Technische Mechanik: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden

445 Pages·1993·11.976 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross, Prof. Dr. Werner Hauger, Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. Walter Schnell, Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers (auth.)

Springer-Lehrbuch
D. Gross . W. Hauger . W. Schnell· P. Wriggers
Technische Mechanik
Band 4: Hydromechanik,
Elemente der
Höheren Mechanik,
Numerische Methoden
Mit 213 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross
Prof. Dr. Werner Hauger
Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. Walter Schnell
Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers
Institut für Mechanik, TH Darmstadt
Hochschulstraße 1, D-64289 Darmstadt
ISBN 978-3-540-56629-8 ISBN 978-3-662-10245-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-10245-9
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Technische Mechanik / D. Gross ... - Berlin ; Heidelberg ;
New York ; London ; Paris; Tokyo ; Hong Kong ; Barcelona;
Budapest : Springer.
Bd. 1 bis 3 ven. von: Dietmar Gross ; Werner Hauger ; Walter Schnell
NE: Gross, Dietmar; Hauger, Wemer; Schnell, Walter
Bd.4. Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik,
Numerische Methoden. 1993
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-56629-8
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Ursprünglich erschienin bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1993
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Vorwort
Seit dem Erscheinen der ersten drei Bände der Technischen Mechanik
sind nunmehr zehn Jahre vergangen. Mit dem vorliegenden vierten
Band tragen wir dem Wunsch nach einer Erweiterung der Reihe
Rechnung. Behandelt werden in ihm die Grundlagen und wichtige
Elemente der Hydromechanik, der Elastizitätstheorie, der Tragwerks
lehre, der Schwingungen von Kontinua, der Stabilitäts theorie, der
Plastizität und Viskoelastizität sowie der Numerischen Methoden in
der Mechanik. Es handelt sich dabei um Gebiete, die vollständig oder
einführend an vielen deutschsprachigen Hochschulen im Grund
studium gelehrt werden. Beispiele hierfür sind die Stromfadentheorie,
spezielle Tragwerke wie das Seil und die Platte oder die Einführung
in die Elastizitätstheorie und die Plastizität. In Teilen der einzelnen
Kapitel schlägt der dargestellte Stoff aber auch schon die Brücke zum
Fachstudium. Dies trifft unter anderem auf die Schwingungen von
Balken und Platten, auf die Stabilität von Tragwerken oder auf die
Methode der Finiten Elemente zu.
Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen,
für welche die genannten Gebiete gelehrt werden. Unser Ziel ist es,
den Leser an das Verstehen der wesentlichen Grundlagen heranzufüh
ren und ein solides Fundament zu legen, das ein tieferes Eindringen
erleichtert. In diesem Sinn ist auch der Praktiker in der Industrie
angesprochen, dem das Buch einen einfachen Einstieg in die entspre
chenden Gebiete ermöglichen soll.
Wie in den vorhergehenden Bänden haben wir uns um eine mög
lichst einfache aber präzise Darstellung des Stoffes bemüht. Diesem
Anliegen dienen auch die zahlreichen durchgerechneten Beispiele. Sie
sollen das Verständnis unterstützen und eine Anleitung zur Behand
lung ähnlicher Probleme bilden.
An dieser Stelle sei Frau G. Otto herzlich gedankt, die mit großer
Sorgfalt Teile des Manuskriptes erstellt hat. Dem Springer-Verlag
danken wir für das Eingehen auf unsere Wünsche und für die an
sprechende Ausstattung des Buches.
Darmstadt, im August 1993 D. Gross, W. Hauger
W. Schnell, P. Wriggers
Inhaltsverzeichnis
1 Hydromechanik . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Eigenschaften einer Flüssigkeit . . . . . 1
1.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Druck in einer ruhenden Flüssigkeit 3
1.2.2 Auftrieb . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Der schwimmende Körper 15
1.2.4 Druck einer Flüssigkeit auf ebene Flächen 18
1.2.5 Druck einer Flüssigkeit auf gekrümmte Flächen . 25
1.3 Hydrodynamik . . . . . . . . 29
1.3.1 Kinematische Grundlagen. . 29
1.3.2 Stromfadentheorie . . . . . 32
1.3.2.1 Allgemeines 32
1.3.2.2 Kontinuitätsgleichung 33
1.3.2.3 Bernoullische Gleichung 34
1.3.2.4 Impulssatz . . . . . . 44
1.3.3 Strömung mit Energieverlusten 51
1.3.3.1 Allgemeines . . . . . 51
1.3.3.2 Verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 53
1.3.3.3 Strömung in einem kreiszylindrischen Rohr 56
1.3.3.4 Strömung in offenen Gerinnen 59
2 Grundlagen der Elastizitätstheorie . . . . . . 64
2.1 Spannungszustand . . . . . . . . . . . 64
2.1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor,
Indexschreibweise . . . . . . . . . . 64
2.1.2 Koordinatentransformation . . . . . . 69
2.1.3 Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise 72
2.1.4 Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator 78
2.1.5 Gleichgewichtsbedingungen . . . 80
2.2 Deformation und Verzerrung . . . . . 85
2.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . 85
2.2.2 Infinitesimaler Verzerrungstensor . 87
2.2.3 Kompatibilitätsbedingungen . 92
2.3 Elastizitätsgesetz . . . . 96
2.3.1 Hookesches Gesetz. . . . . 96
VIII Inhaltsverzeichnis
2.3.2 Isotropie . . . . . . . . . 97
2.3.3 Formänderungsenergiedichte 101
2.3.4 Temperaturdehnungen . . . 105
2.4 Grundgleichungen ....... 106
2.5 Ebene Probleme . . . . . . . . 108
2.5.1 Ebener Spannungszustand und ebener
Verzerrungszustand ....... 108
2.5.2 Spannungs-Differentialgleichungen,
Spannungsfunktion ....... 111
2.5.3 Anwendungsbeispiele . . . . . . . 114
2.5.3.1 Einfache Spannungszustände 114
2.5.3.2 Balken unter konstanter Belastung 115
2.5.3.3 Kreisbogenscheibe unter reiner Biegung. 117
2.5.3.4 Die Scheibe mit Kreisloch unter
Zugbelastung . . . . . . . . 119
2.5.4 Verschiebungs-Differentialgleichungen,
Rotationssymmetrie 120
2.6 Torsion . . . . . . . 123
2.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . 123
2.6.2 Grundgleichungen . . . . . . . . . 124
2.6.3 Differentialgleichungen für die Verwölbungs-
funktion und für die Torsionsfunktion 126
2.7 Energieprinzipien . . . . . . . . . . . 135
2.7.1 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . 135
2.7.2 Sätze von Clapeyron und von Betti . 139
2.7.3 Prinzip der virtuellen Verrückungen 140
3 Statik spezieller Tragwerke. . . . . 146
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . 146
3.2 Der Bogenträger . . . . . . . 147
3.2.1 Gleichgewichtsbedingungen 147
3.2.2 Der momentenfreie Bogenträger 151
3.3 Das Seil . . . . . . . . . . 153
3.3.1 Gleichung der Seillinie . 153
3.3.2 Seil unter Einzelkräften . 157
3.3.3 Kettenlinie . . . . . . 158
3.4 Der Schubfeldträger . . . . . 162
3.4.1 Kraftfluß am Paralle1träger 162
3.4.2 Grundgleichungen 163
3.5 Saite und Membran 171
3.5.1 Die Saite . . . . 171
3.5.2 Die Membran . . 174
3.5.3 Membrantheorie dünner Rotationsschalen . 177
Inhaltsverzeichnis IX
3.6 Die Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.1 Grundgleichungen der Platte ...... 181
3.6.2 Randbedingungen für die schubstarre Platte 188
3.6.3 Die Kreisplatte . . . . . . . . . . . . 194
4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme 198
4.1 Die Saite ........... 198
4.1.1 Wellengleichung . . . . . . 199
4.1.2 d'Alembertsche Lösung, Wellen 200
4.1.3 Bernoullische Lösung, Schwingungen 204
4.2 Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen
von Stäben. . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen . . . 211
4.2.2 Erzwungene Longitudinalschwingungen 216
4.2.3 Torsionsschwingungen . 219
4.3 Biegeschwingungen von Balken . . . 222
4.3.1 Grundgleichungen . . . . . . 222
4.3.2 Freie Schwingungen . . . . . 224
4.3.2.1 Euler-Bernoulli-Balken . 224
4.3.2.2 Timoshenko-Balken 232
4.3.3 Erzwungene Schwingungen . . 234
4.3.4 Wellenausbreitung . . . . . . 238
4.4 Eigenschwingungen von Membranen und Platten 240
4.4.1 Membranschwingungen . 240
4.4.2 Plattenschwingungen 245
4.5 Energieprinzipien . . . . . 248
5 Stabilität elastischer Strukturen. . . . . . . . . .. 254
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . .. 254
5.2 Modelle zur Beschreibung typischer Stabilitätsfälle 255
5.2.1 Der elastisch eingespannte Druckstab als
Beispiel für ein Verzweigungsproblem . 255
5.2.2 Der Einfluß von Imperfektionen . . . 261
5.2.3 Der Stabzweischlag als Beispiel für ein
Durchschlagproblem . . . . . . . 265
5.3 Verallgemeinerung .......... 267
5.4 Stabknicken . . . . . . . . . . . . . 272
5.4.1 Der elastische Druckstab mit großen
Verschiebungen - Die Elastica . . . 272
5.4.2 Ermittlung der Knickgleichung mit der
Energiemethode . . . . . 277
5.4.3 Der imperfekte Druckstab ..... 282
x
Inhaltsverzeichnis
5.5 Plattenbeulen . . . . . . . . . . . . . 284
5.5.1 Die Beulgleichung . . . . . . . . 284
5.5.2 Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck 287
5.5.3 Die Kreisplatte . . . . . . . . . . . . 293
6 Viskoelastizität und Plastizität 297
6.1 Einführung 297
6.2 Viskoelastizität . . . . . 300
6.2.1 Modellrheologie . . 301
6.2.1.1 Kelvin-Voigt-Körper . 302
6.2.1.2 Maxwell-Körper 308
6.2.1.3 Linearer Standardköiper,
3-Element-Flüssigkeit . . 311
6.2.1.4 Verallgemeinerte Modelle. 317
6.2.2 Materialgesetz in integraler Form 320
6.3 Plastizität . . . 324
6.3.1 Allgemeines . . . . . . . . 324
6.3.2 Fachwerke . . . . . . . . 330
6.3.3 Balken . . . . . . . . . . 337
6.3.3.1 Spannungsverteilung . 337
6.3.3.2 Biegelinie ..... 344
7 Numerische Methoden in der Mechanik 347
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . 347
7.2 Differentialgleichungen in der Mechanik 347
7.3 Integrationsverfahren für Anfangswertprobleme 350
7.3.1 Explizite Integrationsverfahren 350
7.3.2 Implizite Integrationsverfahren 358
7.4 Differenzenverfahren für Randwertprobleme 362
7.4.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 362
7.4.2 Partielle Differentialgleichungen 368
7.5 Methode der gewichteten Residuen 373
7.5.1 Vorbemerkungen 373
7.5.2 Kollokationsverfahren . 374
7.5.3 Galerkin-Verfahren. . . 374
7.5.4 Numerische Integration. 377
7.5.5 Beispiele . . . . . . . 379
7.5.6 Verfahren von Ritz. . . 384
7.6 Methode der finiten Elemente 393
7.6.1 Einführung . . . . . . 393
7.6.2 Aufstellung der Gleichungssysteme 397
7.6.3 Stabelement . . . . . . . . . . 400
Inhaltsverzeichnis XI
7.6.4 Balkenelement . . . . . . . . . . . . . .. 403
7.6.5 Element für die Kreisplatte . . . . . . . .. 409
7.6.6 Finite Elemente für zweidimensionale Probleme 412
7.6.6.1 Membranelement . . . . . . . . .. 413
7.6.6.2 Finite Elemente in der Elastizitätstheorie 420
Sachverzeichnis 429