Teorema de Nichols-Zoeller

9 Pages·2014·0.236 MB·Portuguese

by  Ricardo David Morais da Silva

Teorema de Nichols-Zoeller
Ricardo David Morais da Silva
4 de dezembro de 2014
Resumo
Sabemos da teoria de grupos o Teorema de Lagrange, que afirma que
a ordem de um grupo finito´e divis´ıvel pelas ordens de cada um dos seus
subgrupos. A consequ¨ˆencia mais importante do que se tornou conhecido
como o Teorema de Nichols-Zoeller ´e o ana´logo para a´lgebras de Hopf:
cada a´lgebra de Hopf finito-dimensional ´e livre como um mo´dulo sobre
cada uma de suas subalgebras de Hopf. Teorema de Lagrange´e um caso
especial, ja´ que a´lgebras de grupo s˜ao a´lgebras de Hopf.
1 Defini¸co˜es, Propriedades e Resultados B´asicos
Defini¸c˜ao 1.1. Seja A uma k-´algebra, M um A-m´odulo e N um subm´odulo
deM oaniquiladordeN ´eoconjuntoann (M)={a∈A; a·n=0 ∀n∈N}.
A
Defini¸c˜ao 1.2. Seja A uma k-´algebra e M um A-m´odulo. Dizemos que M ´e
A-fiel se ann (M)=0.
A
Defini¸c˜ao 1.3. Seja M um m´odulo e seja
0=M ⊆M ⊆...⊆M =M (S)
r r−1 0
uma sequˆencia finita de subm´odulos de M. Um refinamento (S(cid:48)) para (S) ´e
uma sequˆencia finita de subm´odulos
0=N ⊆N ⊆...⊆N =N (S(cid:48))
s s−1 0
tal que para todo i=1,...,r existe um j para o qual M =N .
i j
Defini¸c˜ao 1.4. Seja M um m´odulo e seja
0=M ⊆M ⊆...⊆M =M (S)
r r−1 0
uma sequˆencia finita de subm´odulos de M. Dizemos que (S(cid:48)) ´e um refinamento
pr´oprio de (S) se existir algum j tal que N (cid:54)= M , para qualquer que seja
j i
i = 1,...,r. Quando M nao admite refinamento pr´oprio dizemos que M tem
comprimento finito.
Defini¸c˜ao 1.5. Um m´odulo M ´e indecompon´ıvel se M (cid:54)= 0 e n˜ao existirem
subm´odulos n˜ao triviais N e N tais que M =N ⊕N .
1 2 1 2
1
Teorema 1.1. (Teorema de Krull-Schmidt). Todo mo´dulo M de comprimento
finito tem uma decomposi¸c˜ao em soma direta de subm´odulos
M =M ⊕...⊕M
1 r
onde, para cada i = 1,...,r, M ´e indecompon´ıvel. Al´em disso, essa decom-
i
posi¸c˜ao ´e u´nica a menos de isomorfismo, isto ´e, se
M =N ⊕...⊕N
1 s
´e outra decomposi¸c˜ao de M como soma direta de subm´odulos indecompon´ıveis,
ent˜aos=r eexisteumapermuta¸c˜aoσ doconjunto{1,...,r}talqueM (cid:39)N
i σ(i)
para todo i=1,...,r.
Teorema 1.2. Sejam A um anel com unidade e D um A-m´odulo qualquer fixo.
Sejam M, L e N A-m´odulos e ϕ : M −→ N, ψ : L −→ M homomorfismos de
A-m´odulos sa˜o equivalentes:
(1) Para toda sequˆencia exata curta
(cid:47)(cid:47) ψ (cid:47)(cid:47) ϕ (cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47)
0 L M N 0
a sequˆencia
(cid:47)(cid:47) ϕ(cid:48) (cid:47)(cid:47) ψ(cid:48) (cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47)
0 Hom (N,D) Hom (M,D) Hom (L,D) 0
A A A
´e exata curta.
(2) Paratodohomomorfismoinjetorψ :L−→M. Temosqueψ(cid:48) :Hom (M,D)−→
A
Hom (L,D) ´e sobrejetor, ou seja, para todo f ∈ Hom (L,D) existe
A A
F ∈Hom (M,D) tal que o seguinte diagrama comuta
A
(cid:47)(cid:47) ψ (cid:47)(cid:47)
0 L M
f
(cid:15)(cid:15) (cid:126)(cid:126) F
D
(3) Se D ´e um subm´odulo de um m´odulo M ent˜ao D ´e somando direto de M,
ou seja, toda sequˆencia exata curta
(cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47)
0 D M N 0
cinde.
Defini¸c˜ao 1.6. Diremos que D ´e um m´odulo injetivo se D satisfaz uma (e
portanto todas) das condic¸˜oes equivalentes do teorema acima.
Proposi¸c˜ao 1.3. Seja H uma ´algebra de Hopf de dimens˜ao finita. Ent˜ao H ´e
injetivo como H-m´odulo `a esquerda.
2
2 O Teorema de Nichols-Zoeller
Proposi¸c˜ao 2.1. Seja W um B-m´odulo `a esquerda. Ent˜ao B⊗W (cid:39)W⊗B (cid:39)
Bdim(W) como B-m´odulos.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que B ⊗W ´e um B-m´odulo `a esquerda,
com a estrutura de m´odulo dada por h(b⊗w)=(cid:80)h b⊗h ·w. E´ tamb´em
(1) (2)
um B-com´odulo `a esquerda com a estrutura de com´odulo dada por ρ(b⊗w)=
(cid:80)
b ⊗b ⊗m. DessaformaB⊗W torna-seumB-m´oduloHopf,defato,vamos
1 2
mostrar a compatibilidade entre a ac¸˜ao e a coac¸˜ao.
ρ(h(b⊗w))=ρ(h b⊗h ·w)=(h b) ⊗(h b) ⊗h ·w
(1) (2) (1) (1) (1) (2) (2)
=h b ⊗h b ⊗h ·w
(1)(1) (1) (1)(2) (2) (2)
=h b ⊗h b ⊗h ·w
(1) (1) (2) (2) (3)
=h b ⊗h b ⊗h ·w
(1) (1) (2)(1) (2) (2)(2)
=h b ⊗h (b ⊗w)
(1) (1) (2) (2)
=h (b⊗w) ⊗h (b⊗w) .
(1) (−1) (2) (0)
Considere agora o conjunto dos coinvariantes
(cid:40) n n n (cid:41)
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
(B⊗W)coH = b ⊗w ∈B⊗W; ρ( b ⊗w )=1⊗ b ⊗w
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
e note que
n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
b ⊗b ⊗w =ρ( b ⊗w )=1⊗ b ⊗w (1)
i(1) i(2) i i i i i
i=1 i=1 i=1
agora sem perda de generalidade tome {w }n LI e considere o conjunto LI
i i=1
dual {w∗}n . Agora aplicando I⊗I⊗w∗ em 1 temos
i i=1 j
b ⊗b =1⊗b
j(1) j(2) j
aplicando I⊗ε temos
b ε(b )=1ε(b )=⇒b =1ε(b )
j(1) j(2) j j j
assim temos
n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
b ⊗w = ε(b )1⊗w =1⊗ ε(b )w ∈1⊗W
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
logo,(B⊗W)coH =1⊗W (cid:39)W. Portanto,oteoremafundamentaldosm´odulos
de Hopf nos diz que
B⊗W (cid:39)(B⊗W)coH ⊗B (cid:39)W ⊗B (cid:39)B(dim(W)).
Vamosconsideraragoraa´algebradeHopfBcop, comamesmamultiplica¸c˜aode
B e com comultiplica¸c˜ao dada por
(cid:88) (cid:88)
c(cid:55)−→ c ⊗c = c ⊗c .
(1) (2) (2) (1)
3
Em particular W ´e um Bcop-m´odulo `a esquerda, ent˜ao aplicando o isomorfismo
provado acima obtemos que
Bcop⊗W (cid:39)(Bcop)(dim(W))
como Bcop-m´odulos. A estrutura de Bcop-m´odulo de Bcop⊗W ´e dada por
(cid:88) (cid:88)
b(c⊗w)= b c⊗b w = b c⊗b w.
(1) (2) (2) (1)
Portanto, desde que B = Bcop como ´algebras, n´os vemos que Bcop ⊗ W ´e
isomorfo a W ⊗B como B-m´odulos (o isomorfismo ´e dado pelo twist), ent˜ao
W ⊗B (cid:39)(Bcop)dim(W) =B(dim(W)).
Lema 2.2. Seja A uma k-´algebra e M um A-m´odulo `a esquerda finitamente
gerado. Ent˜ao M ´e A-fiel se, e somente se, A ´e imerso em Mn como um
A-m´odulo para algum inteiro positivo n.
Demonstra¸c˜ao. Se A ´e imerso em Mn como A-m´odulo para algum inteiro po-
sitivo n, ent˜ao
ann (M)=ann (Mn)=ann (A)=0,
A A A
ent˜aoM ´eA-fiel. SeM ´eA-fiel,seja{m ···m }umabasedok-espa¸covetorial
1 n
M. Ent˜ao definindo f :A−→Mn por f(a)=(am ···am ) para a∈A ´e um
1 n
n
(cid:84)
morfismo de A-m´odulos com ker(f)= ann (m )=ann (M)=0.
A i A
i=1
Corol´ario2.3. SejaAumak-´algebradedimens˜aofinitaaoqual´einjetivocomo
um A-m´odulo `a esquerda, e seja P ,···P tipos de isomorfismos de A-m´odulos
1 t
indecompon´ıveis principais. Se M A-m´odulo finitamente gerado, ent˜ao M ´e
A-fiel se, e somente se, cada P ´e isomorfo a um somando direto do A-m´odulo
i
M.
Demonstra¸c˜ao. OlemaanteriordizqueM ´eA-fielse, esomentese, A´eimerso
emM(n) paraalgumninteiropositivo. OfatodeAserinjetivocomoA-m´odulo
´e equivalente ao fato que M(n) (cid:39)A⊕X para algum inteiro positivo n e algum
A-m´odulo X. Fazendo a decomposi¸c˜ao, em ambos os lados, como soma direta
deindecompon´ıveis,oteoremadekrull-schimdtmostraqueisso´eequivalenteao
fato que M cont´em um somando direto isomorfo a cada P para i=1,···t.
i
Proposi¸c˜ao 2.4. Seja A uma k-´algebra de dimens˜ao finita tal que A´e injetivo
como um A-m´odulo `a esquerda. Se W A-m´odulo ´e finitamente gerado, ent˜ao
existe um inteiro r tal que W(r) = F ⊕E para um A-m´odulo livre F e um
A-m´odulo E o qual na˜o ´e A-fiel.
Demonstra¸c˜ao. Se W n˜ao ´e A-fiel, simplesmente tomamos r = 1,F = 0 e
E = W. Assuma agora que W ´e A-fiel. Seja A (cid:39) P(n1) ⊕···⊕P(nt), onde
1 t
P ,···P s˜aoostiposdeisomorfismosdeA-m´odulosindecompon´ıveisprincipais.
1 t
Pelo corol´ario anterior temos que W (cid:39) P(m1) ⊕···⊕P(mt) ⊕Q para alguns
1 t
m ,··· ,m > 0 e algum A-m´odulo Q tal que nenhum somando direto de Q
1 t
4
´e isomorfo a P , i = 1··· ,t. Seja r o m´ınimo mu´ltiplo comum dos nu´meros
i
n ,···n . Assim temos que
1 t
W(r) (cid:39)P(rm1)⊕···⊕P(rmt)⊕Q(r).
1 t
Seja α=min(rm1,··· ,rmt), digamos que α= rmi. Ent˜ao
n1 nt ni
W(r) (cid:39)A(α)⊕P(rm1−αn1)⊕···⊕P(rmt−αnt)⊕Q(r).
1 t
Assim basta definirmos F =Aα que ´e livre e
E =P(rm1−αn1)⊕···⊕P(rmt−αnt)⊕Q(r),
1 t
oqualn˜ao´eA-afiel,poiselen˜aocont´emumsomandodiretoisomorfoaP (note
i
que rm −αn =0 e que usamos novamente o teorema de krull-schimidt).
i i
Proposi¸c˜ao 2.5. Seja W um B-m´odulo `a esquerda finitamente gerado tal que
W(n) ´e um B-m´odulo livre para algum inteiro positivo r. Ent˜ao W ´e um B-
m´odulo livre.
Demonstra¸c˜ao. Tome B = B ⊕···⊕ B uma soma direta de B-m´odulos `a
1 n
esquerda indecompon´ıveis. Se t ´e um elemento integral `a esquerda n˜ao nula de
B e t=t +···+t ´e uma representac¸˜ao de t na soma direta acima, n´os temos
1 n
que
bt +···+bt =bt=ε(b)t=ε(b)t +···+ε(b)t
1 n 1 n
parab∈B,mostrandoassimquet ,··· ,t s˜aointegrais`aesquerdadeB. Como
1 n
o espa¸co das integrais `a esquerda tem dimens˜ao igual a 1, temos que existe um
u´nico j tal que t (cid:54)=0, e ent˜ao t=t . Portanto, B n˜ao ´e isomorfo a outro B ,
j j j i
j´a que B cont´em uma integral n˜ao nula e B n˜ao, e se f :B −→B fosse uma
j i j i
isomorfismodeB-m´oduloster´ıamosclaramentequef(t)´eumelementointegral
n˜ao nulo `a esquerda.
Tomemos agora P = B ,P ,··· ,P os tipos de isomorfismos de B-m´odulos
1 j 2 s
indecompon´ıveis principais, e B (cid:39)Pn1 ⊕···⊕Pns a representac¸˜ao de B como
1 s
uma soma de tal m´odulos. Note que n = 1. Sabemos que W(r) ´e livre como
1
B-m´odulos digo W(r) (cid:39)B(p) para algum inteiro positivo p. Como
W(r) (cid:39)B(p) (cid:39)P(pn1)⊕···⊕P(pns)
1 s
o teorema de Krull-Schimidt nos mostra que a decomposi¸c˜ao de W como uma
soma de indecompon´ıveis ´e da forma
W (cid:39)P(m1)⊕···⊕P(ms)
1 s
para alguns m ,··· ,m . Al´em disso, j´a que
1 s
W(r) (cid:39)P(rm1)⊕···⊕P(rms),
1 s
temos obrigatoriamente pn = rm . Em particular p = rm . Ent˜ao para um i
i i i
temos que pni = rm1ni = rmi ent˜ao mi = m1ni. Obtemos que W (cid:39) B(m1),
um B-m´odulo livre.
5
Proposi¸c˜ao 2.6. Seja W um B-m´odulo `a esquerda finitamente gerado tal que
existe um B-m´odulo fiel L com L⊗W (cid:39) W(dim(L)) como B-m´odulos. Ent˜ao
W ´e um B-m´odulo livre.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos da proposi¸c˜ao 1.3 que B ´e injetivo como B-m´odulo `a
esquerda. Ent˜ao podemos usar a proposi¸c˜ao 2.4 e concluir que W(r) (cid:39) F ⊕E
paraalguminteiropositivor, algumB-m´odulolivreF ealgumB-m´oduloE ao
qual n˜ao ´e fiel. Usando a proposi¸c˜ao anterior ´e suficiente mostrar que W(r) ´e
livre. Agora temos que
L⊗W(r) (cid:39)(L⊗W)(r) (cid:39)(W(dim(L)))(r) (cid:39)(W(r))(dim(L))
ent˜aopodemossubstituirW porW(r),eassumirqueW (cid:39)F⊕E. Similarmente
existe um inteiro positivo s tal que L(s) (cid:39) F(cid:48)⊕E(cid:48) com F(cid:48) livre e E(cid:48) n˜ao fiel.
Como L ´e fiel, L(s) tamb´em ´e, ent˜ao F(cid:48) (cid:54)=0. Como
L(s)⊗W (cid:39)(L⊗W)(s) (cid:39)(W(dim(L)))(s) (cid:39)W(dim(Ls))
ou seja, podemos substituir L por L(s). Assim reduzimos ao caso L(cid:39)F(cid:48)⊕E(cid:48).
Denote t=dim(L). Como L⊗W (cid:39)W(t), obtemos que
F(t)⊕E(t) (cid:39)W(t) (cid:39)L⊗W (cid:39)L⊗F ⊕L⊗E (2)
como F ´e livre, temos F (cid:39)B(q) para algum inteiro positivo q, assim vemos que
L⊗F (cid:39)L⊗B(q)
(cid:39)(L⊗B)(q)
(cid:39)(B(dim(L)))(q) (pela proposic¸˜ao 2.1)
(cid:39)B(tq) (cid:39)F(t)
A equac¸˜ao 2 e o teorema de Krull-schmidt implica que E(t) (cid:39)L⊗E. Se E (cid:54)=0
temos que
E(t) (cid:39)L⊗E (cid:39)(F(cid:48)⊗E)⊕(E(cid:48)⊗E)
segue da proposi¸c˜ao 2.1 que
F(cid:48)⊗E (cid:39)B(r)⊗E (cid:39)(B⊗E)(r) (cid:39)B(dim(E)r)
logoF(cid:48)⊗E´en˜aonuloelivre,portanto´efiel,eent˜aoE(t)tamb´em´e,contradi¸c˜ao.
Isto mostra que E =0 e ent˜ao W ´e livre.
Proposi¸c˜ao 2.7. Seja H uma a´lgebra de Hopf e B uma sub´algebra de Hopf.
Seja M ∈ HM, ent˜ao H ⊗M (cid:39)M(dim(H)) como B-m´odulos a` esquerda.
B
Demonstra¸c˜ao. Seja U =H⊗M como B-m´odulo com b(h⊗m)=b h⊗b m e
1 2
V =H ⊗M com a estrutura de B-m´odulos dada por b(h⊗m)=h⊗bm para
b∈B,h∈H em∈M. AssimB ageapenasnasegundaposi¸c˜aotensorialdeV,
ou seja, temos V (cid:39)Mdim(H) como B-m´odulos `a esquerda. Vamos mostrar que
os B-m´odulos U e V s˜ao isomorfos como B-m´odulos. De fato, seja f : V → U
e g :U →V dados por
(cid:88)
f(h⊗m)= m h⊗m
(−1) (0)
6
e
(cid:88)
g(h⊗m)= S(−1)(m )h⊗m
(−1) (0)
Assim temos
(cid:88)
gf(h⊗m)= g(m h⊗m )
(−1) (0)
(cid:88)
= S−1(m )m h⊗m
(0)(−1) (−1) (0)(0)
(cid:88)
= S−1(m )m h⊗m
(−1) (−2) (0)
(cid:88)
= (cid:15)(m )h⊗m
(−1) (0)
(cid:88)
= h⊗(cid:15)(m )m
(−1) (0)
(cid:88)
=h⊗ (cid:15)(m )m =h⊗m.
(−1) (0)
e
(cid:16)(cid:88) (cid:17)
fg(h⊗m)=f S−1(m )h⊗m
(−1) (0)
(cid:88)
= m (S−1(m )h)⊗m
(0)(−1) (−1) (0)(0)
(cid:88)
= m S−1(m )h⊗m
(−1) (−2) (0)
(cid:88)
= (cid:15)(m )h⊗m
(−1) (0)
(cid:88)
=h⊗ (cid:15)(m )m =h⊗m.
(−1) (0)
Portanto, f eg s˜aoinversasumadaoutra. Restamostrarmosquef ´emorfismo
de B-m´odulo. De fato,
(cid:88)
f(b(h⊗m))=f(h⊗bm)= (bm) h⊗(bm)
(−1) (0)
(cid:88)
= b m h⊗b m
1 (−1) (2) (0)
(cid:88)
= b(m h⊗m )
(−1) (0)
(cid:88)
=b m h⊗m
(−1) (0)
=bf(h⊗m).
Portanto, temos que U (cid:39)V (cid:39)Mdim(H).
Lema 2.8. Se todo M ∈ HM de dimens˜ao finita ´e livre como B-m´odulos,
B
ent˜ao qualquer que seja M ∈ HM ´e livre como B-m´odulo.
B
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que M ∈H M cont´em um subobjeto em
B
HM de dimens˜ao finita. De fato, seja N H-subm´odulo de M n˜ao nulo (por
B
exemplo um H-submpodulo simples). Ent˜ao BN ´e um subobjeto de dimens˜ao
finita de M na categoria HM.
B
ParaumM ∈ HMdefinimosoconjuntoF consistindodetodosubconjunto
B
n˜aovazioX deM comapropiedadequeBX ´eumsubobjetodeM nacategoria
HM, e BX ´e um B-m´odulo livre com base X. Claro que F n˜ao ´e vazio pois
B
BN ∈F comoacima. ConsidereaordememF dadapelainclus˜aodeconjuntos.
Se(X ) ´eumsubconjuntototalmenteordenadodeF, ent˜aoclaramenteX =
i i∈I
7
(cid:83) (cid:80)
X ´e uma base do B-m´odulo BX, e BX = BX ´e um subobjeto de M
i i
i∈I i∈I
em HM, ent˜ao X ∈F. Assim pelo lema de Zorn temos um elemento maximal
B
Y ∈ F. Se BY (cid:54)= M, ent˜ao M/BY ´e um objeto n˜ao nulo de WM, logo ele
B
cont´em um subobjeto n˜ao nulo S/BY, onde BY ⊆S ⊆M e S ∈H M.
B
SejaZ umabasedeS/BY eY(cid:48) ⊆Stalqueπ(Y(cid:48))=Z,ondeπ :S −→S/BY
´e a projec¸˜ao natural. Ent˜ao, S ´e um B-m´odulo livre com base Y ∪Y(cid:48), logo
Y ∪Y(cid:48) ∈ F, o que ´e uma contradi¸c˜ao com a maximalidade de Y. Portanto,
devemos ter BY =M, logo M ´e um B-m´odulo livre com base Y.
Teorema 2.9. (Teorema de Nichols-Zoeller) Seja H uma ´algebra de Hopf de
dimens˜ao finita e B uma sub´algebra de Hopf. Ent˜ao qualquer M ∈ HM ´e um
B
B-m´odulo livre. Em particular H ´e B-m´odulo livre e dim(B) divide dim(H).
Demonstra¸c˜ao. Olemaanteriormostraque´esuficienteprovaraafirmac¸˜aopara
M ∈ HMcomdimens˜aofinita. SejaM ∈ HM,comoH ´efinitamentegeradoe
B B
fielcomoB-m´odulo`aesquerda,epelaproposi¸c˜ao2.7temosH⊗M (cid:39)M(dim(H))
comoB-m´odulos,obtemosdaproposi¸c˜ao2.6queM ´eB-m´odulolivre. Au´ltima
parte da afirmac¸˜ao segue tomando M =H.
8
Referˆencias
[1] S. DA˘SCA˘LESCU; C. NA˘STA˘SESCU; S. RAIANU. Hopf Algebras: An
Introduction, New York: Marcel Dekker, 2001.
[2] D.S.Dummit,R.M.Foote–“AbstractAlgebra”,3rdEdition,Wiley,2003.
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