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162 Pages·2009·1.59 MB·French

E Daniel FREDON
X Myriam MAUMY-BERTRAND
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Frédéric BERTRAND
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Mathématiques
Algèbre et géométrie
en 30 fiches
Daniel FREDON
Myriam MAUMY-BERTRAND
Frédéric BERTRAND
Mathématiques
Algèbre et géométrie
en 30 fiches
© Dunod, Paris, 2009
ISBN 978-2-10-053932-1
Avant-propos
L'organisation en crédits d'enseignement entraîne des variations entre les Universités.
Les deux premières années de licence (L1 et L2) ont cependant suffisamment de points
communs pour proposer des livres utiles à tous.
Avec la collection Express,vous allez vite à l'essentiel.
Pour aller vite,il faut la taille mince et le prix léger.
Il faut aussi une organisation en fiches courtes et nombreuses pour vous permettre de
ne retenir que les sujets du moment,semestre après semestre.
Il faut avoir fait des choix cohérents et organisés de ce qui est le plus couramment
enseigné lors des deux premières années des licences de mathématiques,informatique,
mais aussi de sciences physiques,et dans les cycles préparatoires intégrés.
Il faut un index détaillé pour effacer rapidement un malencontreux trou de mémoire.
Dans la collection Express,il y a donc l'essentiel,sauf votre propre travail. Bon cou-
rage!
Toutes vos remarques,vos commentaires,vos critiques,et même vos encouragements,
seront accueillis avec plaisir.
élit. [email protected]
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Avant-propos 3
Table
des matières
Partie 1 : Raisonnement et algèbre générale
Fiche 1 Logique et raisonnement 6
Fiche 2 Langage des ensembles 12
Fiche 3 Applications 16
Fiche 4 Relations binaires 20
Fiche 5 Entiers naturels 24
Fiche 6 Groupes 26
Fiche 7 Anneaux et corps 32
Fiche 8 Arithmétique dans Z 36
Fiche 9 Nombres complexes 42
Fiche 10 Nombres complexes et géométrie plane 48
Fiche 11 Polynômes 52
Fiche 12 Fractions rationnelles 58
Partie 2 : Algèbre linéaire
Fiche 13 Systèmes linéaires 62
Fiche 14 Espaces vectoriels 66
Fiche 15 Espaces vectoriels de dimension finie 72
Fiche 16 Applicationslinéaires 78
Fiche 17 Applications linéaires particulières 86
Fiche 18 Calcul matriciel 90
Fiche 19 Matrices et applications linéaires 96
Fiche 20 Déterminants 102
Fiche 21 Diagonalisation des endomorphismes 108
4 Algèbre et géométrie en 30 fiches
Fiche 22 Espaces préhilbertiens 114
Fiche 23 Orthogonalité 120
Fiche 24 Groupe orthogonal 126
Fiche 25 Matrices symétriques réelles 132
Partie 3 : Géométrie
Fiche 26 Calcul vectoriel et distances 134
Fiche 27 Coniques 138
Fiche 28 Courbes paramétrées 144
Fiche 29 Courbes en coordonnées polaires 150
Fiche 30 Longueur des arcs, courbure 154
Index 159
élit.
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Table des matières 5
1
FICHE Logique
et raisonnement
I Logique binaire
• Proposition logique
C'est un assemblage de lettres et de signes qui a une syntaxe correcte (le lecteur
sait le lire),une sémantique correcte (le lecteur comprend ce qu'il lit) et qui a une
seule valeur de vérité :vrai (V) ou faux (F).
Deux propositions seront considérées comme égales si elles ont toujours la même
valeur de vérité.
• Connecteurs logiques
À partir de propositions p,q,... on peut former de nouvelles propositions définies
par des tableaux de vérité.
– Négation :non p (noté aussi ¬p)
p non p
V F
F V
– Conjonction :p et q(noté aussi p∧q)
– Disjonction :p ou q(noté aussi p∨q)
– Implication :p (cid:5)⇒q
– Équivalence :p ⇐⇒q
p q p et q p ou q p (cid:5)⇒q p ⇐⇒q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Le «ou» a un sens inclusif, à ne pas confondre avec le sens exclusif qui figure dans
«fromage ou dessert», c'est-à-dire du fromage ou bien du dessert mais pas les deux.
6 Algèbre et géométrie en 30 fiches
1
• Propriétés des connecteurs
non (non p)= p
non (pou q)= (non p) et (non q)
non (pet q)= (non p) ou (non q)
(cid:2) (cid:3)
(p (cid:5)⇒q)= (non p)ouq
(cid:2) (cid:3)
non (p (cid:5)⇒q)= pet(nonq)
La négation d'une implication n'est donc pas une implication.
(cid:2) (cid:3)
(p (cid:5)⇒q)= (nonq)(cid:5)⇒(non p)
Cette seconde implication est la contraposée de la première.Faites attention à l'ordre
des propositions.
(cid:2) (cid:3)
(p ⇐⇒q)= (p (cid:5)⇒q)et(q (cid:5)⇒ p)
Pour démontrer une équivalence, on démontre souvent une implication et sa réciproque.
II Quantificateurs
• Notation
Les quantificateurs servent à indiquer la quantité d'éléments qui interviennent dans
une proposition. On utilise :
– le quantificateur universel ∀
∀x signifie :pour tout x ;
élit. – le quantificateur existentiel ∃
d
un ∃x signifie :il existe au moins un x.
est
e • Ordre
é
oris
ut Si l'on utilise deux fois le même quantificateur,l'ordre n'a pas d'importance.
a
n On peut permuter les quantificateurs dans des écritures du type :
o
n
pie ∀x ∈ E ∀y ∈ E p(x,y)
o
c
oto ∃x ∈ E ∃y ∈ E p(x,y)
h
p
a
L Mais si les quantificateurs sont différents,leur ordre est important.
–
od Dans l'écriture ∀x ∈ E ∃y ∈ E p(x,y) y dépend de x.
n
Du Dans l'écriture ∃y ∈ E ∀x ∈ E p(x,y) y est indépendant de x.
©
FICHE 1 – Logique et raisonnement 7
• Négation
La négation de « ∀x ∈ E,x vérifie p » est «∃x ∈ E tel que x ne vérifie pas p ».
La négation de «∃x ∈ E,x vérifie p » est «∀x ∈ E,x ne vérifie pas p ».
III Quelques méthodes de démonstration
• Déduction
Si p est vraie et si l'on démontre (p (cid:5)⇒q),alors on peut conclure que qest vraie.
Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée.
Elle a le même sens, mais il est possible que sa démonstration soit plus facile.
• Raisonnement par l'absurde
Pour démontrer que p est vraie,on peut supposer que p est fausse et en déduire une
contradiction.
Comme vous partez de «non p», ne vous trompez pas dans la négation, en particulier
en ce qui concerne les quantificateurs.
• Disjonction des cas
Elle est basée sur le fait que :
(cid:2) (cid:3)
(p (cid:5)⇒q)et(non p (cid:5)⇒q) (cid:5)⇒q.
• Exemples et contre-exemples
Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas,
– un exemple est une illustration,mais ne démontre rien,
– un contre-exemple démontre que la proposition est fausse.
• Raisonnement par récurrence
Voir la fiche 5.
8 Algèbre et géométrie en 30 fiches
1
Application
Les questions qui suivent sont indépendantes. Elles ont pour but de faire fonctionner
diverses méthodes de raisonnement.
x +1 x +3
1.Démontrez que,si x est un réel positif,alors < ·
x +2 x +4
2.Démontrez que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle.
3.Soit n ∈N. Démontrez que :
npair ⇐⇒n2pair.
4.Démontrez que,pour tout réel x,si x2−9>0,alors x2−x −2>0.
5. Écrivez la négation de la proposition :
Il existe une ville de France dans laquelle toute place comporte au moins une agence
bancaire.
6.Rétablissez la forme affirmative d'une ancienne publicité :
Si vous n'êtes pas moderne,alors vous n'êtes pas client de la Société Générale.
Solution
1. Équivalences logiques successives
Les propositions suivantes sont toutes équivalentes :
x +1 x +3
<
x +2 x +4
⇐⇒(x +1)(x +4)<(x +2)(x +3) car(x +2)(x +4)>0
⇐⇒x2+5x +4< x2+5x +6
⇐⇒4<6.
La dernière proposition étant vraie,toutes les propositions précédentes sont vraies,et
élit. l'inégalité de l'énoncé est démontrée.
d
n 2. Raisonnement par l'absurde
u
est Considérons deux réels x et y tels que x ∈Q et y ∈/ Q.
e
orisé Supposons que x +y soit rationnel. Dans ce cas, (x +y)−x = y serait rationnel,
ut alors qu'on sait que y ∈/ Q.
a
n
o On obtient ainsi une contradiction, et on doit rejeter l'hypothèse qui vient d'être for-
n
pie mulée,c'est-à-dire conclure que x +yest irrationnel.
o
c
o
ot
h
p
a
L
–
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o
n
u
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FICHE 1 – Logique et raisonnement 9