Teoría y problemas de mecánica teórica : con una introducción a las ecuaciones de Lagrange y a la teoría hamiltoniana

380 Pages·1976·35.113 MB·Spanish

by  Spiegel, Murray R.

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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
TEORIA Y PROBLEMAS
DE
MECANICA TEORICA
con una introducción a las
Ecuaciones de Lagrange y
a la Teoría Hamiltoniana
POR
MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.
Profesor de Matemáticas
Re nsselaer Poly technic Institute
TRADUCCION Y ADAPTACION
Joss ALssRro Po¡rro¡r
holexor Uniuersidod Nocionol d,e Cslombio
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LIBROS MeGRAW-HILL
MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK
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MECANICA TEóRICA
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Traducido de la primera edición en inglós de
THEORICAL MECHAN¡CS
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lmpreso en México Printed in Mexico
Esta obrs se terminó en abril de 1977
en Offset Rebosán, S. A.,
Zacahuitzco 40, México. D. F.
Se tiraron 2 0(X) eiemplares
Prólogo
En el siglo 17, Sir Isaac Newton, formuló sus famosas leyes de Ia mecánica. Estas le-
yes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientos
de Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistema
solar.
A comienzos del siglo 20 se descubrió que varias de las conclusiones teóricas deduci-
das de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidas
tanto de Ia teoría del electromagnetismo como de los fenómenos atómicos, igualmente
bien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a la
mecánica relatiuista de Einstein que revolucionó los conceptos de espacio y tiempo, y
a la mecánica cuántico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades mucho
menores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los áto-
mos y moléculas, la mecánica newtoniana, también llamada clásica, sigue siendo com-
pletamente satisfactoria, y por esta razón mantiene su importancia fundamental en las
ciencias y la ingeniería.
EI propósito de este libro es presentar la mecánica newtoniana y sus aplicaciones.
El Iibro está orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textos
de uso corriente, o como texto en un curso formal de mecánica. También será útil a los
estudiantes que siguen cursos de física, ingeniería, matemáticas, astronomía, mecánica
celeste, aerodinámica y en general cualquier campo que requiera en su formulación los
principios básicos de la mecánica.
Cada capítulo comienza con una presentación clara de las definiciones, principios
y teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduados
de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilus-
trar y ampliar la teoría, haciendo énfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cua-
Ies el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repetición de los principios
básicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos
se incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados básicos.
Un gran número de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muy
completo del material de cada capítulo.
En los temas tratados se incluyen Ia dinámica y estática de una partícula, sistemas
de partículas y cuerpos rígidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo del
texto los métodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notación concisa y las in-
terpretaciones físicas y geométricas. En el primer capítulo se hace una exposición sobre
vectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vez
que sea necesario. Además están los capítulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Ia
teoría hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecánica newto-
niana y que son de gran utilidad práctica y teórica.
Se ha incluido mucho más material del que se puede ver por lo general en un curso
corriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo más útil como
obra de consulta, y estimular el interés en los temas.
Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Com-
pany su magnífica colaboración.
M. R. Sprncnl

TABLA DE MATERIAS
Página
I
Capítulo VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION I
Mecánica, cinemática, dinámica y estática. Fundamentos axiomáticos de la
mecánica. Modelos matemáticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vec-
tores. Algebra vectorial. Leyes del álgebra vectorial. vectores unitarios.
Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto esca-
lar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples.
Derivación de vecto¡es. Integración de vectores. Velocidad. Aceleración. ve-
locidad y aceleración relativas. Aceleración no¡mal y tangencial. Movimiento
circula¡. Notación para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, dive¡-
gencia y rotacional. Integrales de línea. Independencia de la trayectoria.
Vectores lib¡es, deslizantes v fiios.
Capítulo 2 LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, 33
ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Leyes de Newton. Definición de fuerza y masa. unidades de fue¡za y masa.
Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia.
Energía cinética. campo de fuerza conservativo. Energía potencial o potencial.
conservación de la energía. Impulso. Momento de una fuerza y momentum an-
gular. conservación del momentum. conservación del momentum angular.
Fuerzas no conservativas. Estática o equilibrio de una partícula. Estabilidad
del equilibrio.
Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DE 62
CUERPOS Y PROYECTILES
campos uniformes de fuerza. Movimiento unifo¡memente acele¡ado. peso y
aceleración debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. supo-
sición de que la Tiena es plana. cuerpos en caída libre. proyectiles. potencial
y energía potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medio
resistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnza-
miento. Estática en un campo gravitacional uniforme.
Capítulo 4 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE 86
oscilado¡ armónico simple. Amplitud, período y f¡ecuencia del movimiento ar-
mónico simple. Energía de un oscilador armónico simple. oscilador armónico
amortiguado. Movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado y bajo-
amortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Péndulo simple. oscilado¡
armónico en dos y tres dirnensiones.
Capítulo o FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO . I16
Fue¡zas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerza
central. Ecuaciones del movimiento para una partícula en un campo cent¡al.
Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energía
potencial de una partícula en un campo cent¡al. conservación de la energía.
Determinación de la órbita debida a una fue¡za central. Dete¡minación de la
fuerza central conocida la órbita. secciones cónicas, elipse, parábola e hipérbole.
Algunas definiciones en astronomía. Leyes de Kepler del movimiento planetario.
Ley de la gravitación universal de Newton. Atracciones de esferas y otros obje-
tos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado.
TABLA DE MATERIAS
Página
Capítulo 6 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTOS 144
Sistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r<-rtación. opera-
dores de de¡ivadas. Velocidad en un sistema en movimiento. Aceleración en
un sistema en movimiento. Acele¡aciones de Coriolis y centrípeta. Movimien-
to de una partícula respecto a la Tierra. Fuerzas de Coriolis y centrípetas. Sis-
temas coordenados en movimiento, en general. Péndulo de Foucault.
Capitulo 7 SISTEMAS DE PARTICULAS 165
Sistemas discretos y continuos. Densidad. Cuerpos elásticos y rígidos. Gra-
dos de libertad. Centro de masa. Centro de gravedad. Momentum (o cantidad
de movimiento) de un sistema de partículas. Movimiento del centro de masa.
Conservación del momentum. Momentum angular de un sistema de partículas.
Momento extetno total que actúa sobre un sistema. Relación entre el momen-
tum angular y el momento externo total. Clonservación del momentum angular.
Energía cinética de un sistema de partículas. 1'rabajo. Energía poten-'al.
Conservación de la energía. Movimiento relativo al cent¡o de masa. Impulso.
Const¡icciones. Constricciones holonómicas y no holonómicas. Desplazamientos
virtuales. Estática de un sistema de partículas. Principio de trabajo virtual.
Equilibrio en campos conservativos. Estabilidad de equilibrio. Principio de
D'Alem bert.
Capítulo 8 APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES 194
Y
COLISIONES
Sistemas oscilantes de partículas. Problemas ielacionados con masa variables,
cohetes. Colisiones de partículas. Sistemas continuos de partículas. Ouerdas
en vibración. Problemas con valotes de contr¡rno. Series de Fourier. Funcio-
nes pa¡es e impares. Convergetlcia de las series de Fourier.
I
Capítulo MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 224
Cuerpos rígidos. Traslaciones y rotaciones. Teorema de Euler Eje instantáneo
de rotación. Movimiento general de un cuerpo rígido. Teorema de Chasle. Mo-
vimiento de un cuerpo rígido en el plano. Momento de inercia. Radio de giro.
Teorpmas sobre momentos de inercia. Momentos de inercia especiales Pares.
Energía cinética y momentum angular con r€specto a un eje fijo. Movimiento
de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo. Trabajo y Dotencla. In:pulso,
conservación del momentum angular. El péndulo compuesto. Movirniento ge-
neral de un cuerpo rígido en el plano. centro instantáneo. centrodes espacial
y del cuerpo. Estática de un cuerpo rígido. Principio de trabajo virtual y prin-
cipio de D'Alembert. Principio de energía potencial, mínima. Estabilidad.
capítulo 10 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 263
Movimiento general de cuerpos rígidos en el espacio. Grados de libertad' Ro-
tación pura de cuerpos rígidos. Velocidad y velocidad angular de un cuerpo rígido
con un punto fijo. Momentum angular. lllomentos de inercia y productos de
inercia. Matriz o tensor del momento de inercia. Energia cinética de rotación.
Ejes principales de inercia. Momentum angular y energía cinética con respecto
a los ejes principales. El elipsoide de inercia. Movimiento libre de fuerzas.
Línea y plano invariable. Construcciones de Poisont. Polhode. Herpolhode'
Cono espacial y cono del cuerpo. Cuerpos rígidos simétricos. Rotación de la
Tierra. Angulos de Euler, Velocidad angular y energía cinética en función de
los ángulos de Euler. Movimiento de spin de un trompo. Giróscopos.
TABLA DE MATERIAS
Página
I
CapítuIo 1 EcuAcroNES DE LAGRANGE 282
Métodos generales de la mecánica. coo¡denadas generalizadas. Notación.
Ecuaciones de t¡asformación. Clasificación de los sistemas mecánicos. Siste-
mas escleronómicos y reoiómicos. Sistemas holonómicos y no-holonómicos.
Sistemas conservativos y no-.conservativos. Energía cinética. Velocidades
generalizadas. Fue¡zas generalizadas. Ecuaciones de Lagrange. Momenta
generalizados. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonómicos. Ecua-
ciones de Lagrange con fuerzas impulsivas.
capírulo 12 TEORIA HAMILTONIANA .
3I1
Métodos hamiltonianos. La hamiltoniana. Ecuaciones de Hamilton. La ha-
miltoniana
cíclicas o ignorables. Es-
pacio de fa variaciones. principio de
Hamilton.
Condiciones para que una
trasfo¡mació
Ecuaciones de Hamilton-
Jacobi. soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. caso en que la
hamiltoniana es independiente del tiempo. Integrales de fase. Va¡iables an-
gulares y de acción.
APENDICE A UNIDADES Y DIMENSIONES 339
APENDICE B DATOS ASTRONOMICOS 342
APENDICE C SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 344
ESPECIALES
APENDICE D INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES 356
INDICE
36r