Teoria degli Automi Finiti PDF
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Aldo de Luca Flavio D’Alessandro Teoria degli Automi Finiti TT XX EE TT II NN ABC UU UNITEXT – La Matematica per il 3+2 Volume 68 Forfurthervolumes: http://www.springer.com/series/5418 · Aldo de Luca Flavio D’Alessandro Teoria degli Automi Finiti ~Springer AldodeLuca FlavioD’Alessandro DipartimentodiMatematica DipartimentodiMatematica eApplicazioni“R.Caccioppoli” “G.Castelnuovo” UniversitàdiNapoli“FedericoII” UniversitàdiRoma“LaSapienza” Napoli Roma UNITEXT–LaMatematicaperil3+2 ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2038-5757 ISBN978-88-470-5473-8 ISBN978-88-470-5474-5(eBook) DOI10.1007/978-88-470-5474-5 SpringerMilanHeidelbergNewYorkDordrechtLondon ©Springer-VerlagItalia2013 Quest’operaèprotettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneèammessasoloedesclu- sivamenteneilimitistabilitidallastessa.Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuatenei limitidel15%diciascunvolumedietropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodall’art.68.Le riproduzioniperusononpersonalee/ooltreillimitedel15%potrannoavveniresoloaseguitodi specificaautorizzazionerilasciatadaAIDRO,CorsodiPortaRomanan.108,Milano20122,e-mail [email protected]. Tuttiidiritti,inparticolarequellirelativiallatraduzione,allaristampa,all’utilizzodiillustrazionie tabelle,allacitazioneorale,allatrasmissioneradiofonicaotelevisiva,allaregistrazionesumicrofilm oindatabase,oallariproduzioneinqualsiasialtraforma(stampataoelettronica)rimangonoriser- vatianchenelcasodiutilizzoparziale.Laviolazionedellenormecomportalesanzioniprevistedalla legge. L’utilizzoinquestapubblicazionedidenominazionigeneriche,nomicommerciali,marchiregistrati, ecc.anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchinon sianoprotettidallerelativeleggieregolamenti. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Layoutdicopertina:BeatriceB.,Milano Impaginazione:PTP-Berlin,ProtagoTEX-ProductionGmbH,Germany(www.ptp-berlin.eu) Stampa:GrafichePorpora,Segrate(MI) Springer-VerlagItaliaS.r.l.,ViaDecembrio28,I-20137Milano Springer-VerlagfapartediSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com) Prefazione La teoria degli Automi è nata in relazione a due problematiche completamente di- verse.Laprimasviluppatasinell’ambientelogico-matematicoriguardalaformaliz- zazionenelmodopiùgeneralepossibiledellanozionedialgoritmo.Contributifon- damentali in questa direzione sono stati dati verso la fine degli Anni ’30 da logici qualiA.M.Turing,A.ChurcheS.C.Kleene. LasecondaproblematicaebbeorigineversolametàdegliAnni’40adoperadel neurofisiologoW.McCullochedelmatematicoW.Pittsinunambitochepotremmo definireCibernetico.Essariguardavalapossibilitàdifornireunadescrizionemate- maticadelfunzionamentodellecellulenervose,oneuroni,edelleretidineuroni. Daiduepredettifilonidiricercanacqueroesisvilupparonodueteoriedigrande interessesiaperlaMatematicacheperlascienzadelcalcolo,oInformatica.Laprima èlateoriageneraledellacalcolabilitàbasatasullanozionediAutoma,oMacchina,di Turing,lasecondaèlateoriadegliAutomifiniti.Ladifferenzafondamentaletragli AutomidiTuringegliAutomifinitirisiedenellacapacitàdimemoria.Questaèpo- tenzialmenteinfinitanellemacchinediTuringnelsensochepuòaccrescersiquanto sivuoleseleesigenzedicalcololorichiedono,mentreèfissanelcasodegliautomi finiti. ApartiredallavorodiMcCullochePittslateoriadegliAutomifinitiebbeungran- desvilupposulpianomatematico.UnprimopassofondamentaledovutoaKleenefu quellodipresentareunanozioneastrattadiautomasvincolandoladallinguaggiodel- leretineurali.Eglitral’altrodimostròunteoremafondamentaledellateoriacioèla coincidenzadellaclassedeilinguaggi(oeventi)riconoscibilidapartediunautoma finitoelaclassedeilinguaggirazionali(oeventiregolari). SuccessivamenteapparveronellaletteraturaoggettimatematicidenominatiAuto- madiMealyeAutomadiMoorecheriproducevanoconqualchevarianteotentativo dimaggiorerigoreformalel’ideafondamentaledellavorodiKleene.Ilprimolavoro chepuòritenersiunaesposizionechiaraedabbastanza esauriente dellateoriadegli Automifinitièl’articolodiM.O.RabineD.Scottdel1959. Stabilitiirisultatifondamentalidellateoria,successivamentesiècercatodidaread essiunavestesemprepiùmatematicasvincolataalmassimodallinguaggioingegne- vi Prefazione rescodellateoriadellemacchinedigitali.VersolametàdegliAnni’60sicomprese ad opera di matematici quali M.P. Schützenberger, R. McNaughton e S. Eilenberg cheillinguaggiomatematicoadattoadescriveregliautomifinitièlateoriadeisemi- gruppiedeimonoidi.Daquestopuntodivistaunautomafinitopuòessenzialmente ridursi ad un morfismo di un monoide libero in un monoide finito ed il teorema di Kleenepuòinterpretarsiqualeunprofondoteoremaditeoriadeimonoidi. Inquestovolumesifornisceunapresentazionerigorosadellateoriadegliautomi finitiedellemacchinesequenzialigeneralizzatenell’ambitodellateoriaalgebricadei semigruppi.Sinotichequest’ultimateorianonèadattaadescriverelemacchinedi TuringomacchinedipotenzaintermediatragliautomifinitielemacchinediTuring. Il volume è nato ed è cresciuto raccogliendo materiale didattico sviluppato nei corsidiLezionidiAlgebraSuperioreediInformaticaTeoricatenutidalsecondoau- tore(A.deLuca)rispettivamentepressoleUniversitàdiNapoli(1980-85)ediRoma LaSapienza(1985–2003)enelcorsodiTeoriadegliAutomitenutodalprimoautore (F.D’Alessandro)pressol’UniversitàdiRoma“LaSapienza”(dal2003adoggi). Il volume si articola in sette capitoli. Ogni capitolo ha una breve introduzione, una sezione di esercizi ed una di note bibliografiche. La risoluzione della maggior partedegliesercizièriportataallafinedelvolume.Iprimitrecapitolitrattanoalcune partidellateoriadeisemigruppichesonodiinteresseperlateoriadegliautomi.Nel Capitolo1oltreallenozionidibasediteoriadeisemigruppi,siintroduconolefami- gliedellepartiriconoscibilierazionalidiunsemigruppoelenozionidicongruenza sintattica e di equivalenza di Nerode di una parte di un semigruppo. Il Capitolo 2 è dedicato alla teoria di Green dei semigruppi. Il Capitolo 3 riguarda la teoria dei semigruppiliberiedeicodici.Siintroduconolanozionedilinguaggioformaleele operazionifondamentalisuilinguaggi. Icapitolidalquartoalsettimosonodedicatiallatrattazionedialcuneproblema- tichedifondamentaleimportanzanellateoriadegliautomi.IlCapitolo4èdedicato allostudiodellariconoscibilitàedellarazionalitàdeilinguaggi.Sidimostranoiteo- remi fondamentali di Kleene e di Myhill-Nerode. Si fornisce una caratterizzazione deilinguaggiriconoscibiliinterminidigrammatiche.Siconsideranoinoltreicodici razionali, gli automi sincronizzanti e gli automi a due vie. Nel Capitolo 5 si studia l’equivalenza diautomiel’automaminimale diunlinguaggio razionale. IlCapito- lo6trattadelleespressionirazionaliristretteedesteseedeiproblemidellaprofondità dell’operatorestella.Sidimostranodueteoremifondamentali.IlprimodiF.Dejean e Schützenberger sulla profondità dell’operatore stella per i linguaggi razionali de- scrittidaespressionirazionaliristretteeilsecondodiSchützenbergersuilinguaggi aperiodicieilinguaggirazionalidescrittidaespressionirazionaliestesesenzastella. IlCapitolo7èdedicatoallateoriadellerelazionirazionalieallemacchinesequenzia- ligeneralizzate(otrasduttorirazionali).Sifornisceinfineunbrevelineamentodella teoriadelladecomposizionedegliautomiedeisemigruppidiK.KrohneJ.L.Rhodes. Unodegliobiettividelvolumeèquellodifarconoscereedidiffonderelateoria algebricadegliautominelmondomatematicoitaliano.Unsecondoobiettivoèquello difornire,aglistudentideicorsidilaureamagistraleinMatematica,inInformatica edinIngegneria,untestoingradodipresentaregliautomifinitiutilizzandounlin- guaggio matematico rigoroso. Il testo si rivolge parimenti agli studenti dei corsi di Prefazione vii dottoratoedimasterinMatematica,inInformaticaedinIngegneria,interessatiairi- sultatifondamentalidellateoria.Laletturadelvolumepresupponesoloconoscenze elementaridiAlgebra. NapolieRoma,maggio2013 AldodeLuca FlavioD’Alessandro Indice 1 TeoriadeiSemigruppi .......................................... 1 1.1 Semigruppiemonoidi....................................... 1 1.2 Relazioniefunzioni ........................................ 5 1.3 Sottosemigruppiesottomonoidi.Sottosemigruppigenerati ........ 7 1.4 Semigruppomonogenico .................................... 8 1.5 Morfismiecongruenze...................................... 10 1.5.1 Morfismi ........................................... 10 1.5.2 Congruenze......................................... 13 1.6 CongruenzadiReesecongruenzasintattica..................... 16 1.7 Partiriconoscibilidiunsemigruppo ........................... 18 1.8 Partirazionalidiunsemigruppo .............................. 21 1.9 Semianelli ................................................ 23 1.10 Ideali..................................................... 25 1.10.1 Idealigeneratidaunapartediunsemigruppo............. 25 1.10.2 Costantiecoppiesincronizzanti ........................ 27 1.11 Relazionibinarieedoperatoridichiusura ...................... 28 1.12 Reticolodellecongruenzediunsemigruppo .................... 31 1.13 Cennidialgebrauniversale .................................. 33 1.14 Esercizi................................................... 38 1.15 Notebibliografiche ......................................... 40 2 RelazionidiGreen ............................................. 43 2.1 TeoriadiGreendeisemigruppi ............................... 43 2.2 Teoremidistruttura......................................... 48 2.3 D-classiregolari ........................................... 54 2.4 Idealeminimalediunsemigruppo ............................ 57 2.5 Esercizi................................................... 62 2.6 Notebibliografiche ......................................... 63 3 Semigruppiemonoidiliberi ..................................... 65 3.1 Semigruppiemonoidiliberi.................................. 66 x Indice 3.2 Sottomonoididimonoidiliberi............................... 71 3.3 Codici.................................................... 75 3.3.1 TeoremadiSardinasePatterson........................ 77 3.3.2 DisuguaglianzadiKraft-McMillan...................... 80 3.3.3 Codicimassimaliecompleti........................... 84 3.3.4 Codicisincronizzanti ................................. 90 3.4 Morfismi.................................................. 92 3.5 Presentazionedisemigruppiedimonoidi ...................... 95 3.5.1 Ilmonoidecommutativolibero......................... 96 3.5.2 Ilmonoidebiciclico ................................. 97 3.6 Paroleelinguaggi .......................................... 98 3.6.1 Parole.............................................. 99 3.6.2 Ordinamentineimonoidiliberi......................... 102 3.6.3 Rappresentazionedegliinteri .......................... 105 3.6.4 Linguaggi .......................................... 106 3.6.5 Famigliedilinguaggi................................. 107 3.7 Esercizi................................................... 113 3.8 Notebibliografiche ......................................... 114 4 Automifiniti................................................... 117 4.1 Semiautomifiniti........................................... 118 4.2 Automifiniti .............................................. 121 4.3 TeoremidiMyhillediNerode ............................... 124 4.4 AlcuneproprietàdichiusuradiRic(A∗) ........................ 126 4.5 Linguagginonriconoscibili ................................. 129 4.6 Proprietàdiiterazione....................................... 131 4.7 Ilmonoidedelletransizioni .................................. 135 4.8 Automiincompletienondeterministici ........................ 138 4.9 ChiusuradiRic(A∗)rispettoalprodottoeall’operazionestella..... 144 4.10 ChiusuradiRic(A∗)rispettoall’operazionedishuffle............. 145 4.11 TeoremadiMedvedev ...................................... 148 4.12 TeoremadiKleene ......................................... 149 4.13 Grammaticheregolari....................................... 152 4.14 Codicirazionali ............................................ 155 4.15 Automisincronizzanti....................................... 160 4.16 Automiaduevie.TeoremadiRabineShepherdson.............. 167 4.17 Esercizi................................................... 175 4.18 Notebibliografiche ......................................... 176 5 Equivalenzadiautomi .......................................... 179 5.1 Congruenzedisemiautomiedautomi.......................... 180 5.2 Automaconnessoeminimale ................................ 182 5.3 Morfismidisemiautomiedautomi ............................ 184 5.3.1 Morfismidisemiautomi............................... 184 5.3.2 Morfismidiautomi................................... 186 Indice xi 5.4 Equivalenzadiautomi ...................................... 187 5.5 Automaminimaleeteoremadiequivalenza..................... 189 5.6 Calcolodell’automaminimaleedelmonoidesintattico ........... 193 5.7 Metododeiresti............................................ 195 5.8 Esercizi................................................... 199 5.9 Notebibliografiche ......................................... 200 6 EspressionirazionalieStar-height ............................... 201 6.1 Espressionirazionali........................................ 202 6.2 Identitàrazionali ........................................... 204 6.3 Espressionirazionaliestese .................................. 206 6.4 Star-heightdelleespressionirazionali.......................... 209 6.5 TeoremadiDejean-Schützenberger ........................... 212 6.6 Star-heightgeneralizzata .................................... 220 6.7 Linguaggisenzastella....................................... 221 6.7.1 Linguaggiaperiodici ................................. 221 6.7.2 Monoidiaperiodici................................... 222 6.7.3 TeoremadiSchützenberger............................ 226 6.8 Ilproblemadellastar-heightestesa............................ 230 6.9 Linguaggilocalmentetestabili................................ 230 6.10 Linguaggitestabiliapezzi ................................... 238 6.11 Esercizi................................................... 242 6.12 Notebibliografiche ......................................... 242 7 Relazionirazionali ............................................. 245 7.1 OltreilteoremadiKleene ................................... 246 7.2 Relazionirazionali ......................................... 252 7.3 Trasduttori ................................................ 257 7.4 Trasduttoriefunzionisequenziali ............................. 260 7.5 TeoremadiElgoteMezei ................................... 262 7.6 Ilteoremadicross-section ................................... 267 7.7 Decomposizionediautomiesemigruppi ....................... 272 7.8 Esercizi................................................... 283 7.9 Notebibliografiche ......................................... 283 Esercizisvolti ...................................................... 285 Riferimentibibliografici............................................. 305 Indiceanalitico..................................................... 311
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