Table Of Content

LINEARNI I NELINEARNI, VREMENSKI KONTINUALNI SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA K? ISTOČNO SARAJEVO, 2007. Autor je osam udžbeničkih publikacija i preko 200, stručnih i drugih radova, objavljenih u poznatim nacionalnim i internacionalnim časopisima ili u zbor- nicima radova naučnih konferencija. Pionir je u istraživanju digitalnih sistema promenljive strukture, sa u svetu zapaženim rezultatima (Citation index iznad 100). Autor je V poglavlja: “Discrete-Time VSS” u monografiji: “Variable structure systems: from prin- ciples to implementation”, Ed.: A. Ša- banović, L. Fridman, S. Spurgeon, The IEE Press, London, 2004. Osnivač je Laboratorije za automatiku na Elektronskom fakultetu. Konstruisao je oko 50 uređaja i sistema iz oblasti automatike za lab. vežbe studenata i za Čedomir S. Milosavljević (1940., s. industrijsku proizvodnju a neki od njih Jovac, Vladičin Han, Srbija). Osnovnu školu su bili u serijskoj proizvodnji (servosta- pohađao u s. Jovcu, Vranju i s. Stublu, a bilizatori mrežnog napona, tiristorski srednju (elektroenergetika) diplomirao 1959. stabilizatori napona, tiristorski regula- u Nišu. Kao tehničar radio u Termoelektrani tori brzine obrtanja jednosmernih mo- RTB-Bor. Studije započeo 1960. u Skoplju tora, regulatori temperature, frekventni (elektromašinstvo), nastavio u Nišu (elektro- regulatori brzine obrtanja asinhronih nika), gde 1962. postaje pogonski inženjer. motora i dr.). Kao stipendista EI-Niš (1962.-66.) studije Kao mentor uspešno je vodio veliki nastavlja u Moskvi, na Moskovskom energet- broj diplomaca, 12 magistranata i četiri skom institutu (Fakultet za Automatiku i doktoranta. Kao gostujući profesor od računarsku tehniku, Profil za automatiku). 1997. god. izvodi nastavu iz Teorije au- Kao Dipl. inž. radio u EI-Niš (Fabrika profe- tomatskog upravljanja na Elektroteh- sionalne elektronike (1966.-74.), Istraživačko ničkom fakultetu u Istočnom Sarajevu. razvojni institut (1974.-77.)). Magistrirao Recenzent je časopisa: Automatica (1975.) na Elektronskom fakultetu u Nišu iz Internacionalne federacije za automa- oblasti automatike (Optimalno upravljanje tiku (IFAC); IEEE Trans. on Automatic procesom apsorpcije u apsorberima sa ispu- Control, IEEE Trans. on Industrial nom). 1977.-78. godine je profesor Više electronics i dr. Bio je External exa- škole za obrazovanje radnika u Nišu. Od miner jedne doktorske disertacije na 1978. radi na Elektronskom fakultetu u Nišu. Indian Institut of Technology, Bombay. Doktorirao na Elektrotehničkom fakultetu u Jedan je od osnivača Društva za ener- Sarajevu (1982.) iz oblasti Automatskog getsku elektroniku u N. Sadu, član je upravljanja (Neki problemi diskretne realiza- Programskog odbora konferencija: Ee, cije zakona upravljanja sistema sa promen- N. Sad i CONTI Temišvar, Rumunija. ljivom strukturom). Osnivač je Katedre za automatiku na Elek- Detaljne reference videti na sajtu: tronskom fakultetu u Nišu i njen šef (1985.- http://www.elfak.ni.ac.yu/phptest/ne 2002.) Organizovao je diplomsku i post- w/licne_prezentacije/cedomir_milos diplomsku nastavu iz oblasti automatike na avljevic/index.htm Elektronskom fakultetu u Nišu. KRATAK SADRŽAJ Predgovor Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1 Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67 Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133 Glava 6: Metoda faznog prostora 143 Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169 Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203 Registar 239 a DETALJAN SADRŽAJ Predgovor Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1 1.1 Uvod 1 1.2 Modelovanje mehaničkih sistema 2 1.3 Metoda prostora stanja sistema 8 1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 11 1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen 14 1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela iz prostora stanja - kompleksni domen 16 1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja. Računarska simulacija dinamičkih sistema 18 1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22 1.5.1.1 Direktno programiranje 22 a) Kanonička kontrolabilna forma 22 b) Modifikovana kanonička forma 24 c) Kanonička opservabilna forma 25 1.5.1.2 Redno programiranje 30 a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula 30 b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama 31 1.5.1.3 Paralelno programiranje 34 a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma 34 b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma 35 1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja 38 Literatura 40 Pitanja za samoproveru 40 Zadaci za vežbu 42 Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema 45 2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema 47 2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema 48 2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50 2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice 51 2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme 52 2.5 Transformacija modela u prostoru stanja 55 2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 56 2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu 57 2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu 58 a Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 2.5.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60 2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 60 2.5.3.1 Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik 62 2.6 Procesi u linearnim SAU 62 Literatura 64 Pitanja za samoproveru 65 Zadaci za vežbu 66 Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67 3.1 Uvod 67 3.2 Kontrolabilnost (Upravljivost) 68 3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema 69 3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70 3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti 71 3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 72 3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema 72 3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti 3.4 Princip dualnosti 73 3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 74 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 74 3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme 75 3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76 3.6 Superkontrolabilnost 78 3.7 Dekompozicija sistema 78 3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 80 3.8 Stabilizabilnost sistema 81 3.9 Zadatak minimalne realizacije 82 3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema 83 3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 83 3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema 86 Literatura 87 Pitanja za samoproveru 87 Zadaci za vežbu 89 Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 4.1 Uvod 91 4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu 91 4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju 92 4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 93 4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju 93 4.3.1 Izbor spektra polova 93 4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 94 4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95 4.3.2.2 Akermanova formula 98 4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula 4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem 99 b TAU-2: Sadržaj 4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99 4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti 100 4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova 102 4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj 105 4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega 4.5 Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 116 4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda 117 4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 121 4.6 Opserveri. Sinteza opservera 122 Literatura 129 Pitanja za samoproveru 130 Zadaci za vežbu 131 Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133 5.1 Uvod 133 5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU 134 5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike 135 5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata 137 5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata 138 5.5.1 Satička linearizacija 138 5.5.2 Diferencijalna linearizacija 138 5.5.3 harmonijska linearizacija 138 5.5.4 Stohastička linearizacija 139 Literatura 141 Pitanja za samoproveru 141 Zadaci za vežbu 142 Glava 6: Metoda faznog prostora 143 6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143 6.2 Osobine faznih trajektorija 144 6.3 Jednačine faznih trajektorija 144 6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija 146 6.5 Fazni portreti linearnih sistema 146 6.6 Singularne fazne trajektorije 150 Literatura 154 Pitanja za samoproveru 155 Zadaci za vežbu 156 Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 7.1 Uvod 157 7.2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159 7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje parametara samooscilacija 162 7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba 163 Literatura 167 Pitanja za samoproveru 167 Zadaci za vežbu 168 c Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169 8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema 169 8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu 172 8.2.1 Prva (indirektna) metoda Ljapunova 175 8.2.2 Druga (direktna) metoda Ljapunova 177 8.3 Lurjeov problem 181 8.4 Frekvencijska metoda Popova 184 8.4.1 Geometrijska interpretacija kriterijuma Popova 187 8.4.2 Modifikacija kriterijuma stabilnosti Popova 189 8.4.2.1 Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti 190 8.4.3 Apsolutna stabilnost sistema sa nestacionarnom nelinearnošću 192 8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima 193 Literatura 199 Pitanja za samoproveru 199 Zadaci za vežbu 201 Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1.1 Dvopozicioni regulatori 203 9.1.1.1 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu prvog reda bez kašnjenja 205 9.1.1.2 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 207 9.1.1.3 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 208 9.1.1.4 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda bez kašnjenja 208 9.1.1.5 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 209 9.1.1.6 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 213 9.1.1.7 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu drugog reda 213 9.1.1.8 Dvopozicioni impulsni regulator 214 9.2 Zakoni upravljanja promenljive strukture. Klizni režimi 215 9.2.1 Uvod 215 9.2.2 SUPS Jemeljjanova s kliznim režimom. Kvazirelejni algoritam upravljanja 217 9.2.3 Relejni algoritam upravljanja 221 9.2.4 Kombinovani i drugi algoritmi upravljanja 223 9.2.5 Metoda ekvivalentnog upravljanja 230 9.2.5.1 Skalarno upravljanje 230 9.2.5.2 Vektorsko upravljanje 232 Literatura 236 Pitanja za samoproveru 236 Zadaci za vežbu 238 Registar 239 d PREDGOVOR Teorija automatskog upravljanja (TAU) - naučno-tehnička disciplina s burnim razvojem u drugoj polovini XX veka. Ova knjiga je udžbenik za predmet pod nazivom TAU-2, za studente Elektrotehničkog fakulteta Univerziteta u Istočnom Sarajevu, gde je autor izvodio nastavu u proteklom desetogodišnjem periodu u okviru predmeta: TAU, za studente profila Automatika i elektronika i Sistemi automatskog upravljanja (SAU), za studente profila Elektroenergetika. Prelaskom na Bolonjski proces studiranja, nastava iz TAU odvija se u dva jednosemestralna predmeta: TAU-1 i TAU-2. Prvi predmet obuhvata klasičnu teoriju vremenski kontinualnih SAU, u kojoj se analiza i sinteza vrši u kompleksnom domenu, primenom funkcija prenosa sistema odnosno modela ulaz-izlaz. Drugi predmet obuhvata oblast koja se može nazvati savremena teorija vremenski kontinualnih SAU i sastoji se iz dve tematske celine: koncepcija prostora stanja u analizi i sintezi linearnih sistema upravljanja (četiri poglavlja) i osnove teorije nelinearnih sistema upravljanja (pet poglavlja). U prvom poglavlju - Matematičko modelovanje dinamičkih sistema- opisane su metode za dobijanje matematičkih modela dinamičkih sistema u prostoru stanja. Najpre se daju Lagranžeove jednačine kao najpogodniji način za dobijanje matematičkih modela mehaničkih (i ne samo mehaničkih) dinamičkih sistema. Na nekoliko primera linearnih i nelinearnih sistema prikazan je postupak primene ovog načina. Zatim se prikazuje jedan postupak za dobijanje matematičkog modela u prostoru stanja linearnih električnih mreža, a koji se uspešno može koristiti i za mehaničke i elektromehaničke sistema uz primenu elektromehaničkih analogija. Nakon dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja, daje se postupak transformacije tog modela u model ulaz-izlaz. U Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 drugom delu ovog poglavlja obrađeni su postupci transformacije matematičkog modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja putem tzv. metoda programiranja analognih računara. Na taj način se delimično dotiču problemi simulacije dinamičkih sistema na računarima. S obzirom na to da današnji personalni računari imaju mogućnost imitacije rada analogmnih računara, ova oblast modelovanja je od izuzetne važnosti za savremene inženjere. Detaljno su obrađene tehnike direktnog, rednog i paralelnog programiranja i neke njihove modifikacije. Na nizu primera prikazuju se postupci primene ovih tehnika za dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja. Savremena softverska podrška omogućava brza i tačna rešavanja niza praktičnih problema iz područja upravljanja na personalnim računarima. Zbog toga su u ovom kursu uključeni elementi MATLAB-a, jednog od najpoznatijih softverskih paketa za sisteme upravljanja. U ovom poglavlju su dati instrukcije i primeri za primenu MATLAB-a u transformaciji modela iz prostora stanja u funkciju prenosa, kao i transformacije funkcije prenosa u model u prostoru stanja. Drugo poglavlje - Odzivi sistema u prostoru stanja- je posvećeno nalaženju odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja. Najpre se definiše fundamentalna matrica sistema i njen oblik za kanoničku dijagonalni formu matematičkog modela sistema. Zatim se definišu impulsni i odskočni odzivi sistema u prostoru stanja i odziv na bilo koju pobudu uz istovremeno delovanje i početnih uslova. Takođe se uvodi diskretni model vremenski kontinualnog sistema. U nastavku su izvedene relacije za određivanje fundamentalne matrice za blok-dijagonalnu (Džordanovu) formu i kompanjon formu matrice stanja. S obzirom na pogodnosti primene različitih modela u analizi i sintezi, date su metode za transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja: svodjenje na dijagonalnu formu, svodjenje na kanoničku kontrolabilnu formu i svodjenje na blok-dijagonalnu formu. Poglavlje se završava analizom procesa u linearnom sistemu. Sva teorijska izlaganja su propraćena odgovarajućim numeričkim primerima. Takođe su dati MATLAB prilazi za određivanje odziva sistema i transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja. Treće poglavlje- Prostor stanja i osobine sistema- je posvećeno osobinama sistema proisteklim iz koncepcije prostora stanja sistema kao što su: kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost. Najpre je dat kraći istorijski osvrt njihovog nastanka, a zatim su izvedeni uslovi kontrolabilnosti vremenski diskretnih i vremenski kontinualnih sistema; uslovi opservabilnosti, princip dualnosti, dekompozicija sistema, stabilizabilnost, minimalna realizacija. Poglavlje se završava analizom stabilnosti sistema u prostoru stanja na osnovu direktne metode Ljapunova. Kao i u prethodna dva poglavlja izlaganje je propraćeno nizom numeričkih primera i instrukcijama za primenu MATLAB-a u određivanju kontrolabilnosti, opservabilnosti, dekompozicije i stabilnosti sistema. Četvrto poglavlje - Sinteza sistema u prostoru stanja - započinje analizom primene povratne sprege po stanju i povratne sprege po izlazu. Zatim se raz- matra problem podešavanja sopstvenih vrednosti sistema uvodjenjem povratne ii Predgovor sprege po stanju. Date su dve metode projektovanja sistema sa skalarnim upravljanjem. Prva metoda je izvedena preko kanoničkog kontrolabilnog modela sistema, a druga koristi Akermanovu formulu. Za projektovanje sistema sa vektorskim upravljanjem daju se tri načina sinteze. Prvi svodi problem na skalarni slučaj. Drugi prilaz se odnosi na sisteme sa zahtevanim prostim sopstvenim vrednostima, dok je treći - opšti prilaz koji se može primeniti kako za proste tako i za višestruke zahtevane sopstvene vrednosti. Dalje se izlaže projektovanje optimalne povratne sprege (Kalmanovog regulatora), sinteza raspregnutih sistema, gde si izlažu dva prilaza: metoda Boksenboma i Huda, pogodna za sisteme sa manjim brojem ulaza i izlaza i model sistema ulaz-izlaz i kombinovana metoda za primenu na modele u prostoru stanja. Poglavlje se završava sintezom opservera. Sva izlaganja su propraćena adekvatnim numeričkim primerima i primerima korišćenja MATLAB-a u sintezi povratne sprege po stanju i Kalmanovog regulatora. U petom poglavlju - Uvod u nelinearne SAU - date su osnovne odlike nelinearnih u odnosu na linearne SAU, tipizacija nelinearnih elemenata, matematičko modelovanje istih i metode linearizacije nelinearnih elemenata. Šesto poglavlje - Metoda faznog prostora- je skoncentrisano na faznu ravan i definiciju osnovnih tipova faznih portreta linearnih sistema, na odlikama faznih portreta nelinearnih sistema kao i na mogućnost kompozicije faznih portreta nelinearnih sistema na osnovu faznih portreta linearnih sistema. Na jednom primeru je detaljno pokazan način kompozicije faznih portreta sa različitim tipovima nelinearnih elemenata u upravljačkom delu sistema. Sedmo poglavlje- Metoda harmonijske linearizacije - je posvećeno jednoj inženjerskoj metodi analize nelinearnih sistema u kojima je oscilatorni režim normalni radni režim rada, a zadatak se svodi na određivanju parametara samooscilacija. Najpre je definisana opisna funkcija nelinearnih elemenata, zatim način određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Zatim se daju dve metode za utvrđivanje egzistencije samooscilacija u sistemu: prva je zasnovana na kriterijumu stabilnosti Mihajlova, a druga - na kriterijumu stabilnosti Nikvista. Daju se numerički primeri određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije i nalaženja parametara samooscilacija u sistemu. Osmo poglavlje - Stabilnost nelinearnih sistema - detaljno obrađuje osnovne probleme u analizi stabilnosti nelinearnih SAU. Izložene su osnovne istorijske činjenice u vezi sa ovom složenom materijom u okviru kojih su istaknute hipoteze Ajzermana i hipoteza Kalmana, zatim su obrađene indirektna i direktna metoda Ljapunova, Lurjeov problem u određivanju funkcije Ljapunova sa prilogom Lefšeca i Lasala. Detaljno je izvedena frekvencijska metoda Popova za sisteme sa stabilnim i njene modifikacije za sisteme sa nestabilnim linearnim delom. Poglavlje se završava analizom stabilnosti procesa neautonomnog nelinearnog sistema. Materija je ilustrovana brojnim numeričkim primerima. U poslednjem, devetom poglavlju - Nelinearni zakoni upravljanja - dati su neki nelinearni zakoni upravljanja, U prvom delu su analizirani sistemi sa dvopozicionim regulatorima sa ili bez histerezisa u upravljanju statičkim ili iii