teorema da func¸˜ao inversa e teorema da func¸˜ao implícita

48 Pages·2011·0.17 MB·Spanish

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPA
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CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA
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TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO INVERSA
~ (cid:19)
E TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO IMPLICITA
(cid:19)
TEORIA E PRATICA
Macap´a-AP
2011
ˆ
ROMULO LIMA DA GAMA
~
TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO INVERSA
~ (cid:19)
E TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO IMPLICITA
(cid:19)
TEORIA E PRATICA
Trabalho de conclus~ao de curso apresentado ao
colegiado de Matem(cid:19)atica da Universidade Fede-
ral do Amap(cid:19)a, como parte das exig^encias para
a obten(cid:24)c~ao do t(cid:19)(cid:16)tulo de Licenciatura Plena em
Matem(cid:19)atica, sob a orientac(cid:24)~ao do Profo. Dr.
GUZMA(cid:19)N EULA(cid:19)LIO ISLA CHAMILCO.
Macap´a-AP
2011
ˆ
ROMULO LIMA DA GAMA
~
TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO INVERSA
~ (cid:19)
E TEOREMA DA FUNC(cid:24) AO IMPLICITA
(cid:19)
TEORIA E PRATICA
Este Trabalho de Conclus˜ao de Curso foi julgado e aprovado pela comiss˜ao ava-
liadora do Colegiado de Matem´atica da Universidade Federal do Amap´a. Composta pelos
integrantes abaixo-relacionados:
AVALIADORES:
Profo. Dr. Guzm´an Eul´alio Isla Chamilco (Orientador)
Universidade Federal do Amap´a
Profo. Dr. Jos´e Walter C´ardenas Sotil
Universidade Federal do Amap´a
Prof. Dr. Erasmo Senger
Universidade Federal do Amap´a
Avaliado em: / /
Macap´a-AP
2011
Dedico este trabalho a todos que fazem parte
da minha vida, pois s(cid:19)o, n~ao conseguiria che-
gar neste momento.
Agradecimentos
Agrade¸co `a Deus primeiramente, por ser autor de todas as p´aginas da minha
vida.
Agrade¸co aos meus pais, Manoel Marques da Gama e Maria da Concei¸c˜ao de
Moraes Lima, pois me ajudaram nessa caminhada, tanto financeiramente como emocio-
nalmente, dando apoio durante os quatro anos de curso.
`
As minha irm˜as, Marinalva de Moraes Lima, Silma Lima da Gama e Silmara
Lima da Gama, que sempre me ajudaram em muitas horas e toda minha fam´ılia.
Agrade¸co `a todos os professores do colegiado de matem´atica, em especial ao
Profo. Dr. Guzm´an Eul´alio Isla Chamilco e ao Profo. Dr. Jos´e Walter C´ardenas Sotil,
grandes profissionais da ´area e excepcionais matem´aticos que dedicam seus esfor¸cos para
a melhoria do curso.
Agrade¸co aos meus colegas e amigos que me proporcionaram grandes momen-
tos na minha vida universit´aria e `a minha namorada Quele Daiane Ferreira Rodrigues,
por ser minha grande companheira nessa jornada e a sua fam´ılia pelo apoio.
Muito Obrigado a todos.
\A matem(cid:19)atica (cid:19)e um instrumento poderoso
nas m~aos daqueles que a sabem usar"
(Sir Calculus)
Resumo
Neste trabalho apresentaremos dois dos mais importantes teoremas da matem´atica, mais
precisamente da an´alise no espa¸co Rn, sendo eles, o Teorema da fun¸c˜ao Inversa e o Teo-
rema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, que s˜ao fundamentais nos estudos das equa¸c˜oes diferenciais e
problemas que exigem o uso de equa¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Antes das demonstra¸co˜es dos
principais teoremas, ser˜ao apresentados defini¸c˜oes, conceitos e lemas que ser˜ao utilizados
nas demonstra¸c˜oes e tamb´em o teorema do ponto fixo de Banach que ser´a usado na prova
do teorema da Fun¸ca˜o Inversa. Tamb´em apresentaremos alguns exemplos e aplica¸co˜es dos
teoremas, para a melhor compreens˜ao.
Palavras-chaves: Teorema, Fun¸ca˜o Inversa, Func¸˜ao Impl´ıcita, demonstra¸ca˜o, ponto fixo
de Banach.
vii
Resumen
En este trabajo presentaremos dos de los teoremas m´as importantes de la matem´atica,
m´as precisamente del an´alisis en el espacio Rn, siendo ellos, el Teorema de la Funci´on
Inversa y el Teorema de la Funci´on Impl´ıcita que es fundamental en los estudios de las
ecuaciones diferenciales y problemas que exigen el uso de ecuaciones de varias variables.
Antes de las demostraciones de los teoremas principales, se presentar´a las definiciones,
conceptos y lemas que se usar´an en las demostraciones y tambi´en el teorema del punto fijo
de Banach que se usar´a en la prueba del teorema de la Funcio´n Inversa. Nosotros tambi´en
presentaremosalgunosejemplosyaplicacionesdelosteoremas,paralamejorcomprensi´on.
Las palabra-llave: El Teorema, la Funci´on Inversa, la Funcio´n Impl´ıcita, la demos-
traci´on, el punto fijo de Banach.
viii
Sum(cid:19)ario
Resumo vii
Resumen viii
1 Introdu(cid:24)c~ao 11
2 No(cid:24)co~es de A(cid:19)lgebra Linear 14
2.1 Espa¸cos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Subespa¸co vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Base e dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Transforma¸co˜es Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 O Espa¸co Vetorial L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 De(cid:12)ni(cid:24)co~es sobre o Espa(cid:24)co Rn 18
3.1 O Espa¸co Euclidiano Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Aplica¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Aplica¸c˜ao uniformemente cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Normas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Normas Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.8 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10 Homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.11 Difeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.12 Difeomorfismo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.13 Desigualdade do Valor M´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Espa(cid:24)cos M(cid:19)etricos 25
4.1 Defini¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Espa¸cos M´etricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ix
4.3 Teorema do ponto fixo de Banach sobre contra¸co˜es . . . . . . . . . . . . . 28
5 Teorema da Fun(cid:24)c~ao Inversa 32
6 Teorema da Fun(cid:24)c~ao Impl(cid:19)(cid:16)cita 38
7 Exemplos 42
7.1 Exemplos do Teorema da Func¸˜ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Exemplos do Teorema da Func¸˜ao Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Considera(cid:24)c~oes Finais xlvii
Refer^encias Bibliogr(cid:19)a(cid:12)cas xlviii