The analytical solution of the problem on plasma oscillations in half-space with diffusion boundary conditions

0.3 MB·

by  A. V. Latyshev

A. V. Latyshev, S. Suleimanova
The analytical solution of the problem on plasma oscillations
in half-space with diffusion boundary conditions
Faculty of Physics and Mathematics,
7 Moscow State Regional University, 105005,
1
0 Moscow, Radio str., 10-A
2

n
a
The boundary problem about behaviour (oscillations) of the electronic
J

4
plasmas with arbitrary degree of degeneration of electronic gas in half-

]
h space with diffusion boundary conditions is analytically solved. The
p
- kinetic equation of Vlasov—Boltzmann with integral of collisions of type
m
s BGK (Bhatnagar, Gross, Krook) and Maxwell equation for electric field
a
l
p are applied. Distributionfunctionforelectronsandelectricfieldin plasma
.
s
c in the form of expansion under eigen solutions of the initial system of
i
s
y equations are received. Coefficients of these expansions are found by
h
p means of the boundary conditions.
[

1
Keywords: Vlasov—Boltzmann equation, Maxwell equation, frequency
v
5
4 of collisions, electromagnetic field, modes of Drude, Debaye, and Van
1
1 Kampen, dispersion function, boundary value Riemann problem.
0
.
1
0 УДК 519.634
7
1
: АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О
v
i
X КОЛЕБАНИЯХ ПЛАЗМЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С
r
a ДИФФУЗНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
(cid:13)c 2016 г. А. В. Латышев, С. Сулейманова
(105005, Москва, ул. Радио, 10а, МГОУ)
e-mail: [email protected], [email protected]
2
Аналитически решена граничная задача о поведении (колебаниях)
электронной плазмы с произвольной степенью вырождения элек-
тронного газа в полупространстве с диффузными граничными усло-
виями. Применяются кинетическое уравнение Власова—Больцмана
с интегралом столкновений типа БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) и
уравнение Максвелла для электрического поля. Функция распре-
деления электронов и электрическое поле внутри плазмы получе-
ны в виде разложений по собственным решениям исходной системы
уравнений. Коэффициенты этих разложений найдены с помощью
граничных условий.
Ключевые слова: уравнение Власова—Больцмана,уравнение Макс-
велла, частота столкновений, электромагнитное поле, моды Друде,
Дебая, Ван Кампена, дисперсионная функция, краевая задача Ри-
мана.
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа является продолжением ряда работ, посвя-
щенных проблеме поведения вырожденной и невырожденной (макс-
велловской) плазмы в полупространстве, на границе которого зада-
но внешнее продольное электрическое поле (см., например, [1]–[4]).
В [1] и [2] рассмотрен случай вырожденной плазмы, а в [3] и [4]
рассмотрен случай невырожденной максвелловской плазмы. Слу-
чай плазмы с произвольной степенью вырождения электронного га-
за до сих пор не рассматривался. Данная работа представляет собой
попытку устранить этот пробел. В настоящей работе рассматрива-
ется общий случай плазмы с произвольной степенью вырождения
электронного газа. Так что в этом смысле данная работа является
завершающей.
Вездениже в статье плазму будем считать электронной. Соглас-
но [5], плазма называется электронной, если в диэлектрической по-
ляризации плазмы участвуют только электроны, а движение ионов
3
несущественно и им можно пренебречь. Понятие "плазма" появи-
лось в работах Тонкса и Лэнгмюра [6]. Колебания плазмы изуча-
лись в работах Власова (см., например, [7]). Как граничная задача
математической физики задача о колебаниях плазмы с зеркальным
условием отражения электронов корректно поставлена в работе [8].
Работы [9] и [10] посвящены дальнейшему изучению поведения плаз-
мы – затуханию электромагнитных волн в плазме и их аномальному
проникновению внутрь плазмы.
В настоящей работе получено аналитическое решение задачи о
поведении плазмы с произвольной степенью вырождения электрон-
ного газа в полупространстве во внешнем переменном продольном
электрическом поле. Используютсякинетическое уравнение Власова—
Больцмана с интегралом столкновений типа БГК (Бхатнагар, Гросс
и Крук) [11] и уравнение Максвелла для электрического поля.
Выясненаструктура экранированного электрическогополя.Ока-
залось, что существует область значений параметров задачи, в ко-
торой отсутствует мода Дебая.
Показано, что, во-первых, мода Друде, описывающая объемную
проводимость, существует при всех значениях параметров задачи;
во-вторых, мода Дебая, описывающая экранировку электрическо-
го поля, существует при частотах колебания внешнего поля, мень-
ших некоторой критической частоты, находящейся вблизи плазмен-
ного резонанса; и, наконец, что моды Ван Кампена [12], представ-
ляющие собой смесь (хаотизацию) собственных решений уравнения
Власова—Больцмана, также существуют при всех значениях пара-
метров задачи. Оказалось, что моды Ван Кампена отвечают непре-
рывному спектру характеристического уравнения, мода Дебая от-
вечает дискретному спектру задачи, мода Друде — спектру, при-
соединенному к непрерывному. Показано, что аналитическое реше-
ние граничной задачи может быть представлено в виде разложения
по собственным решениям, отвечающим перечисленным выше спек-
трам.
4
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть невырожденная плазма Ферми—Дирака занимает полу-
пространство x > 0. Будем использовать τ–модельное уравнение
Власова—Больцмана:
∂f ∂f 1 ∂f
+ v + e E + [v,H] = ν(f − f) (1.1)
eq
∂t ∂r c ∂p
(cid:18) (cid:19)
и уравнение Максвелла для электрического поля
(2s + 1)d3p
divE = 4πe (f − f )dΩ , dΩ = . (1.2)
0 F F (2π~)3
Z
Здесь f – локально–равновесная функция распределения Фер-
eq
ми—Дирака,
E − µ(r,t) −1
f (r,v,t) = 1 + exp ,
eq
kT
(cid:26) (cid:27)
f = f – невозмущенная функция распределения Ферми—Дирака,
0 FD
E −1
− µ
f (v,µ) = f (v,µ) = 1 + exp ,
0 FD
kT
(cid:26) (cid:27)
p = mv – импульс электрона, E=mv2/2 – кинетическая энергия элек-
трона, µ = const и µ(r,t) – соответственно невозмущенный и возму-
щенный химический потенциал, e и m – заряд и масса электрона, ρ
~
– плотность заряда, – постоянная Планка, – эффективная часто-
та рассеяния электронов, s – спин частиц, для электрона s=1/2, k
– постоянная Больцмана, T – температура плазмы, которая счита-
ется постоянной в данной задаче, E(r,t) и H(r,t) – электрическое и
магнитное поля внутри плазмы.
Пусть внешнее электрическое поле вне плазмы перпендикуляр-
но границе плазмы и меняется по закону
E (t) = E e−iωt(1,0,0).
ext 0
Соответствующее электрическое поле внутри плазмы будем обозна-
чать через
E(x,t) = E(x)e−iωt.
5
Так как внешнее поле имеет одну x–компоненту, то функция распре-
деления f имеет вид f = f(x,v ,t), v – проекция скорости элек-
x x
тронов на ось x. Внешнее электрическое поле вызывает изменение
химического потенциала
µ(x,t) = µ + δµ(x,t).
Здесь µ = const – значение химического потенциала, отвечаю-
щее отсутствию внешнего электрического поля на границе плазмы.
Введембезразмерныйимпульс (скорость)электроновP=p/p =
T
v/v , v – тепловая скорость электронов, v = 2kT/m и безразмер-
T T T
ный (приведенный) химический потенциал α = µ/kT. Для приве-
p
денного химического потенциала предыдущее равенство имеет вид
α(x,t) = α + δα(x,t).
Будем считать, что величина δα(x,t) – возмущение приведен-
ного химического потенциала является малым параметром, т.е.
|δα(x,t)| ≪ 1.
Физически это неравенство означает, что возмущение химиче-
ского потенциала много меньше тепловой энергии электронов:
|δµ(x,t)| ≪ E , E = mv2/2.
T T T
Будем действовать методом последовательных приближений, счи-
тая, что |δα(x,t)| ≪ 1.
Линеаризацию уравнений (1.1) и (1.2) проведем относительно
абсолютной функции распределения Ферми—Дирака
1
f (P,α) = f (P,α) = .
0 FD 1 + eP2−α
Линеаризуялокально–равновеснуюфункцию распределения, по-
лучаем, что
f (x,P,t) = f (P,α) + g(P,α)δα(x)e−iωt,
eq 0
6
где
1
f (P,α) = f (P,α) = ,
0 FD 1 + eP2−α
g(P,α) = eP2−α(1 + eP2−α)−2.
Заметим, что в линейном приближении
1 ∂f e ∂f
0
e E + [v,H] = E =
c ∂p p ∂P
T
(cid:18) (cid:19)
e ∂f 2eP
= E(x)e−iωt 0 = − xE(x)e−iωtg(P,α).
p ∂P p
T x T
Линеаризуем функцию распределения электронов:
f(x,P,t) = f (P,α) + g(P,α)h(x,P )e−iωt. (1.3)
0 x
Здесь h(x,P ) - новая неизвестная функция.
x
Вместо уравнений (1.1) и (1.2) с помощью (1.3) и предыдущих
соотношений получаем:
∂h 2eP
x
v P + (ν − iω)h(x,P ) = E(x) + νδα(x), (1.4)
T x x
∂x p
T
dE(x) 8πep3
= T h(x,P )g(P,α)d3P. (1.5)
dx (2π~)3 x
Z
Величина δα(t,x) определяется из закона сохранения числа ча-
стиц:
f dΩ = fdΩ . (1.6)
eq F F
Z Z
Из (1.6) находим, что
h(x,P )g(P,α)dΩ
x F
δα(x) = .
g(P,α)dΩ
R F
Заметим, что R
1 2π ∞ eP2−αP2dP
g(P,α)d3P = dµ dχ =
(1 + eP2−α)2
−1 0 0
Z Z Z Z
∞ eP2−αP2dP
= 4π = 4πg (α),
(1 + eP2−α)2 2
0
Z
7
где
∞ eP2−αP2dP ∞
g (α) = = g(P,α)P2dP,
2 (1 + eP2−α)2
0 0
Z Z
и
1 ∞ dP 1
g (α) = = s (α),
2 2 1 + eP2−α 2 0
0
Z
∞ dP
s (α) = = f (P,α)dP.
0 1 + eP2−α 0
0
Z Z
Подставляя это равенство в (1.6), находим:
1
δα(x) = h(x,P )g(P,α)d3P =
x
4πg (α)
2
Z
1 ∞
= f (P ,α)h(x,P )dP . (1.7)
0 x x x
2s (α)
0 −∞
Z
При этом было использовано равенство
∞ ∞
g(P,α)dP dP = πf (P ,α).
y z 0 x
−∞ −∞
Z Z
Положим далее E(x) = E e(x). Обозначим
0
f (µ,α)
0
k(µ,α) = ,
2s (α)
0
где µ = P .
x
Функция k(µ,α) обладает следующей нормировкой
∞
k(µ,α)dµ = 1.
−∞
Z
Теперьучитывая (1.7), вместо(1.4) и(1.5) получаем следующую
систему уравнений:
∂h 2eE ∞
0
v µ + (ν − iω)h(x,µ) = µe(x) + ν k(µ,α)h(x,µ)dµ,
T
∂x p
T −∞
Z
de(x) 16π2ep3s (α) ∞
E = T 0 k(µ,α)h(x,µ)dµ.
0 dx (2π~)3
−∞
Z
Вэтихуравнениях перейдем кбезразмернымвеличинам ифунк-
циям:
t νx x x
t = νt = , x = = = , l = v τ,
1 1 T
τ v τv l
T T
8
E(x) νkT νp
T
e(x) = , H(x,µ) = h(x,µ) = h(x,µ).
E eE v 2eE
0 0 T 0
В результате перехода к безразмерным параметрам и функциям
получаем следующую систему уравнений:
∂H ∞
µ + w H(x,µ) = µe(x ) + k(µ′,α)H(x,µ′)dµ′, (1.8)
0 1
∂x
1 −∞
Z
de(x ) ∞
1 = κ2(α) k(µ′,α)H(x ,µ′)dµ′. (1.9)
1
dx
1 −∞
Z
В уравнениях (1.8) и (1.9)
32π2e2p3s (α)
κ2(α) = T 0 ,
(2π~)3mν2
ω Ω
w = 1 − i = 1 − iωτ = 1 − i ,
0
ν ε
где Ω = ω/ω , ε = ν/ω , ω – плазменная (ленгмюровская) частота,
p p p
ω = 4πe2N/m. Здесь N – числовая плотность (концентрация)
p
электронов в равновесном состоянии.
p
κ
Выразим параметр через плазменную частоту. Из определе-
ния числовой плотности вытекает, что
2p3 d3P
N = f (P,α)dΩ = T =
0 F (2π~)3 1 + eP2−α
Z Z
8πp3 ∞ P2dP 8πp3
= T = T s (α),
(2π~)3 1 + eP2−α (2π~)3 2
0
Z
где
∞ P2dP 1
s (α) = = l (α),
2 1 + eP2−α 2 0
0
Z
∞
l (α) = ln(1 + eα−P2)dP.
0
0
Z
Следовательно, числовая плотность частиц плазмы и тепловое
~
волновое число k = mv / связаны соотношением
T T
l (α) s (α)
N = 0 k3 = 2 k3,
2π2 T π2 T
9
откуда
2π2 π2
k3 = N = N.
T
l (α) s (α)
0 2
Теперь нетрудно найти, что
ω2 s (α) ω2 1 1
κ2(α) = p · 0 = p · = ,
ν2 s (α) ν2 r(α) ε2r(α)
2
где
s (α) ν
2
r(α) = , ε = .
s (α) ω
0 p
Известно, что частота пламенных колебаний как правило много
больше частоты столкновений электронов в металле [5]. Поэтому в
случае, когда ω ∼ ω выполняется условие ω ≫ ν.
p p
Рассмотрим условие диффузного отражения электронов от гра-
ницы полупространства:
f(x = 0,v,t) = f (x = 0,v,t), v > 0.
eq x
Линеаризуя это граничное условие, получаем:
H(0,P ) = δα(0), 0 < P < 1.
x x
Обозначим A = δα(0). Далее диффузное граничное условие будем
рассматривать в виде:
H(0,µ) = A, 0 < µ < 1. (1.10)
Граничное условие для поля на поверхности плазмы имеет вид:
e(0) = 1, (1.11)
а вдали от поверхности поле предполагается ограниченным:
e(+∞) = e , |e | < +∞. (1.12)
∞ ∞
Ниже нам понадобится в качестве граничного условия условие
непротекания электронов через границу плазмы:
v f(x,v,t)dΩ = 0.
x F
Z
10
Отсюда получаем следующее интегральное условие:
∞
µ′H(0,µ′)f (µ′,α)dµ′ = 0. (1.13)
0
−∞
Z
Условие (1.13) является условием непротекания электронов че-
рез границу плазмы.
2. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
Сначала будем искать общее решение системы уравнений (1.8)
и (1.9).
Разделение переменных согласно общему методу Фурье приво-
дит к следующей подстановке:
w x
0
H (x,µ) = exp − Φ(η,µ),
η
η
(cid:18) (cid:19)
w x
0
e (x) = exp − E(η), (2.1)
η
η
(cid:18) (cid:19)
где η - спектральный параметр, или параметр разделения, вообще
говоря комплексный.
Подставим равенства (2.1) в уравнения (1.8) и (1.9).
Получим характеристическую систему уравнений
E(η) η ∞
(η − µ)Φ(η,µ) = ηµ + k(µ′,α)Φ(η,µ′)dµ′, (2.2)
w w
0 0 −∞
Z
w 1 ∞
− 0E(η) = k(µ′,α)Φ(η,µ′)dµ′. (2.3)
η ε2r(α)
−∞
Z
Обозначим:
∞
n(η) = k(µ′,α)Φ(η,µ′)dµ′.
−∞
Z
С помощью этого обозначения перепишем характеристическую
систему уравнений (2.2) и (2.3) в следующем виде:
E(η) ηn(η)
(η − µ)Φ(η,µ) = µη + , (2.4)
w w r(α)
0 0