TESIS DOCTORAL 2016 TULIO RAFAEL AMAYA DE ARMAS Magister en innovación e ...

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TESIS DOCTORAL

2016

TULIO RAFAEL AMAYA DE ARMAS
Magister en innovación e investigación en educación

Doctorado en Innovación e Investigación en
Didáctica

Departamento de Didáctica
Universidad Nacional de Educación a Distancia
(UNED)

Director:
ANTONIO MEDINA RIVILLA

Departamento de Didáctica
Facultad de Educación
Universidad Nacional de Educación a Distancia
(UNED)
EVALUACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS
DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS DE FUTUROS
PROFESORES DE MATEMÁTICAS AL HACER
TRANSFORMACIONES DE LAS
REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN

Autor: TULIO RAFAEL AMAYA DE ARMAS

Magister en innovación e investigación en educación

Director:
ANTONIO MEDINA RIVILLA
Agradecimientos
En primer lugar agradecer a Dios por darme la vida, las fuerzas y la voluntad para
realizar mis estudios doctorales.

A mi esposa Norelys Ester Vidal Durango por su apoyo incondicional y por
concederme sus espacios para poderlos dedicar a mis estudios y por su apoyo en los
momentos difíciles.

A mis hijos Jean Emir, Eva Felicia, Tulio Andrés, Keysa Luz e Iriana María por
concederme sus espacios para poderlos dedicar a mis estudios.

A los 56 estudiantes del programa Licenciatura en Matemática de la Universidad de
Sucre, quienes incondicionalmente aportaron la información para el desarrollo de este
trabajo.

A mi director de tesis el doctor Antonio Medina Rivilla por su apoyo y sus ánimos
para ayudarme a salir adelante.

Al doctor Juan Godino de la Universidad de Granada, España y al doctor Luis Pino-
Fan de la Universidad de Los Lagos, Chile por sus amables asesorías para enrumbar
mi trabajo.

A los directivos docentes de la Institución educativa Madre Amalia y de la secretaría
de Educación municipal de Sincelejo, por facilitarme los espacios para asistir a las
evaluaciones programadas por la Uned.
A Margarita Medrano Hernández y a Jesús López de la Iglesia por su amable
colaboración y diligencias con documentos de apoyo.

A mis amigos, quienes pacientemente esperaron por mis interminables encierros,
sobre todo a aquellos que siempre buscaron colaborarme incondicionalmente.

A todas aquellas personas que de una u otra forma colaboraron en el desarrollo de mi
formación doctoral.

Tulio A.
Dedico mi tesis a:

Mis padres: Luis Carlos y Eva Felicia y a mi hermano Maximiliano
Quienes desde el cielo, siempre me acompañan y orientan
En cada cosa que hago y
Por donde quiera voy.

Mi esposa Norelis y mis hijos
Jean, Eva, Tulio, Keysa e Iriana
por ser los motores de mi vida,
por estar siempre ahí,

aunque yo no estuviera en casa y, aun estando.

Tulio A.
Resumen
En este trabajo evaluó la faceta epistémica de los conocimientos didáctico-matemáticos de futuros
profesores de matemáticas, de la Universidad de Sucre al hacer transformaciones de las
representaciones de una función. El marco teórico tiene sus fundamentos en el modelo del
conocimiento didáctico-matemático (CDM) propuesto por Godino (2009). La investigación se
enmarca dentro de un enfoque metodológico mixto (Creswell, 2009) puesto que en ella se
combinan técnicas y métodos de investigación cuantitativos y cualitativos. Se tomó una muestra
intencional de 56 profesores en formación, de los que se recogió información durante cuatro
semestres consecutivos: 28 de semestres intermedios y 28 de los semestres finales.

Para analizar la información se hizo un análisis comparativo de medias y se analizaron las
asociaciones entre las respuestas dadas por los estudiantes con el nivel del que éstas provinieran,
utilizando tablas de contingencias y el coeficiente chi cuadrado de Pearson, y se caracterizaron las
configuraciones cognitivas, procesos y elementos matemáticos primarios que emergen de los
profesores en formación al dar sus respuestas a los diferentes ítems/tareas del cuestionario, las
cuales fueron analizadas utilizando la noción de configuración onto-semiótica propuesta por Pino-
Fan, Godino y Font (2015).

En los participantes se encontraron rasgos distintivos del conocimiento común del contenido;
mientras las configuraciones cognitivas, procesos y elementos matemáticos primarios encontrados
son pobres y ligeramente heterogéneas entre grupos. Un grupo reducido mostró evidencias
distintivas los conocimientos ampliado y el especializado del contenido y en otro más amplio se
encontraron serias limitaciones en la producción de representaciones de una función, para
establecer congruencias entre sus elementos y para decidir sobre la pertinencia procedimental
(Sgreccia y Massa, 2012) y emparejar los elementos equivalentes en las diferentes
representaciones, evidenciándose la necesidad de fortalecer dichos conocimientos. Además, se
visionan algunas cuestiones abiertas que permitan continuar en esta línea de investigación, así
mismo algunos aspectos que posibilitarían mejorar los conocimientos didácticos matemáticos del
objeto función.
Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN GENERAL ................................................................................................................ 16
CAPITULO 1 ....................................................................................................................................... 23
1 CONTEXTUALIZACIÓN DEL ESTUDIO Y ANTECEDENTES ............................................................ 23
1.1 CONTEXTUALIZACIÓN DEL ESTUDIO ................................................................................. 23
Los conceptos, los signos y las representaciones de un objeto. ................................ 23
Los registros semióticos de representación y las representaciones de un concepto
matemático. ............................................................................................................................... 26
Acerca de las funciones ............................................................................................. 31
Contexto educativo .................................................................................................... 57
1.2 LOS ANTECEDENTES .......................................................................................................... 64
Trabajos sobre el conocimiento de los profesores necesario para la enseñanza de las
matemáticas. .............................................................................................................................. 64
Trabajos sobre las dificultades a que se enfrentan tanto estudiantes como profesores
en la enseñanza y aprendizaje de las funciones ......................................................................... 69
Trabajos sobre los conocimientos didáctico-matemáticos de los profesores sobre la
enseñanza de las funciones. ...................................................................................................... 81
CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................................... 85
2 ESTADO DEL ARTE ..................................................................................................................... 85
2.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 85
2.2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ........................................................................................... 86
Antecedentes del modelo CDM ................................................................................ 87
Modelo del Conocimiento didáctico-matemático (CDM) ....................................... 100
Consideraciones didácticas ..................................................................................... 116
CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................................... 120
3 EL PROBLEMA Y METODOLOGÍA ................................................................................... 120
3.1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ....................................................................... 120
Preguntas y objetivos de investigación ................................................................... 122
3.2 METODOLOGÍA ........................................................................................................... 123
Tipo de estudio ........................................................................................................ 123
Fases de la investigación ......................................................................................... 126
Población y Muestra ................................................................................................ 127
Recolección de la información ................................................................................ 129
Modalidades de aplicación ...................................................................................... 131
Instrumentos utilizados para recoger la información .............................................. 132
Tratamiento y análisis de la información ................................................................ 140
CAPITULO 4. .................................................................................................................................... 142
4 EVALUACIÓN DE LA FACETA EPISTÉMICA DE LOS CONOCIMIENTOS DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS
SOBRE FUNCIONES EN PROFESORES EN FORMACION .................................................................... 142
4.1 IMPLEMENTACIÓN Y ANALISIS DEL CUESTIONARIO DIAGNÓSTICO ....................... 143
La muestra ............................................................................................................... 143
Análisis cuantitativo del proceso diagnóstico ......................................................... 145
Análisis cualitativo del proceso diagnóstico ............................................................ 146
4.2 EVALUACIÓN DE LA FACETA EPISTÉMICA, DEL PROCESO FORMATIVO DE
LOS PROFESORES EN FORMACIÓN .................................................................................... 188
Análisis de un cuestionario ...................................................................................... 189
El proceso de evaluación ......................................................................................... 233
Análisis de eventos de clases................................................................................... 250
4.3 IMPLEMENTACIÓN Y ANALISIS DEL CUESTIONARIO FINAL ............................................. 270
La muestra ............................................................................................................... 270
Análisis cuantitativo de la faceta epistémica .......................................................... 271
Análisis cualitativo de la faceta epistémica ............................................................. 275
CAPITULO 5 ..................................................................................................................................... 344
5 CONCLUSIONES, CUESTIONES ABIERTAS, PROPUESTA DE MEJORA Y
PRINCIPALES APORTACIONES ................................................................................................ 344
5.1 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 344
5.2 CUESTIONES ABIERTAS .................................................................................................... 353
5.3 PROPUESTA DE MEJORA ................................................................................................. 355
5.4 PRINCIPALES APORTACIONES A LA COMUNIDAD DE EDUCADORES MATEMÁTICOS ..... 356
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ....................................................................................................... 359
ANEXOS ........................................................................................................................................... 368
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Ejemplo de la representación de una función en un registro tabular. ..................... 43
Tabla 2. Categorías de análisis y cuestiones planteadas en las situaciones ........................ 134
Tabla 3. Representación tabular de las funciones de Costos, Ingresos y Ganancias .......... 137
Tabla 4. Anova de la Calificación al resolver el cuestionario diagnóstico......................... 145
Tabla 5. Coeficientes Chi-Cuadrado de Pearson para cada cuestión planteada ................. 146
Tabla 6. Anova de la Calificación al resolver el cuestionario final .................................... 272
Tabla 7. Anova comparativo de las calificaciones al resolver las pruebas diagnóstica y final
............................................................................................................................................ 273
Tabla 8. Comparaciones múltiples de las calificaciones medias al resolver las pruebas
diagnóstica y final ............................................................................................................... 273
Tabla 9. Coeficientes Chi-Cuadrado de Pearson para cada cuestión planteada en el
cuestionario final. ............................................................................................................... 274
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Ilustración gráfica de heterogeneidad entre representaciones de un mismo objeto
.............................................................................................................................................. 29
Figura 2. Representación figural de un medio de la unidad ................................................. 30
Figura 3. Ejemplo de una representación gráfica de una función lineal............................... 42
Figura 4. Construcción de una caja sin tapa con una hoja de papel de 21,6cm×27,9cm ..... 49
Figura 5. Representación gráfica de la situación, construcción de una caja sin tapa con una
hoja de papel de 21,6cm×27,9cm ......................................................................................... 50
Figura 6. Malla curricular actual del programa Licenciatura en matemáticas con énfasis en
Educación Básica .................................................................................................................. 58
Figura 7. Esquema propuesto por Ball, Thames y Phelps (2008) para el Conocimiento
Matemático para la Enseñanza ............................................................................................. 95
Figura 8. Ilustración gráfica del proceso de transformación de las funciones. .................. 119
Figura 9. Cuestionario base aplicado a los profesores en formación. Original tomado de:
http://historiasdeactividades.blogspot.com/2007/09/ifigenia-cruel-de-alfonso-reyes.html 134
Figura 10. Representación gráfica de las funciones de Costo, de Ingresos y de Ganancias,
en diferentes colores. .......................................................................................................... 140
Figura 11. Respuesta dada por P al ítem uno del cuestionario. .................................... 147
(6)12
Figura 12. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario. ................................. 148
(3)1
Figura 13. Respuestas dadas por P al cuestionario. ....................................................... 150
(6)1
Figura 14. Respuesta dada por P al tercer y cuarto ítems del cuestionario................... 150
(3)23
Figura 15. Respuesta dada por P a los ítem correspondientes a Ingresos y Ganancias
(3)6
máximas. ............................................................................................................................. 152
Figura 16. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario. ................................. 152
(6)5
Figura 17. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario. ................................. 154
(3)7
Figura 18. Respuesta dada por P a los ítems 2 y 6. ..................................................... 154
(6)12
Figura 19. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario. ................................ 156
(6)15
Figura 20. Respuesta dada por P al ítem 5. ................................................................... 156
(3)20
Figura 21. Respuesta dada por P a los ítems 1 y 7 del cuestionario diagnóstico. ......... 158
(3)22
Figura 22. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario diagnóstico. .............. 158
(6)2
Figura 23. Respuesta dada por P al ítem 6 del cuestionario.......................................... 160
(3)18
Figura 24. Respuesta dada por P al ítem 8 del cuestionario diagnóstico. ..................... 160
(6)13
Figura 25. Respuesta dada por P al ítem 8 del cuestionario diagnóstico. ...................... 161
(6)7
Figura 26. Respuesta dada por P al ítem 8 del cuestionario........................................... 163
(3)8
Figura 27. Respuesta dada por P a varios ítems del cuestionario diagnóstico. ............. 163
(6)14
Figura 28. Respuesta dada por P a varios ítems 5 del cuestionario diagnóstico. .......... 163
(6)10
Figura 29. Respuesta dada por P a los ítem 9, 10, 11, 12, 13 y 14 del cuestionario
(3)2
diagnóstico. ......................................................................................................................... 169
Figura 30. Respuesta dada por P a los ítems 9, 10, 11, 12, 13 y 14 del cuestionario
(6)21
diagnóstico. ......................................................................................................................... 169
Figura 31. Respuesta dada por P a los ítems 9, 10, 11, 12, 13 y 14 del cuestionario
(6)1
diagnóstico. ......................................................................................................................... 170
Figura 32. Respuesta dada por P a los ítems 9, 10, 11, 12 y 13 del cuestionario
(3)8
diagnóstico. ......................................................................................................................... 171