Teoría de Ecuaciones Diferenciales. Antonio García.

139 Pages·2007·1.21 MB·Spanish

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
TEOR´IA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Antonio Garc´ıa
IZTAPALAPA, DISTRITO FEDERAL
Versi´on February 24, 2007
Contenido
Contenido i
Lista de figuras v
Capitulo 1. Primeros ejemplos y definiciones 1
1.1. Introducci´on 1
1.2. Definici´on de una ecuaci´on diferencial 3
1.3. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales 11
1.4. Interpretaci´on geom´etrica de las ecuaciones diferenciales de primer orden 12
1.5. Estudio geom´etrico de las ecuaciones diferenciales de orden dos 15
1.6. Problemas 21
1.7. (*) C´alculo en diferencias 28
Capitulo 2. Espacios m´etricos y normados 31
2.1. Espacios m´etricos 31
2.2. Teorema de punto fijo de Banach 34
2.3. Subconjuntos compactos y puntos de acumulaci´on 36
2.4. El conjunto de las funciones continuas C(D,Rn) 38
2.5. Espacios normados y de Banach 41
2.6. El espacio normado de las matrices 41
i
2.7. Problemas 42
2.8. *Aplicaciones del teorema de punto fijo de Banach 45
Capitulo 3. Los teoremas fundamentales de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales 51
3.1. Teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales 51
3.2. Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales 55
3.3. Continuaci´on de soluciones 59
3.4. Dependencia continua de las soluciones con respecto a condiciones iniciales y
par´ametros 63
3.5. Problemas 66
3.6. *Ecuaciones en diferencias 71
Capitulo 4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 73
4.1. Introducci´on 73
4.2. La forma de Jordan de una matriz 82
4.3. La exponencial de una matriz 89
4.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 95
4.5. M´as sobre la forma de Jordan y la matriz exponencial 100
4.6. Retratos fase en el plano 102
4.7. Retratos fase en el espacio 107
4.8. La foliaci´on de Hopf 110
4.9. Ecuaci´on de la primera variaci´on 115
4.10. A´lgebra lineal 119
4.11. Problemas 120
ii
4.12. *Ecuaciones lineales en diferencias 123
Bibliograf´ıa 127
´Indice 129
iii

Lista de figuras
1 Gr´afica de las soluciones del ejemplo 1.7. 6
2 Gr´afica de las soluciones del ejemplo 1.8. 7
3 Gr´afica de las soluciones del ejemplo 1.9. 7
4 Gr´afica de las soluciones del ejemplo 1.10. 8
5 Gr´afica de las soluciones del ejemplo 1.11. 9
6 En el lado izquierdo se encuentran las isoclinas y el campo de pendientes de x(cid:48) = −t,
x
en el lado derecho se muestran algunas soluciones y las isoclinas. 14
7 Campo de velocidades y lineas de flujo del ejemplo 1.20. 16
8 Campovectorialf(x,y)=(−y,x)ysolucionesdelacorrespondienteecuaci´ondiferencial
en el ejemplo 1.21. 18
9 Gr´afica del potencial V(x) de la ecuaci´on de Duffing. 20
10 Soluciones de la ecuaci´on de Duffing y curvas de nivel de H(x,y). 21
1 Bola con centro en x y radio (cid:178) contenida en U. 32
0
2 La sucesi´on de conjuntos A para un rect´angulo. 38
k
1 Construcci´on de la funci´on φ (t). 52
(cid:178)
v
1 Conjunto de´ındices de la matriz C. 91
2 Gr´aficas de las soluciones de la subsecci´on 4.6.1. 104
3 Gr´aficas de las soluciones de la subsecci´on 4.6.2. 105
4 Gr´aficas de las soluciones de la subsecci´on 4.6.3. 107
5 Gr´aficas de las soluciones de la secci´on 4.7. 109
6 Construcci´on de un toro. 111
7 Construcci´on de la esfera S3. 112
8 Subconjuntos de la esfera S3. 113
9 Flujo de la ecuaci´on (8). 114
vi
CAPITULO 1
Primeros ejemplos y definiciones
1.1. Introducci´on
Leibnitz conoc´ıa varias soluciones del problema inverso a las tangentes que consist´ıa en de-
terminarlascurvascuyastangentescumpl´ıanalgunacondici´ondada,ensusoluci´onseutilizaban
sobre todo m´etodos geom´etricos. E´l prefiri´o utilizar las t´ecnicas del recientemente desarrollado
(cid:82)
c´alculo y, finalmente el once de Noviembre de 1675 escribi´o ydy = 1y2, resolviendo as´ı la
2
primera ecuaci´on diferencial.
En1691,elproblemainversoalastangentescondujoaLeibnitzadescubrirsimult´aneamente
el m´etodo de separaci´on de variables para resolver ecuaciones diferenciales de la forma ydy =
dx
X(x)Y(y) y el teorema de cambio de variables en las integrales. A Leibnitz se deben tambi´en la
(cid:82)
regla para derivar productos, y los s´ımbolos para la integral y dy para la derivada.
dx
Simulta´neamente en Inglaterrra, Newton desarrollaba tambi´en el c´alculo, y resolv´ıa ecua-
ciones diferenciales y las utilizaba ampliamente en la f´ısica. E´l desarroll´o la idea de estudiar el
movimiento de las part´ıculas que tienen una descripci´on cinem´atica o din´amica mediante una
ecuaci´on diferencial y la us´o en la formulaci´on de las tres leyes de la mec´anica. Con estas
herramientas Newton estudi´o la m´ecanica celeste, en donde pudo explicar el movimiento de los
planetasdescritoporKeplerapartirdeprincipiosmuysimples. Susiguienteobjetivofueexplicar
el movimiento de la luna con estos mismos principios; despu´es de grandes esfuerzos y dolores de
cabeza Newton reconoci´o su fracaso en la soluci´on de este problema. Ahora se conoce a este
1
2
movimiento como el problema de tres cuerpos y sigue siendo fuente de inspiraci´on en el estudio
de las ecuaciones diferenciales.
En 1696 John Bernoulli desafi´o a los mejores matem´aticos de su tiempo a encontrar la curva
sobre la cual se deslice una part´ıcula que est´e s´olo sujeta a la acci´on de la gravedad y que pase
por dos puntos dados en el menor tiempo posible. Una de las soluciones fue dada por su propio
hermano James Bernoulli, quien plante´o y resolvi´o la ecuaci´on diferencial
(cid:112) √
dy b2y−a3 =dx a3.
En este trabajo se incluy´o la observaci´on de que las integrales de ambos lados deben ser iguales
salvo una constante y aparece registrada por primera vez la palabra integral.
En esos an˜os no hab´ıa ninguna separaci´on entre el c´alculo y las ecuaciones diferenciales,
´esta ocurri´o en algu´n momento del siglo XIX m´as de doscientos an˜os despu´es y fue sobre todo
por cuestiones did´acticas, aunque desde un punto de vista m´as estructural formen una unidad
indivisible y que tiene entre otras fuentes a la f´ısica y a la geometr´ıa.
Durante los an˜os siguientes los matem´aticos y fil´osofos m´as importantes continuaron estu-
diando muchos tipos de ecuaciones diferenciales y los problemas que conduc´ıan a´estas. Laplace,
EuleryLagrange,entreotros,hicieronnumerosasaportacionesenestadirecci´on. Sinembargo,a
veces hac´ıan afirmaciones imprecisas y sin justificar, por ejemplo que las ecuaciones diferenciales
ten´ıan soluciones u´nicas, o que al variar un poco las condiciones iniciales las soluciones tambi´en
variar´ıan poco.
En el siglo XIX se hicieron evidentes las dificultades, incluso contradicciones que surg´ıan
en el seno del c´alculo y de las ecuaciones diferenciales trabajando de esta manera. Las ideas
matem´aticassufrieroncr´ıticasmuyprofundasquecondujeronaunmayorrigorenelrazonamiento
3
y al surgimiento, entre otras ramas de las matem´aticas, del an´alisis matem´atico. La teor´ıa de
ecuaciones diferenciales que presentamos en este libro forma parte de este cuerpo.
1.2. Definici´on de una ecuaci´on diferencial
En cursos elementales de ecuaciones diferenciales se dice que una ecuaci´on diferencial es una
ecuaci´on en que interviene una funci´on inc´ognita y sus derivadas. A continuaci´on precisaremos
este concepto.
Definicio´n 1.1. Sea f :D ⊂Rn+1 (cid:55)→Rn una funci´on continua con dominio D, un conjunto
abierto no vac´ıo, entonces una ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO) tiene la forma
(1.2.1) x(cid:48) =f(t,x),
donde x = (x ,...,x ) ∈ Rn y (t,x) = (t,x ,...,x ) ∈ D ⊂ Rn+1. Tambi´en llamaremos EDO
1 n 1 n
a una ecuaci´on que se puede transformar en una que tenga esta forma. El nu´mero n se llama
el orden de la ecuaci´on. La funci´on f(t,x) se llama el campo vectorial asociado a la EDO. Una
soluci´on de esta ecuaci´on diferencial es una curva Φ : I ⊂ R (cid:55)→ Rn, donde I es un intervalo
abierto y en donde para cada t∈I se cumple Φ(cid:48)(t)=f(t,Φ(t)).
La ecuaci´on diferencial (1.2.1) describe el movimiento de un fluido formado por un gran
nu´mero de part´ıculas en donde la velocidad instant´anea de la part´ıcula que en el tiempo t est´a
en la posici´on x es f(t,x). Las soluciones son las trayectorias de las diferentes part´ıculas. Es por
esto que a veces el campo vectorial tambi´en es llamado campo de velocidades y las soluciones
lineas de flujo. Unpuntosutilenladefinici´on1.1esqueenelladoderechodelaecuaci´on(1.2.1)
els´ımboloxrepresentaaunpuntoenRn;yelcampovectorialf(t,x)esunafunci´oncondominio
en Rn+1 e imagen en Rn. Mientras que en el lado izquierdo el s´ımbolo x representa a un punto