Teoria dei numeri PDF
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André Weil Teoria dei numeri Storia e matematica da Hammurabi a Legendre Einaudi Paperbacks Scienze Einaudi Paperbacks Scienze 239 Titolo originale Number Theory Copyright © 1984 Birkhauser Boston, Inc. © 1993 Giulio Einaudi editore s. p. a., Torino ISBN 88-06-12745-4 André Weil Teoria dei numeri Storia e matematica da Hammurabi a Legendre A cura di Claudio Bartocci Traduzione di Alberto Collo Introduzione di Enrico Bombieri Indice p. VII Introduzione di Enrico Bombieri xv Prefazione XVII Abbreviazioni, riferimenti e date Teoria dei numeri 3 1. Protostoria 34 n. Fermat e i suoi corrispondenti I I 9 Appendici al capitolo secpndo I48 m. Eulero 268 Appendici al capitolo terzo 288 IV. Un'epoca di transizione: Lagrange e Legendre 3 I 7 Appendici al capitolo quarto 3 3 7 Fonti e bibliografia 347 Indice dei nomi 3 53 Indice analitico Introduzione Dodici anni fa a Princeton, durante una passeggiata nei bo schi dell'Institute for Advanced Study, chiesi ad André Weil il suo parere sulla congettura di Mordell, allora non ancora ri solta, sui punti razionali di una,curva di genere superiore a I. Senza esitazione, mi rispose: «E ovviamente vera!» Pur con dividendo la sua opinione sulla verità della congettura, rimasi sorpreso dal fatto che la sua affermazione fosse stata formulata in maniera cosf categorica, senza lasciare nessuno spazio al dubbio. Gli chiesi allora il motivo di questa sua certezza. Sor ridendo, mi raccontò la storia della sua tesi di dottorato. Appena ventenne, terminati gli studi all'École Normale Su périeure, André Weil si trovava alla ricerca di una tesi. I suoi studi lo avevano indirizzato verso le equazioni diofantee, un campo che oggi si è allargato nella geometria aritmetico algebrica, attraverso una splendida fusione di due discipline. Fino ad allora, con rare eccezioni, quali una collaborazione tra Hilbert e Hurwitz sulle curve di genere O, la formulazione da parte di Poincaré del problema dei punti razionali su una curva di genere I, e il famoso lavoro di Mordell che risolveva nel cor po dei numeri razionali la questione sollevata da Poincaré sulla base finita dei punti razionali di una curva ellittica, le equazio ni diofantee venivano trattate una alla volta, ogni equazione richiedendo una speciale analisi con tecniche spesso di natura elementare ma senza un metodo apparente dietro di esse. Weil comprese l'importanza del problema, e la necessità di formularlo in maniera geometrica e invariantiva, al di fuori della scelta di un sistema di coordinate. Per Weil, la questione non era quella di risolvere in numeri razionali una equazione /(x,y) = Od ata in maniera esplicita, come aveva fatto Mordell nel suo celebre lavoro in cui aveva considerato l'equazione y ' = ax • + bx ' + ex ' + dx + e. C"1'0 ch e re al mente I. mporta- VIli ENRICO BOMBIERI va per Weil era l'oggetto geometrico soggiacente alla curva /(x,y) =O, o meglio ancora il corpo di funzioni associato alla curva e la superficie di Riemann corrispondente, e comprende re i motivi che determinano la distribuzione dei punti razionali sulla curva. Weil cominciò cosi a studiare il problema in un quadro piu ampio, quello di curve di genere positivo su un cor po algebrico qualunque. La prima difficoltà consisteva nel fatto che una funzione ra zionale su una curva di genere positivo, a differenza delle fun zioni razionali di una variabile, non si fattorizza in fattori ele mentari corrispondenti agli zeri e ai poli della funzione. Weil si era reso conto che buona parte dell'analisi diofantea di allora dipendeva dall'uso sistematico del fatto che una fattorizzazio ne algebrica di un polinomio si trasferisce in una corrisponden te fattorizzazione dei valori del polinomio quando si specializzi la variabile. Ma come procedere nel caso di funzioni razionali che non si fattorizzano? La prima grande scoperta di Weil fu che i valori di queste funzioni in un punto razionale sulla curva continuano ad avere una fattorizzazione associata agli zeri e ai poli della funzione, anche se la funzione stessa non si fattoriz za. Questa è l'essenza di quello che Weil chiamò il «Teorema di decomposizione», e che giustamente ritenne di grande im portanza. Weil vide immediatamente che il Teorema di de composizione permetteva di dare il vero significato dei calcoli di Mordell sulle curve ellittiche, e che l'estensione al caso di curve di genere maggiore di I diventava una reale possibilità. In breve tempo, Weil ottenne l'estensione del risultato di Mordell alle varietà abeliane su un corpo algebrico qualunque, un risultato fondamentale che giustamente ha preso il nome di «Teorema di Mordell-Weil». Weil si rese conto che il suo risultato rappresentava un fon damentale passo avanti e decise di farne la sua tesi di dottora to. Occorreva l'approvazione della facoltà, e il giovane Weil si consigliò con Hadamard, spiegandogli che la sua tesi risolveva un problema posto da Poincaré. Nel suo entusiasmo e con gio vanile imprudenza, Weil spiegò ad Hadamard che queste idee facevano sperare di risolvere nel contempo anche la congettura di Mordell, vale a dire il numero finito di punti razionali sulle curve di genere superiore a I. Hadamard non mancò l' occasio ne, e gli rispose:« Weil, alcuni di noi hanno una ottima opinio ne di voi; presentando una tesi, non dovete arrestarvi a metà
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