14A20, 14C35, 14E20, 14F05, 14F10, 14F20, 14F30, 14F40, 14F99, 14G05, 14G20, 14H25, 14G40, 14H10,14G25,14H30,14H40,14H52,14K10,14L17,14M15,17B10,17B20,18B25,18F10,18F30, 19A99, 19D10, 19E08, 19E15, 19E20, 20C15, 20G05, 20G40, 32C38, 32J15, 32Q45, 32S60, 35J10, 35Q51, 35Q53, 37J35, 37K10, 58F07, 81Q05 (secondary) Library of Congress Control Number: 2006936966 ISBN-10: 0-8176-4568-3 e-ISBN-10: 0-8176-4576-4 ISBN-13: 978-0-8176-4568-7 e-ISBN-13: 978-0-8176-4576-2 Printed on acid-free paper. ©2007 Birkhauser Boston BirUhdUSer All rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without the writ ten permission of the publisher (Birkhauser Boston, c/o Springer Science+Business Media LLC, 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA), except for brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis. 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Katz Department of Mathematics Gerard Laumon Princeton University Departement de Mathematiques Princeton, NJ 08544 Universite de Paris-Sud USA Centre d'Orsay 91405 Orsay Cedex France Yuri Manin Steklov Mathematical Institute Academy of Sciences USSR Kenneth A. Ribet 117966 Moscow GSP-1 USSR Department of Mathematics University of California Berkeley, CA 94720 USA Library of Congress Cataloging-in-Publication Data (Revised for vol. 3) The Grothendieck festschrift. (Progress in mathematics; v. 86, ) English and French. "Bibliographic d'Alexander Grothendieck" (v. 1., p. [xiii]-xx). Includes bibliographical references. 1. Geometry, Algebraic. I. Grothendieck, A. (Alexandre) II. Cartier, P. (Pierre) III. Series: Progress in mathematics (Boston, Mass.); vol. 86, etc. Printed on acid-free paper. © Birkhauser Boston, 1990 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Permission to photocopy for internal or personal use, or the internal or personal use of specific clients, is granted by Birkhauser Boston, for libraries and other users registered with the Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $0.00 per copy, plus $0.20 per page is paid directly to CCC, 21 Congress Street, Salem, MA 01970, U.S.A. Special requests should be addressed directly to Birkhauser Boston, 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, U.S.A. 3487-8/90 $0.00 4- .20 ISBN 0-8176-3487-8 ISBN 0-8176-3429-0 ISBN 3-7643-3487-8 ISBN 3-7643-3429-0 (Three Volume Set) Printed and bound by BcokCrafters, Chelsea, Michigan. Printed in the USA. 987654321 CONTENTS 1. Anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux 1 ALAIN LASCOUX 2. New Results on Weight-Two Motivic Cohomology 35 S. LlCHTENBAUM 3. Symmetric Spaces over a Finite Field 57 GEORGE LUSZTIG 4. Le theoreme de positivite de Fir regularity pour les ^-modules 83 ZOGHMAN MEBKHOUT 5. The Convergent Topos in Characteristic/? 133 ARTHUR OGUS 6. Finiteness Theorems and Hyperbolic Manifolds 163 A.N. PARSHIN 7. /7-groupes et reduction semi-stable des courbes 179 MICHEL RAYNAUD 8. Drawing Curves Over Number Fields 199 G.B. SHABAT and V.A. VOEVODSKY 9. Sur les proprietes numeriques du dualisant relatif d'une surface arithmetique 229 L. SZPIRO 10. Higher Algebraic K-Theory of Schemes and of Derived Categories 247 R.W. THOMASON and THOMAS TROBAUGH VI CONTENTS 11. Solitons elliptiques 437 A. TREIBICH et J.-L. VERDIER with an Appendix by J. OESTERLE 12. Linear Simple Lie Algebras and Ranks of Operators 481 Yu. G. ZARHIN VOLUME I Foreword Bibliographic d'Alexander Grothendieck De L'Analyse Fonctionnelle aux Fondements de la Geometrie Algebrique JEAN DIEUDONNE The presentation functor and the compactified Jacobian ALLEN B. ALTMAN and STEVEN L. KLEIMAN Some Algebras Associated to Automorphisms of Elliptic Curves M. ARTIN, J. TATE and M. VAN DEN BERGH Cohomology of a Moduli Space of Vector Bundles V. BALAJI and C.S. SESHADRI Sur les hypersurfaces dont les sections hyperplanes sont a module constant ARNAUD BEAUVILLE Aomoto Dilogarithms, Mixed Hodge Structures and Motivic Cohomology of Pairs of Triangles on the Plane A.A. BEILINSON, A.B. GONCHAROV, V.V. SCHECHTMAN and A.N. VARCHENKO Theorie de Dieudonne cristalline III: theoremes d'equivalence et de pleine fidelite PIERRE BERTHELOT et WILLIAM MESSING Complex Immersions and Arakelov Geometry JEAN-MICHEL BISMUT, HENRI GILLET and CHRISTOPHE SOULE L-Functions and Tamagawa Numbers of Motives SPENCER BLOCH and KAZUYA KATO CONTENTS vii Bitorseurs et Cohomologie Non Abelienne LAWRENCE BREEN Non-commutative Ruelle-Sullivan type currents JEAN-Luc BRYLINSKI VOLUME II Une nouvelle interpretation de la formule des traces de Selberg PIERRE CARTIER et ANDRE VOROS Jacobiennes generalises globales relatives C. CONTOU-CARR£RE Categories tannakiennes P. DELIGNE On The Adic Formalism T. EKEDAHL F-Isocrystals on Open Varieties: Results and Conjectures G. FALTINGS Representations /7-adiques des corps locaux J.M. FONTAINE Rectified Homotopical Depth and Grothendieck Conjectures H. HAMM and L£ D.T. Automorphisms of Pure Sphere Braid Groups and Galois Representations Y. IHARA Ordinarite des intersections completes generates L. ILLUSIE Kazhdan-Lusztig Conjecture for a Symmetrizable Kac-Moody Lie Algebra M. KASHIWARA Euler Systems V.A. KOLYVAGIN Descent for Transfer Factors R. LANGLANDS and D. SHELSTAD Anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux ALAIN LASCOUX dedie a A. Grothendieck 0. Introduction Une variete de drapeaux relative se decompose en une suite de fibrations projectives; la combinatoire de cette variete s'obtient done a partir de celle du projectif. Bien plus, ainsi que Font montre Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, on peut se reduire a des fibrations projectives en droites, i.e. l'objet geometrique de base est la variete P(V) , ou V est un fibre vectoriel de rang 2, avec pour groupe asocie le groupe symetrique 6(2). La geometrie ay ant ainsi fourni des morceaux element aires, e'est a la combinatoire qu'il faut faire appel pour proceder au recollement. Con- trairement a Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous travaillons di- rectement dans l'anneau des polynomes plutot que ses quotients que sont l'anneau de Grothendieck (des classes de fibres vectoriels) ou l'anneau de cohomologie. Ce faisant, on obtient des bases (polynomes de Schubert et polynomes de Grothendieck) stables par les plongements &(n) c-> <S(?2-f 1), compatibles aux varietes de drapeaux partiels, unifiant la cohomologie et l'anneau de Grothendieck. Ces bases contiennent comme sous-famille les fonctions de Schur, i.e. les caracteres irreductibles sur C du groupe lineaire (pour des caracteres plus generaux, voir [K-P] ). Ce sont d'ailleurs les fonctions de Schur qui decrivent l'anneau de cohomologie de la grassmannienne : elles sont alors interpreters comme cycles de Schubert Les fonctions de Schur peuvent s'obtenir, a la suite de Cauchy, par dia- gonalisation de la result ante Yl(cii — bj) de deux ensembles d'indeterminees {a } et {bj}. Les polynomes de Grothendieck et Schubert s'obtiennent, 2 quant a eux, a partir de G^ = H j< (l-bj/ai) ou X^ = Hi+j<n(ai ~ ty) i+ n a l'aide des operateurs associes aux fibrations en droites projectives men- tionnees ci-dessus (a peu de choses pres, ces operateurs ne sont autres que les differences divisees de Newton). La specialisation bj -> 1 de G w (resp. Xo,) est la classe d'un point dans l'anneau de Grothendieck (resp. 2 ALAIN LASCOUX de cohomologie). II est remarquable qu'on puisse deduire de la classe d'un point celle de toutes les varietes de Schubert de la variete de dra- peaux T . On comprend mieux ce fait en partant de G^ et X^ plutot que de leur specialisation; G^ et X sont en effet les classes de T dans w le plongement diagonal T ^ T x T. C'est pourquoi, autre difference avec Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous utilisons deux en sembles d'indeterminees plutot qu'un, quoiqu'etudiant les memes objets geometriques que ces auteurs. Pour ce qui est de la cohomologie, nous ren- voyons a [B-G-G], [D3], [L2], [L-S2] . Au paragraphe 1, nous donnons quelques proprietes du groupe symetri- que agissant sur Panneau des polynomes (operateurs de symetrisation 7r , M M€©(A)). Aux paragraphes 2 et 3, nous definissons les objets fondamentaux (polynomes de Grothendieck G ) dont les classes sont les classes des M faisceaux structuraux des varietes de Schubert. Nous resumons ensuite (th.2.8 et prop.3.4) toutes les proprietes combinatoires connues de Panneau de Grothendieck de la variete de drapeaux pour le groupe lineaire. Les points essentiels sont l'existence d'un produit scalaire pour lequel les 7Tj sont auto-adjoints, et la remarque que tout permute (G^)^ de G^ s'annule pour la specialisation 6,- —• a , sauf lorsque \i est la permutation maximale % de 6(A). En 3.11, nous explicitons les permutations ("vexillaires") pour lesquelles le calcul est le meme que dans le cas des grassmanniennes et conduit a des expressions determinant ales. Le theoreme de Riemann-Roch pour la variete de drapeaux est associe a Toperateur de symetrisation maximal TC^ . Nous nous en inspirons pour donner en 4.4 une propriete des operateurs plus generaux que sont les 7r^. Le plongement de Pliicker (associe au fibre inversible LE) possede une symetrie (prop.5.2). Cette symetrie, jointe au decompte de certaines families de tableaux de Young, permet de calculer facilement les dimensions ("postulation") de l'espace des sections des puissances de LE au-dessus de toute variete de Schubert sans devoir recourir aux methodes des para graphes 2 et 3. La fonction generatrice des postulations est une fraction rationnelle £ (z)/(l — z)^)+1 dont le numerateur est une "z-extension" M du degre pour le plongement de Pliicker ( i.e. £ (1) est le degre projectif M de la variete de Schubert d'indice cj/i). Les polynomes S^(z) admettent pour sous-famille remarquable les polynomes d'Euler. La structure multiplicative de l'anneau de cohomologie de la grassman- nienne resulte, ainsi que Pa montre Giambelli [Gi], des formules de Pieri : Pintersection d'un cycle de Schubert avec un cycle special est une somme
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