teoría del flujo potencial y capa límite para la caracterización del movimiento fluido con aplicación

143 Pages·2016·3.91 MB·Spanish

Escuela TØcnica Superior de Ingenier(cid:237)a Industrial
Universidad PolitØcnica de Madrid
Grado en Ingenier(cid:237)a en Tecnolog(cid:237)as Industriales
TRABAJO DE FIN DE GRADO
TEOR˝A DEL FLUJO POTENCIAL Y CAPA
L˝MITE PARA LA CARACTERIZACI(cid:211)N DEL
MOVIMIENTO FLUIDO CON APLICACI(cid:211)N
EN ESTENOSIS ARTERIAL
Marta Herrero Hernanz
Junio 2016

Agradecimientos
A mis padres y a mis hermanos, por brindarme todo su interØs y con(cid:28)anza.
A Leo, por estar ah(cid:237) en los momentos mÆs necesarios.
A mis amigas, futuras mØdicos, por su disposici(cid:243)n y ayuda otorgadas.
A Javier y a Jaime, por su incondicional apoyo, dedicaci(cid:243)n y ayuda.

Resumen
El presente proyecto tiene como objetivo el estudio y caracterizaci(cid:243)n del movimiento
(cid:29)uido en determinadas situaciones en las que los efectos viscosos del (cid:29)uido sean despreciables
en la mayor parte del dominio y estØn reducidos a una regi(cid:243)n estrecha del mismo. AdemÆs el
nœmerodeReynoldscaracterizaelrØgimendelmovimiento,pudiendoserlaminaroturbulento
en funci(cid:243)n del valor que tome. Este nœmero adimensional serÆ de vital importancia a lo largo
del proyecto, ademÆs de otros parÆmetros (cid:29)uidodinÆmicos como el esfuerzo cortante o el
coe(cid:28)ciente de fricci(cid:243)n.
Las principales ecuaciones que rigen la MecÆnica de Fluidos son las ecuaciones de con-
servaci(cid:243)ndemasa,decantidaddemovimientoydeenerg(cid:237)a.Suresoluci(cid:243)ndirectaescompleja,
por lo que frecuentemente para acelerar el proceso del cÆlculo se realizan simpli(cid:28)caciones del
modelo. Para el caso de este proyecto, se abordarÆn (cid:29)ujos con densidad constante, estacio-
narios y con fuerzas mÆsicas despreciables. La primera simpli(cid:28)caci(cid:243)n que aparece es que los
problemas mecÆnico y tØrmico estÆn desacoplados, por lo que solo es necesario resolver el
problema mecÆnico donde el campo de velocidades y de presiones estÆ dado por las famosas
ecuaciones de Navier Stokes:
•(cid:126)v = 0
∇
ρ((cid:126)v• )(cid:126)v = p+µ (cid:126)v
∇ −∇ (cid:52)
El tipo de movimiento que se pretende estudiar puede observarse grÆ(cid:28)camente en la
(cid:28)gura 1. Existe una primera regi(cid:243)n cerca del cuerpo donde los esfuerzos viscosos son predo-
minantes, conocida como capa l(cid:237)mite, mientras que fuera de Østa los esfuerzos viscosos son
despreciables. Esta distinci(cid:243)n es la divisi(cid:243)n natural del proyecto, pues en la zona de la capa
l(cid:237)mite se aplicarÆ la teor(cid:237)a de la capa l(cid:237)mite laminar mientras que en la zona exterior a Østa
se aplicarÆ teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial, un caso particular de movimientos ideales. AdemÆs el
estudio de la capa l(cid:237)mite es de gran interØs, pues es la responsable de la resistencia a la
fricci(cid:243)n que ofrecen todos los cuerpos inmersos en un (cid:29)uido. El desprendimiento de la capa
l(cid:237)mite es un fen(cid:243)meno asociado a la misma que ocurre si Østa estÆ sometida a gradientes de
presi(cid:243)n adversos, y que origina v(cid:243)rtices que conllevan disipaci(cid:243)n de energ(cid:237)a.
La teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial, el despreciar los efectos viscosos, requerirÆ que los nœmeros
de Reynolds sean altos. Por otro lado, la teor(cid:237)a de la capa l(cid:237)mite laminar ha de aplicarse a
(cid:29)ujos con nœmeros de Reynolds que se incluyan en el rØgimen laminar. Por lo que el principal
objetivo del proyecto es crear un modelo matemÆtico que permita el acoplamiento de ambas
Figura 1: Flujo alrededor de un cuerpo
regiones para poder as(cid:237) conocer el campo (cid:29)uido completo alrededor de un cuerpo. El nœmero
de Reynolds del (cid:29)uido ha de ser lo su(cid:28)cientemente alto como para poder despreciar los efectos
viscosos, si bien que no sobrepase el rango de rØgimen laminar.
Las ecuaciones de Navier Stokes se adaptan a cada una de las zonas, por lo que es
necesario el tratamiento matemÆtico previo de las mismas. La simpli(cid:28)caci(cid:243)n de las ecuaciones
segœn la teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial permitirÆ obtener unas ecuaciones en tØrminos de la funci(cid:243)n
decorrienteydelafunci(cid:243)npotencial,yapartirdeØstasseobtienenloscamposdepresionesy
velocidades en la zona exterior a la capa l(cid:237)mite. En cambio, la teor(cid:237)a de la capa l(cid:237)mite laminar
estÆ regida por unas ecuaciones cuyas inc(cid:243)gnitas son las velocidades del (cid:29)uido horizontal y
vertical.Elacoplamientoentreambassolucionesesposiblegraciasaquelapresi(cid:243)nseconserva
en direcci(cid:243)n perpendicular a la super(cid:28)cie del cuerpo.
Para poder llevar a cabo la resoluci(cid:243)n y acoplamiento de las teor(cid:237)as se procede a la
resoluci(cid:243)n numØrica de las ecuaciones ya que la resoluci(cid:243)n anal(cid:237)tica no es posible. AdemÆs se
adimensionalizantodaslasvariablesparamayorcomodidadensutratamiento.Primeramente
se resolverÆ la parte de (cid:29)ujo potencial, para lo cual se ha utilizado el programa FreeFem++,
que resuelve las ecuaciones de la teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial mediante elementos (cid:28)nitos. En
este caso el mallado lo crea el propio programa, siendo solo necesaria la de(cid:28)nici(cid:243)n de la
geometr(cid:237)a y de las condiciones de contorno sobre las funciones de corriente. La resoluci(cid:243)n da
como resultado los campos de presiones y velocidades, y como se ha dicho, serÆ a travØs de
la presi(cid:243)n el acoplamiento de las teor(cid:237)as.
En cuanto a la teor(cid:237)a de la capa l(cid:237)mite laminar, las ecuaciones requieren un mayor
tratamiento previo a su resoluci(cid:243)n. SerÆ necesario discretizar las ecuaciones adimensiona-
lizadas, lo cual se realizarÆ por diferencias (cid:28)nitas, ademÆs de de(cid:28)nir el mallado. Mediante
el re(cid:28)namiento del mismo se controla la precisi(cid:243)n del mØtodo y, consecuentemente, el error
cometido. Las condiciones de contorno en la zona de la capa l(cid:237)mite serÆn la condici(cid:243)n de no
deslizamiento en la super(cid:28)cie del cuerpo y la velocidad y presiones en la zona exterior a la
capa l(cid:237)mite. La resoluci(cid:243)n de estas ecuaciones se realiza en Matlab.
Una vez planteado el modelo matemÆtico y programados los mØtodos numØricos para
su resoluci(cid:243)n se procede a su veri(cid:28)caci(cid:243)n. Para ello se resuelve el (cid:29)ujo alrededor de una placa
plana y alrededor de un cilindro. Se han elegido estas geometr(cid:237)as porque se dispone de la
soluci(cid:243)n anal(cid:237)tica de las ecuaciones de la capa l(cid:237)mite laminar con condiciones de contorno de
(cid:29)ujo potencial en la bibliograf(cid:237)a consultada [12].
Para el caso de la placa plana, la teor(cid:237)a potencial es trivial, pues la presi(cid:243)n es la misma
a lo largo de todo el campo (cid:29)uido. Tras la resoluci(cid:243)n de la capa l(cid:237)mite laminar se obtienen
los per(cid:28)les de velocidades en todos los puntos de la placa plana. Para veri(cid:28)car la correcta
resoluci(cid:243)n de este caso, como se ha dicho, se compararÆ con la soluci(cid:243)n pseudoanal(cid:237)tica.
La comparaci(cid:243)n de los per(cid:28)les de velocidades y del coe(cid:28)ciente de fricci(cid:243)n medio permiten
concluir que se ha resuelto con exactitud y exitosamente este caso. Es de esperar que no haya
desprendimiento de la capa l(cid:237)mite al no existir gradientes de presi(cid:243)n adversos.
AnÆlogamente se resuelve el caso de (cid:29)ujo alrededor de un cilindro, con la misma di-
nÆmica, variando la condiciones de contorno, adaptÆndolas a la geometr(cid:237)a de este problema.
En este caso la soluci(cid:243)n de la teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial no es trivial, pues las presiones va-
r(cid:237)an a lo largo de la super(cid:28)cie del cilindro y existen gradientes adversos, por lo que se prevØ
que la capa l(cid:237)mite se desprenda. Tras la obtenci(cid:243)n del campo de velocidades es posible la
comparaci(cid:243)n con los per(cid:28)les de velocidades te(cid:243)ricos as(cid:237) como el punto de desprendimiento.
(cid:201)ste œltimo tiene un error del 3,05% con respecto al esperado, obteniØndose un Ængulo de
desprendimiento de 105◦ medido desde el punto de remanso.
AdemÆs se ha probado un mØtodo de control de la capa l(cid:237)mite: la succi(cid:243)n homogØnea
a lo largo del cuerpo. Este mØtodo modi(cid:28)ca la capa l(cid:237)mite de forma arti(cid:28)cial, y consiste en
la absorci(cid:243)n de part(cid:237)culas (cid:29)uidas a travØs de una de las paredes del cuerpo sobre el que se
forma la capa l(cid:237)mite. De esta manera se reduce el espesor de la capa l(cid:237)mite, por lo que se
retrasa su crecimiento y posible desprendimiento como se muestra en la (cid:28)gura 2.
Figura 2: Succi(cid:243)n de la capa l(cid:237)mite [12]
Se ha probado tanto en la placa plana como en el cilindro. Para el primero de ellos se
dispone de soluci(cid:243)n anal(cid:237)tica con la que comparar, mientras que en el cilindro se ha realizado
una comparaci(cid:243)n cualitativa con el caso de succi(cid:243)n nula. A modo de ejemplo se presentan los
resultados obtenidos para el caso de una placa plana en la (cid:28)gura 3, donde pueden verse los
per(cid:28)les de velocidades en distintos puntos para una placa de longitud unidad. Como puede
apreciarse la velocidad es nula en la super(cid:28)cie de la placa, y la capa l(cid:237)mite crece conforme se
avanza en longitud en la placa. Comparando los per(cid:28)les obtenidos con y sin succi(cid:243)n puede
apreciarse un claro retraso en el crecimiento de la capa l(cid:237)mite debido a la succi(cid:243)n.
Tras resolver las geometr(cid:237)as de placa plana y cilindro y veri(cid:28)car la validez del mØtodo,
se ha procedido al desarrollo de la aplicaci(cid:243)n (cid:28)nal del mismo. En los œltimos aæos, la impor-
tancia de la ingenier(cid:237)a en la medicina ha ido creciendo hasta ser, a d(cid:237)a de hoy, dos ciencias
x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1
7
Sin succión
6 Con succión
5
a4
ur
Alt3
2
1
0
0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1
u u u u
Figura 3: Per(cid:28)les de velocidades en distintos puntos de la placa plana
estrechamente relacionadas. Es por ello que se ha elegido una aplicaci(cid:243)n mØdica: la estenosis
arterial. Se trata de una enfermedad que afecta a los vasos sangu(cid:237)neos de tal manera que cier-
tas arterias se estrechan como se aprecia en la (cid:28)gura 4. El objetivo de esta parte es conocer
el (cid:29)ujo alrededor de la estenosis, para lo cual el mØtodo desarrollado ha de modi(cid:28)carse en
ciertos aspectos. Esto se debe a que en el caso del (cid:29)ujo sangu(cid:237)neo los efectos viscosos no son
despreciables, por lo que la teor(cid:237)a del (cid:29)ujo potencial no es la mÆs adecuada para imponer en
la zona exterior a la capa l(cid:237)mite. Por otro lado, el estrechamiento provoca la aceleraci(cid:243)n del
(cid:29)ujo y localmente los efectos de inercia predominan sobre los viscosos, por ello cabe hablar
de la capa l(cid:237)mite en el estrechamiento del vaso y no antes de la estenosis, donde el per(cid:28)l de
velocidades el de tipo Poiseuille como se puede ver en la (cid:28)gura 4.
Figura 4: Geometr(cid:237)a real y aproximada de la estenosis arterial
Para veri(cid:28)car la validez de lo que se realiza en esta parte del proyecto, se dispone de
datos experimentales sobre el esfuerzo cortante mÆximo a lo largo de la estenosis, con los que
se compararÆ. Se resuelven cinco casos distintos, siendo todos ellos variaciones semejantes
sobre una misma geometr(cid:237)a. AdemÆs se realiza una correcci(cid:243)n sobre el per(cid:28)l de velocidades
enlagargantadelaestenosis,paralocualseexplicaelconceptodeespesordedesplazamiento.
La tensi(cid:243)n mÆxima sobre la estenosis se muestra para tres de los casos en la (cid:28)gura 5.
τ máximo en función del Reynolds
103
2m102
c
s/
a
n
di
n
e
τ
101
UpstreamofthroatM3
UpstreamofthroatM4
UpstreamofthroatM5
Experimental
100
102 103
Re
Figura 5: Resultados obtenidos: esfuerzo cortante mÆximo en la estenosis
Por œltimo, para relacionar el mØtodo utilizado en este apartado con el desarrollado
en el proyecto se resuelven estos casos para el nœmero de Reynolds que permite seguir en el
rØgimen laminar para el caso del (cid:29)ujo sangu(cid:237)neo. Para este caso la aplicaci(cid:243)n de la teor(cid:237)a de
(cid:29)ujo potencial s(cid:237) es correcta, y la comparaci(cid:243)n de los resultados obtenidos con Østa y con
la teor(cid:237)a de Poiseuille se realiza a travØs de los puntos de desprendimiento. (cid:201)stos estarÆn
mÆs adelantados para la resoluci(cid:243)n con condiciones de contorno de (cid:29)ujo potencial, pues se
desprecian los efectos viscosos en el exterior de la capa l(cid:237)mite y por ello la adherencia de la
misma a la pared del vaso es menor, y se desprende antes.
Finalmente, se presentan una serie de conclusiones generales que justi(cid:28)can la validez
del mØtodo desarrollado. Una de las principales ventajas del mØtodo desarrollado es el escaso
tiempodecÆlculodelosprogramasdeordenadorjuntoconlaexactituddelmØtodo,aceptable
para las aplicaciones que se han tratado. La conciliaci(cid:243)n entre las teor(cid:237)as de capa l(cid:237)mite
laminar y (cid:29)ujo potencial dan lugar a una herramienta de cÆlculo de gran aplicaci(cid:243)n, si bien
es necesario conocer sus limitaciones.
Palabras clave: Reynolds, funci(cid:243)n de corriente, capa l(cid:237)mite laminar, (cid:29)ujo potencial,
esfuerzo cortante estenosis.
C(cid:243)digos UNESCO
220403 - (cid:29)ujo de (cid:29)uidos
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