The Grothendieck Festschrift: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck

498 Pages·2007·5.94 MB·English

by  Alain Lascoux (auth.)

Modern Birkhauser Classics
Many of the original research and survey monographs in pure and
applied mathematics published by Birkhauser in recent decades
have been groundbreaking and have come to be regarded as foun
dational to the subject. Through the MBC Series, a select number of
these modern classics, entirely uncorrected, are being re-released in
paperback (and as eBooks) to ensure that these treasures remain ac
cessible to new generations of students, scholars, and researchers.
The Grothendieck Festschrift
Volume III
A Collection of Articles Written in Honor of
the 60th Birthday of
Alexander Grothendieck
P. Cartier
L. Illusie
N.M. Katz
G. Laumon
Yu.I. Manin
K.A. Ribet
Editors
Reprint of the 1990 Edition
Birkhauser
Boston • Basel • Berlin
Luc Illusie
Pierre Cartier
Universite de Paris-Sud
Institut des Hautes Etudes Scientifiques
Departement de Mathematiques
F-91440 Bures-sur-Yvette
F-91405 Orsay
France
France
Gerard Laumon
Nicholas M. Katz
Universite de Paris-Sud
Princeton University
Departement de Mathematiques
Department of Mathematics
F-91405 Orsay
Princeton, NJ 08544
France
U.S.A.
Yuri I. Manin Kenneth A. Ribet
Max-Planck Institut fur Mathematik University of California
D-53111Bonn Department of Mathematics
Germany Berkeley, CA 94720
U.S.A.
Originally published as Volume 88 in the series Progress in Mathematics
Cover design by Alex Gerasev.
Mathematics Subject Classification (2000): 00B15, 00B30, 01A60, 01A75 (primary); 11G05, 11G30,
14A20, 14C35, 14E20, 14F05, 14F10, 14F20, 14F30, 14F40, 14F99, 14G05, 14G20, 14H25, 14G40,
14H10,14G25,14H30,14H40,14H52,14K10,14L17,14M15,17B10,17B20,18B25,18F10,18F30,
19A99, 19D10, 19E08, 19E15, 19E20, 20C15, 20G05, 20G40, 32C38, 32J15, 32Q45, 32S60, 35J10,
35Q51, 35Q53, 37J35, 37K10, 58F07, 81Q05 (secondary)
Library of Congress Control Number: 2006936966
ISBN-10: 0-8176-4568-3 e-ISBN-10: 0-8176-4576-4
ISBN-13: 978-0-8176-4568-7 e-ISBN-13: 978-0-8176-4576-2
Printed on acid-free paper.
©2007 Birkhauser Boston BirUhdUSer
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P. Carrier L. Illusie N.M. Katz
G. Laumon Y. Manin K.A. Ribet
Editors
The Grothendieck Festschrift
A Collection of Articles
Written in Honor of
the 60th Birthday of
Alexander Grothendieck
Volume III
1990 Birkhauser
Boston • Basel • Berlin
Pierre Cartier Luc Illusie
Institut des Hautes Departement de Mathematiques
Etudes Scientifiques Universite de Paris-Sud
91440 Bures-sur-Yvette Centre d'Orsay
France 91405 Or say Cedex
France
Nicholas M. Katz
Department of Mathematics Gerard Laumon
Princeton University Departement de Mathematiques
Princeton, NJ 08544 Universite de Paris-Sud
USA Centre d'Orsay
91405 Orsay Cedex
France
Yuri Manin
Steklov Mathematical Institute
Academy of Sciences USSR Kenneth A. Ribet
117966 Moscow GSP-1 USSR Department of Mathematics
University of California
Berkeley, CA 94720
USA
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
(Revised for vol. 3)
The Grothendieck festschrift.
(Progress in mathematics; v. 86, )
English and French.
"Bibliographic d'Alexander Grothendieck" (v. 1.,
p. [xiii]-xx).
Includes bibliographical references.
1. Geometry, Algebraic. I. Grothendieck, A.
(Alexandre) II. Cartier, P. (Pierre) III. Series:
Progress in mathematics (Boston, Mass.); vol. 86, etc.
Printed on acid-free paper.
© Birkhauser Boston, 1990
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3487-8/90 $0.00 4- .20
ISBN 0-8176-3487-8 ISBN 0-8176-3429-0
ISBN 3-7643-3487-8 ISBN 3-7643-3429-0
(Three Volume Set)
Printed and bound by BcokCrafters, Chelsea, Michigan.
Printed in the USA.
987654321
CONTENTS
1. Anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux 1
ALAIN LASCOUX
2. New Results on Weight-Two Motivic Cohomology 35
S. LlCHTENBAUM
3. Symmetric Spaces over a Finite Field 57
GEORGE LUSZTIG
4. Le theoreme de positivite de Fir regularity pour
les ^-modules 83
ZOGHMAN MEBKHOUT
5. The Convergent Topos in Characteristic/? 133
ARTHUR OGUS
6. Finiteness Theorems and Hyperbolic Manifolds 163
A.N. PARSHIN
7. /7-groupes et reduction semi-stable des courbes 179
MICHEL RAYNAUD
8. Drawing Curves Over Number Fields 199
G.B. SHABAT and V.A. VOEVODSKY
9. Sur les proprietes numeriques du dualisant relatif
d'une surface arithmetique 229
L. SZPIRO
10. Higher Algebraic K-Theory of Schemes and of
Derived Categories 247
R.W. THOMASON and THOMAS TROBAUGH
VI CONTENTS
11. Solitons elliptiques 437
A. TREIBICH et J.-L. VERDIER with an Appendix
by J. OESTERLE
12. Linear Simple Lie Algebras and Ranks of Operators 481
Yu. G. ZARHIN
VOLUME I
Foreword
Bibliographic d'Alexander Grothendieck
De L'Analyse Fonctionnelle aux Fondements de la Geometrie Algebrique
JEAN DIEUDONNE
The presentation functor and the compactified Jacobian
ALLEN B. ALTMAN and STEVEN L. KLEIMAN
Some Algebras Associated to Automorphisms of Elliptic Curves
M. ARTIN, J. TATE and M. VAN DEN BERGH
Cohomology of a Moduli Space of Vector Bundles
V. BALAJI and C.S. SESHADRI
Sur les hypersurfaces dont les sections hyperplanes
sont a module constant
ARNAUD BEAUVILLE
Aomoto Dilogarithms, Mixed Hodge Structures and Motivic
Cohomology of Pairs of Triangles on the Plane
A.A. BEILINSON, A.B. GONCHAROV, V.V. SCHECHTMAN
and A.N. VARCHENKO
Theorie de Dieudonne cristalline III:
theoremes d'equivalence et de pleine fidelite
PIERRE BERTHELOT et WILLIAM MESSING
Complex Immersions and Arakelov Geometry
JEAN-MICHEL BISMUT, HENRI GILLET and CHRISTOPHE SOULE
L-Functions and Tamagawa Numbers of Motives
SPENCER BLOCH and KAZUYA KATO
CONTENTS vii
Bitorseurs et Cohomologie Non Abelienne
LAWRENCE BREEN
Non-commutative Ruelle-Sullivan type currents
JEAN-Luc BRYLINSKI
VOLUME II
Une nouvelle interpretation
de la formule des traces de Selberg
PIERRE CARTIER et ANDRE VOROS
Jacobiennes generalises globales relatives
C. CONTOU-CARR£RE
Categories tannakiennes
P. DELIGNE
On The Adic Formalism
T. EKEDAHL
F-Isocrystals on Open Varieties: Results and Conjectures
G. FALTINGS
Representations /7-adiques des corps locaux
J.M. FONTAINE
Rectified Homotopical Depth and Grothendieck Conjectures
H. HAMM and L£ D.T.
Automorphisms of Pure Sphere Braid Groups
and Galois Representations
Y. IHARA
Ordinarite des intersections completes generates
L. ILLUSIE
Kazhdan-Lusztig Conjecture for a Symmetrizable
Kac-Moody Lie Algebra
M. KASHIWARA
Euler Systems
V.A. KOLYVAGIN
Descent for Transfer Factors
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Anneau de Grothendieck
de la variete de drapeaux
ALAIN LASCOUX
dedie a A. Grothendieck
0. Introduction
Une variete de drapeaux relative se decompose en une suite de fibrations
projectives; la combinatoire de cette variete s'obtient done a partir de celle
du projectif. Bien plus, ainsi que Font montre Bernstein-Gelfand-Gelfand
et Demazure, on peut se reduire a des fibrations projectives en droites, i.e.
l'objet geometrique de base est la variete P(V) , ou V est un fibre vectoriel
de rang 2, avec pour groupe asocie le groupe symetrique 6(2).
La geometrie ay ant ainsi fourni des morceaux element aires, e'est a la
combinatoire qu'il faut faire appel pour proceder au recollement. Con-
trairement a Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous travaillons di-
rectement dans l'anneau des polynomes plutot que ses quotients que sont
l'anneau de Grothendieck (des classes de fibres vectoriels) ou l'anneau de
cohomologie. Ce faisant, on obtient des bases (polynomes de Schubert et
polynomes de Grothendieck) stables par les plongements &(n) c-> <S(?2-f 1),
compatibles aux varietes de drapeaux partiels, unifiant la cohomologie et
l'anneau de Grothendieck.
Ces bases contiennent comme sous-famille les fonctions de Schur, i.e.
les caracteres irreductibles sur C du groupe lineaire (pour des caracteres
plus generaux, voir [K-P] ). Ce sont d'ailleurs les fonctions de Schur qui
decrivent l'anneau de cohomologie de la grassmannienne : elles sont alors
interpreters comme cycles de Schubert
Les fonctions de Schur peuvent s'obtenir, a la suite de Cauchy, par dia-
gonalisation de la result ante Yl(cii — bj) de deux ensembles d'indeterminees
{a } et {bj}. Les polynomes de Grothendieck et Schubert s'obtiennent,
2
quant a eux, a partir de G^ = H j< (l-bj/ai) ou X^ = Hi+j<n(ai ~ ty)
i+ n
a l'aide des operateurs associes aux fibrations en droites projectives men-
tionnees ci-dessus (a peu de choses pres, ces operateurs ne sont autres
que les differences divisees de Newton). La specialisation bj -> 1 de G
w
(resp. Xo,) est la classe d'un point dans l'anneau de Grothendieck (resp.
2 ALAIN LASCOUX
de cohomologie). II est remarquable qu'on puisse deduire de la classe
d'un point celle de toutes les varietes de Schubert de la variete de dra-
peaux T . On comprend mieux ce fait en partant de G^ et X^ plutot
que de leur specialisation; G^ et X sont en effet les classes de T dans
w
le plongement diagonal T ^ T x T. C'est pourquoi, autre difference
avec Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous utilisons deux en
sembles d'indeterminees plutot qu'un, quoiqu'etudiant les memes objets
geometriques que ces auteurs. Pour ce qui est de la cohomologie, nous ren-
voyons a [B-G-G], [D3], [L2], [L-S2] .
Au paragraphe 1, nous donnons quelques proprietes du groupe symetri-
que agissant sur Panneau des polynomes (operateurs de symetrisation 7r ,
M
M۩(A)).
Aux paragraphes 2 et 3, nous definissons les objets fondamentaux
(polynomes de Grothendieck G ) dont les classes sont les classes des
M
faisceaux structuraux des varietes de Schubert. Nous resumons ensuite
(th.2.8 et prop.3.4) toutes les proprietes combinatoires connues de Panneau
de Grothendieck de la variete de drapeaux pour le groupe lineaire. Les
points essentiels sont l'existence d'un produit scalaire pour lequel les 7Tj
sont auto-adjoints, et la remarque que tout permute (G^)^ de G^ s'annule
pour la specialisation 6,- —• a , sauf lorsque \i est la permutation maximale
%
de 6(A).
En 3.11, nous explicitons les permutations ("vexillaires") pour lesquelles
le calcul est le meme que dans le cas des grassmanniennes et conduit a des
expressions determinant ales.
Le theoreme de Riemann-Roch pour la variete de drapeaux est associe
a Toperateur de symetrisation maximal TC^ . Nous nous en inspirons pour
donner en 4.4 une propriete des operateurs plus generaux que sont les 7r^.
Le plongement de Pliicker (associe au fibre inversible LE) possede
une symetrie (prop.5.2). Cette symetrie, jointe au decompte de certaines
families de tableaux de Young, permet de calculer facilement les dimensions
("postulation") de l'espace des sections des puissances de LE au-dessus
de toute variete de Schubert sans devoir recourir aux methodes des para
graphes 2 et 3. La fonction generatrice des postulations est une fraction
rationnelle £ (z)/(l — z)^)+1 dont le numerateur est une "z-extension"
M
du degre pour le plongement de Pliicker ( i.e. £ (1) est le degre projectif
M
de la variete de Schubert d'indice cj/i).
Les polynomes S^(z) admettent pour sous-famille remarquable les
polynomes d'Euler.
La structure multiplicative de l'anneau de cohomologie de la grassman-
nienne resulte, ainsi que Pa montre Giambelli [Gi], des formules de Pieri :
Pintersection d'un cycle de Schubert avec un cycle special est une somme