Teoria dei numeri

380 Pages·1993·20.1 MB·Italian

by  Weil

André Weil
Teoria dei numeri
Storia e matematica da Hammurabi a Legendre
Einaudi Paperbacks
Scienze

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Scienze
239
Titolo originale Number Theory
Copyright © 1984 Birkhauser Boston, Inc.
© 1993 Giulio Einaudi editore s. p. a., Torino
ISBN 88-06-12745-4
André Weil
Teoria dei numeri
Storia e matematica da Hammurabi a Legendre
A cura di Claudio Bartocci
Traduzione di Alberto Collo
Introduzione di Enrico Bombieri

Indice
p. VII Introduzione di Enrico Bombieri
xv Prefazione
XVII Abbreviazioni, riferimenti e date
Teoria dei numeri
3 1. Protostoria
34 n. Fermat e i suoi corrispondenti
I I 9 Appendici al capitolo secpndo
I48 m. Eulero
268 Appendici al capitolo terzo
288 IV. Un'epoca di transizione: Lagrange e Legendre
3 I 7 Appendici al capitolo quarto
3 3 7 Fonti e bibliografia
347 Indice dei nomi
3 53 Indice analitico

Introduzione
Dodici anni fa a Princeton, durante una passeggiata nei bo
schi dell'Institute for Advanced Study, chiesi ad André Weil
il suo parere sulla congettura di Mordell, allora non ancora ri
solta, sui punti razionali di una,curva di genere superiore a I.
Senza esitazione, mi rispose: «E ovviamente vera!» Pur con
dividendo la sua opinione sulla verità della congettura, rimasi
sorpreso dal fatto che la sua affermazione fosse stata formulata
in maniera cosf categorica, senza lasciare nessuno spazio al
dubbio. Gli chiesi allora il motivo di questa sua certezza. Sor
ridendo, mi raccontò la storia della sua tesi di dottorato.
Appena ventenne, terminati gli studi all'École Normale Su
périeure, André Weil si trovava alla ricerca di una tesi. I suoi
studi lo avevano indirizzato verso le equazioni diofantee,
un campo che oggi si è allargato nella geometria aritmetico
algebrica, attraverso una splendida fusione di due discipline.
Fino ad allora, con rare eccezioni, quali una collaborazione tra
Hilbert e Hurwitz sulle curve di genere O, la formulazione da
parte di Poincaré del problema dei punti razionali su una curva
di genere I, e il famoso lavoro di Mordell che risolveva nel cor
po dei numeri razionali la questione sollevata da Poincaré sulla
base finita dei punti razionali di una curva ellittica, le equazio
ni diofantee venivano trattate una alla volta, ogni equazione
richiedendo una speciale analisi con tecniche spesso di natura
elementare ma senza un metodo apparente dietro di esse.
Weil comprese l'importanza del problema, e la necessità di
formularlo in maniera geometrica e invariantiva, al di fuori
della scelta di un sistema di coordinate. Per Weil, la questione
non era quella di risolvere in numeri razionali una equazione
/(x,y) = Od ata in maniera esplicita, come aveva fatto Mordell
nel suo celebre lavoro in cui aveva considerato l'equazione
y ' = ax • + bx ' + ex ' + dx + e. C"1'0 ch e re al mente I. mporta-
VIli ENRICO BOMBIERI
va per Weil era l'oggetto geometrico soggiacente alla curva
/(x,y) =O, o meglio ancora il corpo di funzioni associato alla
curva e la superficie di Riemann corrispondente, e comprende
re i motivi che determinano la distribuzione dei punti razionali
sulla curva. Weil cominciò cosi a studiare il problema in un
quadro piu ampio, quello di curve di genere positivo su un cor
po algebrico qualunque.
La prima difficoltà consisteva nel fatto che una funzione ra
zionale su una curva di genere positivo, a differenza delle fun
zioni razionali di una variabile, non si fattorizza in fattori ele
mentari corrispondenti agli zeri e ai poli della funzione. Weil
si era reso conto che buona parte dell'analisi diofantea di allora
dipendeva dall'uso sistematico del fatto che una fattorizzazio
ne algebrica di un polinomio si trasferisce in una corrisponden
te fattorizzazione dei valori del polinomio quando si specializzi
la variabile. Ma come procedere nel caso di funzioni razionali
che non si fattorizzano? La prima grande scoperta di Weil fu
che i valori di queste funzioni in un punto razionale sulla curva
continuano ad avere una fattorizzazione associata agli zeri e ai
poli della funzione, anche se la funzione stessa non si fattoriz
za. Questa è l'essenza di quello che Weil chiamò il «Teorema
di decomposizione», e che giustamente ritenne di grande im
portanza. Weil vide immediatamente che il Teorema di de
composizione permetteva di dare il vero significato dei calcoli
di Mordell sulle curve ellittiche, e che l'estensione al caso di
curve di genere maggiore di I diventava una reale possibilità.
In breve tempo, Weil ottenne l'estensione del risultato di
Mordell alle varietà abeliane su un corpo algebrico qualunque,
un risultato fondamentale che giustamente ha preso il nome di
«Teorema di Mordell-Weil».
Weil si rese conto che il suo risultato rappresentava un fon
damentale passo avanti e decise di farne la sua tesi di dottora
to. Occorreva l'approvazione della facoltà, e il giovane Weil si
consigliò con Hadamard, spiegandogli che la sua tesi risolveva
un problema posto da Poincaré. Nel suo entusiasmo e con gio
vanile imprudenza, Weil spiegò ad Hadamard che queste idee
facevano sperare di risolvere nel contempo anche la congettura
di Mordell, vale a dire il numero finito di punti razionali sulle
curve di genere superiore a I. Hadamard non mancò l' occasio
ne, e gli rispose:« Weil, alcuni di noi hanno una ottima opinio
ne di voi; presentando una tesi, non dovete arrestarvi a metà