Testes de bondade de ajuste para a distribuição Birnbaum-Saunders

107 Pages·2012·0.58 MB·Portuguese

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Testes de bondade de ajuste para a
distribuição Birnbaum-Saunders
†
por
Aline Barbosa Tsuyuguchi
sob orientação da
Profa. Dra. Michelli Karinne Barros da Silva
DissertaçãoapresentadaaoCorpoDocentedoPrograma
dePós-GraduaçãoemMatemática-CCT-UFCG,como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
†Este trabalho contou com apoio financeiro do CNPQ
Testes de bondade de ajuste para a
distribuição Birnbaum-Saunders
por
Aline Barbosa Tsuyuguchi
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Estatística
Aprovada por:
————————————————————————
Prof. Dr. Raydonal Ospina Martínez - UFPE
————————————————————————
Prof. Dr. Gustavo Henrique Esteves - UEPB
————————————————————————
a a
Prof . Dr . Michelli Karinne Barros da Silva - UFCG
Orientadora
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Fevereiro/2012
ii
Resumo
Neste trabalho estudamos testes de bondade de ajuste para a distribuição Birn-
baum-Saunders. Consideramos testes clássicos baseados em função de distribuição
empírica (Anderson-Darling, Cramér-von Mises e Kolmogorov-Sminorv) e baseados
em função característica empírica. Nos limitamos ao caso onde o vetor de parâmetros
é desconhecido e, portanto deverá ser estimado. Apresentamos estudos de simulação
para verificar o desempenho das estatísticas de teste em estudo. Além disso, propo-
mos estudos de simulação de Monte Carlo para testes de bondade de ajuste para a
distribuição Birnbaum-Saunders com dados com censura tipo II.
Palavras-chave: Testes de bondade de ajuste, função de distribuição empírica,
função característica empírica, distribuição Birnbaum-Saunders, censura tipo II.
iii
Abstract
In this work we study goodness-of-fit tests for Birnbaum-Saunders distribution.
We consider classical tests based on empirical distribution function (Anderson-Darling,
Cramér-von Mises e Kolmogorov-Sminorv) and based on empirical characteristic func-
tion. We limited this study to the case in which the vector of parameters is unknown
and, therefore, must be estimated. We present the simulation studies to verify the
performance of the test statistics in study. Also, we propose simulation studies of
Monte Carlo for goodness-of-fit test for Birnbaum-Saunders distribution using Type-II
censored data.
Key words: Goodness-of-fittest, empiricaldistributionfunction, empiricalchar-
acteristic function, Birnbaum-Saunders distribution, Type-II censored data.
iv
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus por nunca me desamparar.
Aos meus pais, Yasutoshi e Marlinda, por todas as oportunidades, pelo apoio
incondicional, incentivo e dedicação. Vocês são essenciais. Amo muito vocês!
Às minhas irmãs, Ana, Bárbara e Carol por compartilharem comigo as expecta-
tivas e ansiedades. A minha sobrinha Aiko, por mesmo tão nova, ser instrumento de
união. Às famílias, tanto Barbosa quanto Tsuyuguchi, por sempre estarem presentes
para mim e me deixarem saber disso.
Ao Fábio, pelo apoio, carinho e tranquilidade transmitida, contribuindo de forma
significativa na fase final dessa dissertação.
Aos queridos amigos desde a graduação, Daniel, Débora, Eraldo, Fabricia, Fabri-
cio, Israel, Maria, Michel, Narrely, Raquel e Sérgio, por todos os momentos em que me
acompanharam e por estarem sempre dispostos a ajudar. "Às meninas de civil", (Rah,
Renatinha, Mone e Samilly) e aos amigos de longe pela torcida.
Aos amigos do mestrado, Fabiana, Tatá e Joelson, por terem compartilhado todo
o drama e alegrias dessa trajetória, marcando presença constante. Vocês fizeram a
diferença, mostrando que posso confiar na ajuda e amizade de vocês para o que ainda
virá. Ao meu autoproclamado irmão, Igor (Tonhaunm), e ao amigo Romildo, pelas
conversas sérias e as nem tão sérias assim.
A todos os professores da UAME/UFCG que contribuíram para minha formação
durante a graduação e a pós-graduação. Em especial, ao professor Daniel Cordeiro pelo
incentivo (e pelas quatro disciplinas em que foi meu professor), ao professor Jesualdo
pela orientação concedida durante a graduação e aos professores Alexsandro e Brandão
que me deram aulas durante o mestrado. Aos funcionários que fazem parte da UAME,
em especial a D. Argentina (in Memorian).
Ao professor Víctor Leiva e a minha irmã Bárbara pelos artigos e livros a que me
permitiram ter acesso e contribuiram de forma efetiva para este trabalho. Ao professor
v
vi
Horácio pela ajuda nesta dissertação. Ao professor Raydonal pelo auxílio prestado,
muito útil para o desenvolvimento deste trabalho.
À professora Michelli, pelos conhecimentos transmitidos, todo o tempo disponi-
bilizado (incluindo suas férias), dedicação, paciência e pela orientação muito além da
que eu poderia desejar. Quero deixar registrado minha gratidão e admiração, tanto
pela profissional quanto pela pessoa que é.
Aos professores que aceitaram participar da banca examinadora.
Ao CNPQ pelo apoio financeiro.
A todos que me ajudaram, de forma direta ou indireta, a passar pelas diversas
dificuldades durante esta trajetória, meu mais sincero obrigada.
Dedicatória
Aos meus pais, Yasutoshi e Mar-
linda.
vii
Conteúdo
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Conceitos Básicos 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Caracterização dos dados de sobrevivência . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Funções importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 O método de Máxima Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Distribuição Birnbaum-Saunders e Birnbaum-Saunders generalizada 17
2.1 Distribuição Birnbaum-Saunders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Função densidade, função sobrevivência e função de risco da dis-
tribuição BS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Estudo de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Distribuição Birnbaum-Saunders generalizada . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Testes de bondade de ajuste 33
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Estatísticas de função de distribuição empírica . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Estatística da Função característica Empírica . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Estudo de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.1 Valores Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
3.5.2 Poder dos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Testes de bondade de ajuste para distribuição BS com censura 58
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Caso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Caso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Caso III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.1 Valores Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.2 Poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Trabalhos Futuros 72
A Cálculo das estatísticas de função de distribuição empírica a serem
implementadas 73
A.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.2 Cálculo da estatística de Cramér-von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A.3 Cálculo da estatística Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B Demonstração do procedimento proposto na Seção (3.3) 82
C Justificativa que a estimação de α não interfere nas estatísticas de
teste 85
D Cálculo da estatística de função característica empírica a ser imple-
mentada 87
D.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
D.2 Cálculo da estatística de função característica empírica . . . . . . . . . 88
iii
E Dados reais 92
Bibliografia 95