Tesis Licenciada en Matem´aticas Aplicadas

102 Pages·2015·0.98 MB·Spanish

UNIVERSIDAD TECNOLO´GICA DE LA MIXTECA
Licenciatura en Matema´ticas Aplicadas
Funciones Libremente Descomponibles
Tesis
que para obtener el t´ıtulo de:
Licenciada en Matema´ticas Aplicadas
presenta:
Anah´ı Rojas Carrasco
Directores de tesis:
Dr. Franco Barraga´n Mendoza (UTM)
Dr. Sergio Mac´ıas A´lvarez (UNAM)
Huajuapan de Le´on, Oaxaca Mayo 2015

Dedicatoria
A mis padres, Rosario Maribel y Naguib Guadalupe y a
mis hermanos, Lenin, Janexi y Yesenia.

Agradecimientos
Agradezco de manera muy especial:
A mis padres, que siempre me dieron todo lo que necesit´e sin esperar nada a cambio.
A mis hermanos, que siempre trataron que nada me faltara mientras recorr´ıa este largo camino.
A mi hermana Diana Laura por tener que aguantar las noches de desvelo junto conmigo.
Al resto de mi familia por creer en m´ı y animarme a no dejar de esforzarme para llegar hasta
este punto de mi carrera.
Al Dr. Franco Barrag´an Mendoza, porque nunca me dej´o sola en la elaboraci´on de este trabajo.
Porque siempre me motiv´o a realizar un trabajo de calidad.
Al Dr. Sergio Mac´ıas Alvarez, por el apoyo y la confianza que me brind´o a lo largo de la
elaboracio´n de este trabajo.
A mis sinodales, por el tiempo dedicado a la revisi´on de la tesis y por sus sabias observaciones
para la mejora de la misma.

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Indice general
Introducci´on VII
1. Preliminares 1
1.1. Notaciones y Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Conexidad y Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Breve Introducci´on a los Continuos 15
2.1. Notaciones y Conceptos B´asicos en Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Algunas Clases de Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Clases de Funciones Entre Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Funciones Libremente Descomponibles 43
3.1. Propiedades B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Relaciones con Otras Clases de Funciones Entre Continuos . . . . . . . . . . . . . 47
4. Funciones Libremente Descomponibles en o sobre Tipos Especiales de Conti-
nuos 53
4.1. Funciones Libremente Descomponibles con Rango Localmente Conexo . . . . . . 53
4.2. Funciones Libremente Descomponibles con Dominio Unicoherente . . . . . . . . . 58
4.3. Funciones Libremente Descomponibles con Dominio Irreducible . . . . . . . . . . 63
5. Algunas Clasificaciones de Continuos 69
5.1. Clasificaci´on de Continuos en T´erminos de Funciones Libremente Descomponibles 69
5.2. L´ımites Inversos con Funciones de Ligadura Libremente Descomponibles . . . . . 71
5.3. Funciones Hereditariamente Libremente Descomponibles . . . . . . . . . . . . . . 81
Conclusiones 85
Referencias 87
´Indice alfab´etico 89
V
VI ´INDICE GENERAL
Introduccio´n
La tem´atica de la tesis pertenece a la rama de la Topolog´ıa conocida como Teor´ıa de los Conti-
nuos. Un continuo es un espacio m´etrico compacto, conexo y no vac´ıo. Las primeras nociones del
concepto de continuo fueron dadas en 1883 por G. Cantor [4]. Para un bosquejo de la historia
de la Teor´ıa de los Continuos puede consultar [6]. Tal como sucede en la mayor´ıa de las ´areas
de la Matem´atica, es relevante estudiar funciones entre los objetos de estudio; en esta parte de
la Topolog´ıa es de suma importancia considerar y estudiar tipos de funciones entre continuos.
As´ı, desde los inicios de la Teor´ıa de los Continuos, se han estudiado diversos tipos de funciones
entre continuos tales como las funciones continuas, abiertas o cerradas. Por la utilidad y la gran
variedad de aplicaciones en la investigaci´on de esta teor´ıa, a trav´es del tiempo se han definido
varias clases de funciones. En 1979, T. Mackowiak [17] realiza un compendio de varias clases de
funciones, estudia la relaci´on entre estas clases y muestra la utilidad de las mismas para obtener
clases de continuos. De manera similar, en 1992, Sam B. Nadler, Jr. en su libro [20], hace un
estudio de algunas clases de funciones, en tal referencia menciona que: “uno no puede estudiar
continuos sin considerar tipos especiales de funciones”, [20, p´ag. 277].
En1979,G.R.Gordh,Jr.yC.B.Hughes[11]definenyestudianunnuevotipodefunciones,
las cuales se denominaron funciones libremente descomponibles. Estas funciones son una gene-
ralizaci´on de las funciones mon´otonas y tienen la propiedad de preservar la conexidad local en
l´ımites inversos. En [12], se da seguimiento al estudio de esta clase de funciones y, recientemente,
en [2] y [3], J. Camargo y S. Mac´ıas retoman y continu´an el an´alisis de este tipo de funciones.
El objetivo del presente trabajo de tesis es realizar un estudio detallado de las funciones
libremente descomponibles, bas´andonos en los trabajos realizados en [11], [12], [2] y [3]. Princi-
palmente, veremos qu´e relaci´on tiene la clase de funciones libremente descomponibles con otras
clases de funciones y estudiaremos las funciones libremente descomponibles en algunos tipos
especiales de continuos.
El presente trabajo de tesis est´a organizado de la siguiente manera.
En el primer cap´ıtulo se proporcionan los conceptos ba´sicos para una mejor comprensi´on de
esta tesis.
En el segundo cap´ıtulo se introduce el concepto de continuo y se revisan algunas de sus
propiedades m´as importantes que son de gran ayuda en el trabajo de tesis. Se presentan los
conceptos y relaciones entre continuos localmente conexos, semilocalmente conexos y continuos
libremente descomponibles, por mencionar algunos. Se dan caracterizaciones importantes de los
continuos mencionados, estas caracterizaciones desempen˜an un papel importante, pues facilitan
las demostraciones de algunos resultados posteriores. Finalmente se definen funciones entre
continuos.
VII
VIII ´INDICE GENERAL
En el tercer cap´ıtulo se introduce el concepto de funci´on libremente descomponible, as´ı como
el de funcion´ hereditariamente libremente descomponible. Se analizan sus propiedades b´asicas,
as´ı como las relaciones que existen entre ellas y otras clases de funciones.
En el cuarto cap´ıtulo se estudian funciones libremente descomponibles en o sobre tipos
especiales de continuos y se obtienen propiedades que en el Cap´ıtulo 3 no es posible demostrar.
Finalmente, en el quinto cap´ıtulo, se intenta dar una aplicaci´on de los continuos y las fun-
ciones estudiadas, clasificando algunos continuos en t´erminos de las funciones libremente des-
componibles y se recopilan algunas propiedades de las funciones hereditariamente libremente
descomponibles. Tambi´en se realiza un estudio de los l´ımites inversos con funciones de ligadura
libremente descomponibles.