Teoria do momento angular em sistemas complexos

186 Pages·2017·3.97 MB·Portuguese

Gilberto Medeiros Nakamura
Teoria do momento angular em sistemas
complexos
Tese apresentada à Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras de Ribeirão Preto da
Universidade de São Paulo como parte das
exigências para a obtenção do título de
Doutor em Ciências.
Área de Concentração:
Física Aplicada à Medicina e Biologia.
Orientador:
Alexandre Souto Martinez.
Versão corrigida
Versão original disponível na FFCLRP-USP
Ribeirão Preto
2017
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Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial deste trabalho, por qualquer meio
convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a fonte.
FICHA CATALOGRÁFICA
Nakamura, Gilberto Medeiros
Teoria do momento angular em sistemas complexos / Gilberto Medeiros
Nakamura; orientador: Alexandre Souto Martinez. - - Ribeirão Preto, 2017.
92 f. : il.
Tese (Doutorado) - - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão
Preto, Universidade de São Paulo, 2017.
Inclui Bibliografia.
1. Física estatística 2. Modelos epidêmicos 3. Processos estocásticos
4. Transições de fase
Nome: Nakamura, Gilberto Medeiros
Título: Teoria do momento angular em sistemas complexos
Tese apresentada à Faculdade de Filosofia, Ciên-
cias e Letras de Ribeirão Preto da Universidade
de São Paulo como parte das exigências para a
obtenção do título de Doutor em Ciências.
Aprovado em: / / .
Banca Examinadora
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Resumo
NAKAMURA, G. M. Teoria do momento angular em sistemas complexos. 2017. 92 f.
Tese(Doutorado-ProgramadePós-GraduaçãoemFísicaAplicadaàMedicinaeBiologia)-Facul-
dadedeFilosofia,CiênciaseLetrasdeRibeirãoPreto,UniversidadedeSãoPaulo,RibeirãoPreto,
2017.
A emergência de fenômenos coletivos e correlações de longo alcance impossibilitam a inferência de
propriedadesdesistemascomoumtodoapartirdesuaspartescomponentes. Amodelagemdestes
sistemasfrequentementeocorremedianteempregodeoperadoresdespinlocalizadosemgrafoscom
topologias não-triviais. Aqui, mostramos que o operador de momento angular de muitos corpos
une o estudo de diversos sistemas complexos, desde a sistemas epidêmicos até cadeias magnéticas
despin. ParaomodeloepidêmicoSIS,determinamosamatrizdetransiçãodoprocessoestocástico
correspondente e mostramos suas soluções para grafos regulares e aleatórios, por meio de técnicas
geralmente empregadas em sistemas fortemente correlacionados. Já no modelo de Dicke, identi-
ficamos o vínculo que explica a relevância e o efeito finito de operadores anti-girantes para duas
espécies atômicas confinadas numa cavidade óptica que interagem com radiação eletromagnética.
Por fim, o papel do momento angular também é identificado para duas cadeias quânticas de spin
1/2 acopladas, as quais modelam nanoestruturas magnéticas heterogêneas. A estrutura de bandas
é calculada, enquanto efeitos espúrios de superfície são removidos pela introdução de quasipartí-
culas dotadas de grau de liberdade de spin adicional.
Palavras-chave: 1.Físicaestatística2.Modelosepidêmicos3.Processosestocásticos4.Transições
de fase
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Abstract
NAKAMURA, G. M. Theory of angular momentum in complex systems. 2017. 92 f.
Thesis (Ph.D. - Postgraduate program in Physics Applied to Medicine and Biology) - Faculty of
Philosophy, Sciences and Letters, University of São Paulo, Ribeirão Preto, 2017.
Theemergenceofcollectivephenomenaandlongrangecorrelationsmakesitimpossibletoinferthe
properties of whole systems from their components. Their modeling often occurs through the use
of localized spin operators, taking place within graphs with non-trivial topologies. Here, we show
that the many-body angular momentum operator connects the study of several complex systems,
ranging from epidemic systems to magnetic spinchains. For the SIS epidemic model, we calculate
thetransitionmatrixofthecorrespondingstochasticprocessandshowthecorrespondingsolutions
forregularandrandomgraphs,usingtechniquesgenerallyemployedinstronglycorrelatedsystems.
For the Dicke model we identify the constraint that explains the relevance and finite size effect of
anti-rotating operators, for two atomic species, confined within an optical cavity, and interacting
with electromagnetic radiation. Finally, the role of angular momentum is also identified for two
coupled quantum spinchains 1/2 which model heterogeneous magnetic nanostructures. The band
structure is calculated, while spurious surface effects are removed due to the introduction of qua-
siparticles with an additional spin degree of freedom.
Key-words: 1.StatisticalPhysics2.Epidemicmodels3.Stochasticprocesses4.Phasetransitions
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Sumário
1 Introdução 1
2 Momento angular 5
2.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Operadores de spin localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Fermionização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Fermionização: aplicação no modelo XY . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Bosonificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Aplicações em modelos epidemiológicos 29
3.1 Modelos epidêmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Abordagem determinística compartimental . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Abordagem estocástica baseada em agentes . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Operadores e a matriz de transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Observáveis e evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Norma do vetor probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Teoria de Perturbação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.1 Redes aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.2 Redes periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.8 Outras aplicações epidemiológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.9 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4 Simetrias em cavidades ópticas 85
4.1 Modelo de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Efeitos de N finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
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4.3 Simetria U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Operadores angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 Duas espécies atômicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Nanoestruturas magnéticas 107
5.1 Cadeias de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Fermionização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 Quasipartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Hamiltoniano canônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Conclusão e perspectivas 127
Apêndice 1 -Grafos e redes 131
1.1 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.2 Combinação linear de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Apêndice 2 -Simetrias finitas e implementação computacional 139
2.1 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2 Representação matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Apêndice 3 -Matriz de transição para mais que dois estados epidêmi-
cos 147
3.1 Matrizes de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2 Movimentos difusivos de patógenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3 Endemias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Apêndice 4 -Aproximações 153
4.1 Estados coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Aproximação de Bethe-Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Apêndice 5 -Aplicações em processos estocásticos com memória 157
Referências 161