Teubner-Taschenbuch der Mathematik

1326 Pages·2003·27.226 MB·German

by  Prof. Dr. W. Hackbusch, Prof. Dr. H. R. Schwarz, Prof. Dr. E. Zeidler (auth.), Prof. Dr. E. Zeidler (eds.)

Aus dem Inhalt
Formeln und Tabellen
Elementarmathematik
Mathematik auf dem Computer
Differential- und Integralrechnung
Vektoranalysis
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Integraltransformationen
Komplexe Funktionentheorie
Algebra und Zahlentheorie
Analytische und algebraische Geometrie
Differentialgeometrie
Mathematische Logik und Mengentheorie
Variationsrechnung und Optimierung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Numerik und Wissenschaftliches Rechnen
Geschichte der Mathematik
Teu bner-Taschen buch
der Mathematik
Begründet von I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew
Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler
Herausgegeben von E. Zeidler
2., durchgesehene Auflage
Im
Teubner
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Herausgeber:
Prof. Dr. E. Zeidler
Autoren:
Prof. Dr. W. Hackbusch (7.7.), Prof. Dr. H. R. Schwarz (7.1. - 7.6.), Prof. Dr. E. Zeidler
(0. -6)
2. Auflage November 2003
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2003
Originally published by B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden in 2003
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 2003
www.teubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche
rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem
Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche
Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten
wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Satz: Schreibdienst Henning Heinze, Nürnberg
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-322-96782-4 ISBN 978-3-322-96781-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96781-7
VORWORT
Das "Taschenbuch der Mathematik" von LN. Bronstein und K.A. Semendjajew wurde
von Viktor Ziegler aus dem Russischen ins Deutsche übersetzt. Es erschien 1958 im
Verlag B.G. Teubner in Leipzig, und bis zum Jahre 1978 lagen bereits 18 Auflagen vor.
Unter der Herausgabe von Günter Grosche und Viktor Ziegler erschien 1979 die völlig
überarbeitete 19. Auflage, an der Wissenschaftler der Leipziger Universität und anderer
Hochschulen des mitteldeutschen Raums mitwirkten. In über drei Jahrzehnten hat sich
dieses Nachschlagewerk für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker dank
seiner Qualität und dank der kontinuierlichen Verbesserungen, die vom Verlag B.G. Teubner
an dem Werk vorgenommen wurden, eine hervorragende Stellung in der wissenschaftlichen
Fachliteratur erobert. Den Herausgebern und allen Autoren sei an dieser Stelle nochmals
für ihr Engagement gedankt.
In den letzten Jahren hat sich die Mathematik außerordentlich stürmisch entwickelt.
Eine wesentliche Rolle spielt dabei der Einsatz immer leistungsfähigerer Computer. Ferner
stellen die komplizierten Probleme der modernen Hochtechnologie an Ingenieure und
Naturwissenschaftler sehr hohe mathematische Anforderungen, wobei Routinekenntnisse
nicht mehr ausreichen und die Grenzen zwischen reiner und angewandter Mathematik
fließend werden.
Auf Grund dieser Durchdringung der mathematischen Wissenschaften mit Inhalten der
Informatik und der immer engeren Beziehungen der Mathematik zu den angrenzenden natur
und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen ist eine vollständige Neufassung des bisherigen
Taschenbuches zwingend erforderlich geworden. Das vorliegende
"TEUBNER-TASCHENBUCH der Mathematik"
entspricht als Neuentwicklung in vollem Maße diesen erhöhten Ansprüchen. Es vermittelt
ein lebendiges, modernes Bild der Mathematik und wendet sich dabei an einen sehr großen
Leserkreis:
- Schüler an Gymnasien,
- Studenten der Mathematik,
- Studenten der Ingenieurwissenschaften, der Informatik, der Naturwissenschaften, der
Wirtschaftswissenschaft·en und aller anderen Studienrichtungen, die mathematische
Nebenfachkenntnisse erfordern,
- Praktiker, die in diesen Fachrichtungen tätig sind,
- Lehrer und Hochschullehrer.
Die Bedürfnisse eines derart breiten Leserkreises werden berücksichtigt, indem der Bogen
von elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr
weit gespannt wird und das Werk ein breites Spektrum mathematischer Gebiete überdeckt.
Größter Wert wird dabei auf ausführliche Motivation und Erläuterung der Grundideen
gelegt, auf leichte Faßlichkeit, Anschaulichkeit, Übersichtlichkeit und Praxisnähe.
Hinweise auf die historische Entwicklung der Gegenstände sollen dem Leser das Verständ
nis für Zusammenhänge erleichtern und zusätzlich zur Motivation beitragen. Die historischen
Hinweise im Text werden durch eine umfangreiche Tafel zur Geschichte der Mathematik am
Ende dieses Taschenbuches ergänzt. Es wird gezeigt, daß Mathematik mehr ist als eine
trockene Ansammlung von Formeln, Definitionen, Theoremen und Rechenrezepten. Sie ist
ein wesentlicher Bestandteil unserer Kultur und ein wundervolles Erkenntnisorgan des Men
schen, das ihn etwa in der modernen Elementarteilchenphysik und Kosmologie in Bereiche
vorstoßen läßt, die ohne Mathematik nicht zu verstehen sind, weil sie von unserer täglichen
Erfahrungswelt extrem weit entfernt sind.
IV Vorwort
In einem einführenden Kapitel werden mathematische Grundkenntnisse zusammenge
stellt, die Schüler, Studenten, Ingenieure und andere Praktiker häufig nachschlagen. So
findet z.B. ein Medizinstudent hier eine elementare Einführung in die Methoden der mathe
matischen Statistik, die ihm beim Abfassen des Statistikteils seiner Dissertation behilflich
sein soll. Die weiteren Kapitel sind den drei grundlegenden mathematischen Disziplinen
- Analysis,
- Algebra,
- Geometrie
gewidmet. Es folgt ein Kapitel über
- Grundlagen der Mathematik (Logik und Mengenlehre),
das besonders die Bedürfnisse und Schwierigkeiten von Studienanfängern berücksichtigt.
Die drei letzten Kapitel dieses Taschenbuches beschäftigen sich mit wichtigen Anwendungs·
feldern der Mathematik:
- Variationsrechnung und Optimierung,
- Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik),
- Numerik und Wissenschaftliches Rechnen.
Die Möglichkeiten von modernen Supercomputern haben die Numerik grundlegend
verändert. Der Mathematiker, Ingenieur und Naturwissenschaftler ist heute in der Lage,
umfangreiche Experimente am Computer vorzunehmen, mit denen er auf bisher unerschlos·
senen mathematischen Gebieten praktische Erfahrungen sammeln kann. Dadurch ergeben
sich völlig neue Fragestellungen, von denen wesentliche Impulse zur Weiterentwicklung
der mathematischen Theorie ausgehen. Das letzte Kapitel vermittelt erstmalig im Rahmen
eines Taschenbuches einem breiten Leserkreis ein Bild von der modernen Numerik, die
wegen ihrer neuen Ausrichtung Wissenschaftliches Rechnen (Scienti!ic Computing) genannt
wird und die Ingenieurmathematik revolutioniert hat.
In den letzten Jahren wurden sehr leistungsfähige Softwaresysteme entwickelt, die
es erlauben, alle mathematischen Routineaufgaben mit Hilfe von Personalcomputern
zu erledigen. Auf diese Möglichkeiten wird im Text an den betreffenden Stellen stets
hingewiesen. Im Literaturverzeichnis findet man unter dem Stichwort Mathematik auf
dem Computer moderne Literatur zum effektiven Einsatz dieser Software systeme und zur
Benutzung von Datennetzen, die neue faszinierende Möglichkeiten eröffnen.
Die sorgfältig zusammengestellten Literaturangaben am Ende des Werkes helfen dem
Leser, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen
einführender Literatur und anspruchsvollen Standardwerken gewählt werden kann.
Einem Leser, der tiefer in die Mathematik und ihre Anwendungen in Informatik,
Operations Research und mathematischer Physik eindringen will, wird das
"TEUBNER·TASCHENBUCH der Mathematik· Teil 11"
empfohlen. Dieser Band enthält die folgenden Kapitel:
- Mathematik und Informatik,
- Operations Research,
- Höhere Analysis,
- Lineare Funktionalanalysis und ihre Anwendungen,
- Nichtlineare Funktionalanalysis und ihre Anwendungen,
- Dynamische Systeme - Mathematik der Zeit,
- Nichtlineare partielle Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften,
- Mannigfaltigkeiten,
Vorwort V
- Riemannsche Geometrie und allgemeine Relativitätstheorie,
- Liegruppen, Liealgebren und Elementarteilchen - Mathematik der Symmetrie,
- Topologie - Mathematik des qualitativen Verhaltens,
- Krümmung, Topologie und Analysis.
Allen Mitarbeitern des Teubner·Verlags, die an diesem Werk mitgewirkt haben, sei für
die harmonische Zusammenarbeit sehr herzlich gedankt. Ein besonderer Dank geht an Frau
Dorothea Ziegler für ihre außerordentlich sorgfältige und sachkundige redaktionelle Arbeit.
Ferner sei der Studentin Steffi Wießner und den Studenten Andreas Bernig, Daniel Didt,
Christian Fleischhack und Ralf Müller ·an der Fakultät für Mathematik und Informatik der
Universität Leipzig für ihre kritische Durchsicht von Teilen des Manuskripts sehr herzlich
gedankt.
Leipzig, im Januar 1996 Der Herausgeber
VI Vorwort
VORWORT ZUR 2. AUFLAGE
Theoria cum praxi.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Die erste Auflage des Teubner·Taschenbuches der Mathematik hat eine erfreuliche Reso
nanz gefunden. Beim Verfassen der bei den Bände dieses Nachschlagewerkes kam es darauf
an, die Einheit und Vielgestaltigkeit der Mathematik zu verdeutlichen, die Verbindung zwi·
schen Theorie und Praxis aufzuzeigen, ausführlich zu motivieren, historische Wurzeln zu er·
wähnen und sich von einer lediglich trockenen Zusammenstellung von Formeln und Resul·
taten zu lösen. Eine Reihe von Leserzuschriften und Besprechungen hat gezeigt, daß dieser
Versuch auf ein positives Echo gestoßen ist. Ein herzliches Dankeschön geht an alle auf
merksamen Leser, die auf Fehler oder Ungenauigkeiten hingewiesen haben. Diese Anregun
gen sind in die nun vorliegende neue Auflage eingearbeitet worden.
In der antiken Sage lebt in einem Labyrinth auf Kreta das Ungeheuer Minotaurus in Ge·
stalt eines Menschen mit einem Stierkopf. Alle neun Jahre müssen dem Minotaurus sieben
junge Frauen und Jünglinge geopfert werden. Ariadne, die Tochter des kretischen Königs
Minos, verliebt sich in eines der Opfer - den athenischen Prinzen Theseus. Sie gibt ihm
eine Rolle Garn, deren Anfang er am Eingang des Labyrinths befestigt. Theseus tötet den
Minotaurus und gelangt mit Hilfe des Ariadnefadens aus dem Labyrinth heraus. Unsere
geistige Arbeit bedarf der ausführlichen Motivation in Form eines Ariadnefadens, der dem
einzelnen hilft, sich im Labyrinth der Wissenschaft zurechtzufinden. Das Bild vom Ariadne·
faden stand Pate beim Verfassen dieses Teubner-Taschenbuches der Mathematik.
Ich hoffe, daß dieses Werk auch weiterhin dem Leser beim Lernen in der Schule, beim
Studium und in der alltäglichen, praktischen Arbeit ein nützlicher Ratgeber ist und ihn
außerdem von Zeit zu Zeit anregt, einen Blick in benachbarte mathematische Interessenge·
biete zu werfen.
Leipzig, im August 2003 Der Herausgeber
INHALT
Einleitung 1
O. Wichtige Formeln, graphische Darstellungen und Tabellen 3
0.1. Grundformein der Elementarmathematik 3
0.1.1. Mathematische Konstanten . . . . ... 3
0.1.2. Winkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.3. Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren 7
0.1.4. Volumen und Oberfläche von Körpern . 11
0.1.5. Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder 13
0.1.6. Volumen und Oberfläche der n·dimensionalen Kugel. 15
0.1.7. Grundformein der analytischen Geometrie der Ebene 16
1. Geraden (16) - 2. Kreis (18) - 3. Ellipse (19) - 4. Hyperbel (21) - 5. Parabel (22) -
6. Polarkoordinaten und Kegelschnitte (23)
0.1.8. Grundformein der analytischen Geometrie des Raumes 25
0.1.9. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen .. ...... . 26
0.1.10. Elementare algebraische Formeln ... . . . . . . . . . 29
1. Die geometrische und die arithmetische Reihe (29) -2. Das Rechnen mit dem Summen
und Produktzeichen (30) - 3. Die binomischen Formeln (31) - 4. Potenzsummen und
Bernoullische Zahlen (33) - 5. Die Eulerschen Zahlen (36)
0.1.11. Wichtige Ungleichungen. . . . . . . .. . ..................... . 36
0.1.12. Anwendung auf die Planetenbewegung - der Triumph der Mathematik im Weltall 41
0.2. Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung 46
0.2.1. Transformation von Funktionen. 48
0.2.2. Die lineare Funktion . . . . 49
0.2.3. Die quadratische Funktion 49
0.204. Die Potenzfunktion . . . . 51
0.2.5. Die Eulersche e-Funktion . 52
0.2.6. Die Logarithmusfunktion . 54
0.2.7. Die allgemeine Exponentialfunktion . 55
0.2.8. Die Sinus-und Kosinusfunktion . . . . 56
0.2.9. Die Tangens-und Kotangensfunktion 62
0.2.10. Die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x 65
0.2.11. Die Hyperbelfunktionen tanh x und coth x 67
0.2.12. Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen) 69
0.2.13. Die inversen Hyperbelfunktionen 71
0.2.14. Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
0.2.15. Gebrochene rationale Funktionen .............. . 73
1. Spezielle rationale Funktionen (73) - 2. Rationale Funktionen mit linearen Zählern
und Nennern (74) -3. Spezielle rationale Funktionen mit einem Nenner n·ten Grades (75)
- 4. Rationale Funktionen mit quadratischem Nenner (75) - 5. Die allgemeine rationale
Funktion (77)
0.3. Mathematik auf dem pe -eine Revolution der Mathematik. . . . . . . . . . 78
004. Tabellen der mathematischen Statistik und Standardverfahren für Praktiker 79
004.1. Die wichtigsten empirischen Daten für eine Meßreihe 79
004.2. Die theoretische Verteilungsfunktion .... 81
004.3. Das Testen einer Normalverteilung . . . . . . 82
0.404. Die statistische Auswertung einer Meßreihe . 83
VIII Inhalt
0.4.5. Der statistische Vergleich zweier Meßreihen 84
1. Der empirische Korrelationskoeffizient (84) - 2. Der Vergleich zweier Mittelwerte mit
dem t-Test (86) - 3. Der F-Test (87) - 4. Der Wilcoxon-Test (87)
0.4.6. Tabellen der mathematischen Statistik. 87
1. Interpolation von Tabellen (87) - 2. Normalverteilung (89) - 3. Werte tn•m der
Student sehen t-Verteilung (92) -4. Werte X;; der X2 -Verteilung (93) -5. Werte FO,05;mJ m,
und FO,Ol;mJ m, der F-Verteilung (94) -6. Die Fischersehe Z-Verteilung (98) - 7. Kritische
Zahlen für den Wilcoxon-Test (99) - 8. Die Kolmogorow-Smirnowsche >--Verteilung (100)
- 9, Die Poissonsche Verteilung (101)
0.5. Tabellen spezieller Funktionen . . . . . . . . 102
0.5.1. Gammafunktion r(x) und 1/r (x) 102
0.5.2. Zylinderfunktionen (Besselsehe Funktionen) 103
0.5.3. Kugelfunktionen (Legendresche Polynome) . 107
0.5.4. Elliptische Integrale . . . . . 108
0.5.5. Integralsinus, Integralkosinus, Integralexponentialfunktion, Integrallogarithmus . 110
0.5.6. Fresnel-Integrale . . . 112
Jx
0.5.7. Die Funktion e,2 dt . 112
°
0.5.8. Umrechnung von Grad in Bogenmaß 113
0.6. Primzahlt abelle . . . . . . . 114
0,7. Reihen-und Produktformeln 115
0.7.1. Spezielle Reihen . . . . . . . 115
1. Die Leibnizsche Reihe und verwandte Reihen (115) - 2. Spezielle Werte der
Riemannschen (-Funktion und verwandte Reihen (116) - 3, Die Euler-McLaurinsche
Summenformel (117) - 4. Unendliche Partialbruchzerlegungen (118)
0.7.2. Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . 118
0.7.3. Asymptotische Reihen . . . . 128
1. Konvergente Entwicklungen (128) - 2. Asymptotische Gleichheit (129) - 3. Asymptoti
sehe Entwicklungen im Sinne von Poincare (129)
0.7.4. Fourierreihen . . . . . 131
0.7.5. Unendliche Produkte .... . ...... . 136
0.8. Tabellen zur Differentiation von Funktionen 137
0.8.1. Differentiation der elementaren Funktionen 137
0,8.2. Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen. 139
0.8.3. Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler 140
0.9. Tabellen zur Integration von Funktionen 142
0.9.1. Integration der elementaren Funktionen 142
0.9.2. Integrationsregeln . .. ........ . 145
1. Unbestimmte Integrale (145) - 2. Bestimmte Integrale (147) - 3. Mehrdimensionale
Integrale (147)
0.9.3. Die Integration rationaler Funktionen 148
0.9.4. Wichtige Substitutionen . 150
0.9.5. Tabelle unbestimmter Integrale. . 154
0.9.6. Tabelle bestimmter Integrale .. 184
0.10. Tabellen zu den Integraltransformationen . 190
0.10.1. Fouriertransformation 190
1. Fourierkosinustransformation (191) - 2. Fouriersinustransformation (197) - 3. Fourier
transformation (203)
0.10.2. Laplacetransformation. . . . . . 204