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Teor´ıa de nu´meros [para principiantes] Teor´ıa de nu´meros [para principiantes] Luis R. Jiménez B. Jorge E. Gordillo A. Gustavo N. Rubiano O. Profesores Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogotá vi, 284 p. : 3 il. ISBN 958-701-372-7 QA241. 1. Teor´ıa de nu´meros Luis R. Jiménez B., Jorge E. Gordillo A., Gustavo N. Rubiano O. Teor´ıa de nu´meros [para principiantes], 2a. edicioń. Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. Facultad de Ciencias, 2004 Mathematics Subject Classification 2000: 11-01. c Edición en castellano: Luis R. Jiménez B., Jorge E. Gordillo A., (cid:13) Gustavo N. Rubiano O. Universidad Nacional de Colombia. Primera impresión, 2004 Impresión: Pro–Offset Editorial Ltda. Bogotá, D. C. COLOMBIA ´ Indice General Prólogo ix 1 Nu´meros Naturales 1 1.1 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Adición de nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Multiplicación de nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Orden entre nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Construcción de los nu´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Formas equivalentes al principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Divisibilidad 25 2.1 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Máximo Comuń Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 v vi ÍNDICEGENERAL 2.3 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Propiedades del Máximo Comuń Divisor . . . . . . . . . . . . 33 2.5 M´ınimo Comuń Mu´ltiplo y generalizaciones . . . . . . . . . . 39 2.6 Teorema fundamental de la aritmética . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Algunas propiedades de los nu´meros primos . . . . . . . . . . 51 2.8 Algunas ecuaciones diofánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Funciones Aritméticas 64 3.1 La función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Las funciones nu´mero y suma de divisores . . . . . . . . . . . 70 3.3 Nu´meros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . . . . . . . 74 3.4 La función Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5 Funciones multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6 La fórmula de inversión de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Congruencias 98 4.1 Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Criterios de Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3 Aritmética módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Los Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5 Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6 Ecuaciones Diofánticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.7 Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.8 El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ÍNDICEGENERAL vii 4.9 Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.10 Congruencias con módulo una potencia de un primo . . . . . 140 4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5 Residuos cuadráticos 153 5.1 Congruencias de segundo grado con módulo primo . . . . . . 153 5.2 Ley de la reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.3 El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4 Potencias módulo n y ra´ıces primitivas . . . . . . . . . . . . . 172 5.5 A´lgebra y teor´ıa de nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6 Criptograf´ıa 194 6.1 Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.2 Cifrados monográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.3 Cifrado en Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.4 Cifrados Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.4.1 Algoritmo para calcular Pe módulo p. . . . . . . . . 214 6.5 Sistemas de Clave Pu´blica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.5.1 Sistema RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.5.2 Sistema de Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.5.3 Sistema de la mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7 Fracciones continuas 230 7.1 Fracciones continuas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2 Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 viii ÍNDICEGENERAL 7.3 Fracciones continuas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.4 Fracciones continuas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.5 Aproximación de nu´meros irracionales . . . . . . . . . . . . . 253 Nu´meros primos menores que 10.000 257 Respuestas y sugerencias 262 Bibliograf´ıa 280 Prólogo La segunda edición de este libro mantiene el mismo esp´ıritu conque fue concebida la primera; es decir, se trata de un texto básico de iniciación al estudio de la Teor´ıa de Nu´meros. La principal caracter´ıstica de esta nueva edición es la adición de un cap´ıtulo sobre Criptograf´ıa, que muestra una de las principales aplicaciones de la teor´ıa desarrollada. También se ha hecho una revisión cuidadosa de los temas tratados y de las correspondientes secciones de ejercicios, se han adicionado algunas secciones y se ha actualizado la bibliograf´ıa. Esperamos que estos cambios hagan el material más u´til y atractivo para los estudiantes. Finalmente queremos expresar nuestra gratitud a todas las personas que leyeron la primera edición, y nos hicieron llegar sus valiosos comentarios y sugerenciasquetuvimosencuentaparalapreparacióndelapresenteedición. En especial, manifestamos nuestro agradecimiento a los profesores Paz Mo- rillo (E–UPB–TL; Barcelona) por Mathematical Reviews [MR 2000j:11001], y Gabriel D. Villa–Salvador (Cinvestav, México D. F.) por Zentralblatt [Zbl 0956.1101] quienesgentilmente evaluaronlaediciónoriginalynosmotivaron para realizar esta nueva versión. ix x ÍNDICEGENERAL Prólogo a la primera edición En la formación de toda persona que se dedique a la ensenãnza o al estudio de las matemáticas, o cualquier nivel, no puede faltar un curso de Teor´ıa de nu´meros. Esta hermosa teor´ıa, ha sido llamada por K. F. Gauss, la reina de las matemáticas. La simplicidad de su objeto, la elegancia y la diversidad de sus métodos, la formulación sencilla de numerosos problemas no resueltos, hacen de esta disciplina una de las áreas más fascinantes del universo matemático. En este libro se ofrece una introducción breve y eficiente de los temas, que a nuestro modo de ver son fundamentales para iniciarse en el estudio de esta teor´ıa. A lo largo de sus cap´ıtulos estudiamos detalladamente los siguientes tópicos: nu´meros naturales y enteros, divisibilidad y nu´meros primos, funciones numéricas, congruencias y fracciones continuas. Enelestudiodetodoslostemas, presentamos numerososejemplosypro- ponemosunabuenacantidaddeejercicios, lamayor´ıadeellosconrespuestas o sugerencias, que permiten al estudiante avanzar con mayor seguridad en la asimilación de los contenidos. Con este libro, creemos llenar la necesidad de un texto claro, sencillo y económico, dirigido principalmente a los estudiantes de las carreras y licen- ciaturas de matemáticas ofrecidas por nuestras universidades. Luis Rafael Jiménez Becerra Jorge Enrique Gordillo Ardila Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia Ciudad Universitaria, Bogotá, Colombia. [email protected] [email protected] Junio de 2004