Technische Mechanik: Band 2: Elastostatik PDF
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Heidelberger Taschenbücher Band 216 W. Schnell· D. Grass· W. Hauger Technische Mechanik Band 2: Elastastatik Zweite Auflage Mit 137 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Prof. Dr. Walter Schnell Prof. Dr. Dietmar Gross Prof. Dr. Wemer Hauger Institut fur Mechanik, TII Darmstadt Hochschulstra8e 1, D-6IOO Darmstadt ISBN 978-3-540-50314-9 ISBN 978-3-662-10251-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-10251-0 Cip·T itelaufuahme der Deutsehen Bibliothek Sehnell, Walter: Teehnische Meehanik / W. Sehnell ; D. Gross ; W. Hauger. - Berlin; Heidelberg ; New York; London ; Paris; Tokyo: Springer. Bd. I u.d.T.: Gross, Dietmar: Teehnische Mechanik Bd. 3 u.d.T.: Hauger, Wemer: Technisehe Mechanik NE: Gross, Dietmar:; Hauger, Wemer: Bd. 2. Elastostatik. - 2. Aufl. - 1989 (Heidelberger Taschenblicher ; Bd 216) NE:GT Dieses Werk ist urheberrechtlich geschUtzt. Oie dadurch begrlindeten Rechte, insbeson dere die der Obersetzung, des Nachdruckes, des Vortrags, der Entnahme von Abbildun gen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Verviellliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitnngsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Verviellliltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. Sep tember 1965 in der Fassung vom 24. Juni 1985 zullissig. Sie ist grundsătzlich verglitungs pllichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratbestimmungen des Urheberrechtsge setzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989 Urspr1lnglich erschiene.o. bei Springer-Veriag Berlin Heide1berg New Ymk 1989 Oie Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als Ifei zu betrachten wăren und daher von jedermann benutzt werden dlirften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VOI, VOE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewăbr fiir Richtigkeit, VolIstăndigkeit oder Aktualităt libemehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fiir die eigenen Arbeiten die vollstăndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gQltigen Fassung hinzuzuziehen. Vorwort zur zweiten Auflage Das Interesse, das die Studenten auch dem Band 2 der Technischen Mechanik entgegenbrachten, erfordert eine Neuauflage. Neben der Berichtigung von Druckfehlern haben wir eine Reihe kleinerer Er gänzungen eingefligt, die dem besseren Verständnis dienen sollen. Außerdem wurde ein Abschnitt über das Gleichgewicht beim mehr achsigen Spannungszustand aufgenommen. Wir danken allen kritischen Lesern, die uns durch ihre Hinweise zu diesen Verbesserungen angeregt haben. Darmstadt, im Februar 1989 W. Schnell D. Gross W. Hauger Vorwort zur ersten Auflage Die Elastostatik setzt den ersten Band des drei bändigen Lehrbuches der Technischen Mechanik fort. Sie beschäftigt sich mit den Bean spruchungen und den Verformungen elastischer Körper. Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von den Autoren für Studenten aller Ingenieurfachrichtungen gehalten wurden. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Inhalt an den Me chanikkursen, wie sie an deutschsprachigen Hochschulen abgehal ten werden. Dabei wurde zugunsten einer ausführlichen Darstellung der Grundlagen auf die Behandlung mancher spezieller Probleme verzichtet. Auch dieser Band erfordert aktive Mitarbeit des Lesers, da die Mechanik nicht durch reines Literaturstudium zu erlernen ist. Eine sachgerechte Anwendung der wenigen Gesetzmäßigkeiten setzt nicht nur die Kenntnis der Theorie voraus, sondern erfordert auch Übung. Letztere ist nur durch selbständiges Bearbeiten von Aufga ben zu erwerben. Die Beispiele am Schluß jedes Kapitels sollen hierfür eine Anleitung geben. Wir danken herzlichst Frau I. Melzer, Frau G. Otto und Frau I. Schmidt, die mit viel Geduld, Sorgfalt und Liebe das Manuskript angefertigt haben. Dem Springer-Verlag danken wir für das Eingehen auf unsere Wünsche und für die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt, im August 1984 W. Schnell D. Gross W. Hauger Inhaltsverzeichnis Einführung . . . . . . . Zug und Druck in Stäben 4 1.1 Spannung. 4 1.2 Dehnung . 10 1.3 Stoffg esetz . 11 1.4 Einzelstab . 14 1.5 Statisch bestimmte Stabsysteme 24 1.6 Statisch unbestimmte Stabsysteme 28 2 Spannungszustand . . . . . . . . . 34 2.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 34 2.2 Ebener Spannungszustand . . . . 37 2.2.1 Koordinatentransformation . 38 2.2.2 Hauptspannungen. . . . 41 2.2.3 Mohrscher Spannungskreis 46 2.2.4 Dünnwandiger Kessel . . 51 2.3 Gleichgewichtsbedingungen . . 53 3 Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz . 56 3.1 Verzerrungszustand . . 56 3.2 Elastizitätsgesetz . . . 60 3.3 Festigkeitshypothesen . 67 4 Balkenbiegung. . . . . . 69 4.1 Einführung . . . . . 69 4.2 Flächenträgheitsmomente 71 4.2.1 Definition . . . . 71 4.2.2 Parallelverschiebung der Bezugsachsen 77 4.2.3 Drehung des Bezugssystems, Hauptträgheitsmomente . . . . 80 4.3 Grundgleichungen der geraden Biegung 86 4.4 Normalspannungen . . . . . . . . . 90 4.5 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.1 Differentialgleichung der Biegelinie 93 VIII Inhaltsverzeichnis 4.5.2 Einfeldbalken . . . . . . . 97 4.5.3 Balken mit mehreren Feldern 106 4.5.4 Superposition. . . 110 4.6 Einfluß des Schubes . . . . . . 120 4.6.1 Schubspannungen. . . . . 120 4.6.2 Durchbiegung infolge Schub 129 4.7 Schiefe Biegung . . . . l31 4.8 Biegung und Längskraft l39 4.9 Temperaturbelastung . . 142 5 Torsion ......... . 146 5.1 Die kreiszylindrische Welle 147 5.2 Dünnwandige geschlossene Profile 156 5.3 Dünnwandige offene Profile . . . 165 6 Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik 173 6.1 Arbeitssatz und Formänderungsenergie 174 6.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte 183 6.3 Einflußzahlen und Vertauschungssätze 198 6.4 Anwendung des Arbeitssatzes aufstatisch unbestimmte Systeme. . . . . . . . . . . . . . 201 7 Knickung. . . . . . . . . . . . . . . 217 7.1 Verzweigung einer Gleichgewichtslage 217 7.2 Der Euler-Stab . 220 Sachverzeichnis . . . 229 Einführung Im ersten Band (Statik) wurde gezeigt, wie man allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen das Kräftespiel an Tragwerken untersu chen kann. Dabei wurde der reale Körper durch den starren Körper angenähert. Diese Idealisierung ist jedoch zur Beschreibung des me chanischen Verhaltens von Bauteilen oder Konstruktionen meist nicht hinreichend. Bei vielen Ingenieurproblemen sind auch die De formationen der Körper vorherzubestimmen, zum Beispiel um un zulässig große Verformungen auszuschließen. Der Körper muß dann als deformierbar angesehen werden. Um die Deformationen zu beschreiben, ist es erforderlich, geeig nete geometrische Größen zu definieren; dies sind Verschiebungen und Verzerrungen. Durch kinematische Beziehungen, welche die Verschiebungen und die Verzerrungen verknüpfen, wird die Geo metrie der Verformung festgelegt. Neben den Verformungen sind die Beanspruchungen von Bau teilen von großer praktischer Bedeutung. In der Statik haben wir bisher nur Schnittkräfte ermittelt. Sie allein lassen keine Aussage über die Belastbarkeit von Tragwerken zu (ein dünner bzw. ein dik ker Stab aus gleichem Material werden bei unterschiedlichen Kräf ten versagen). Als geeignetes Maß für die Beanspruchung wird da her der Begriff der Spannung eingeführt. Durch Vergleich einer rechnerisch ermittelten Spannung mit einer auf Experimenten ba sierenden zulässigen Spannung kann man die Tragfähigkeit von Bauteilen beurteilen. Die Verzerrungen (Deformationen) sind mit den Spannungen (Belastungen) verknüpft. Die physikalische Beziehung zwischen bei den Größen heißt StoJfgesetz. Es ist abhängig vom Werkstoff, aus dem ein Bauteil besteht, und kann nur mit Hilfe von Experimenten gewonnen werden. Die technisch wichtigsten metallischen und nichtmetallischen Materialien zeigen bei nicht zu großen Beanspru chungen einen linearen Zusammenhang von Spannung und Verzer rung. Er wurde schon von R. Hooke (1635-1703) in der damaligen Sprache der Wissenschaft mit "ut tensio sic vis" formuliert. Ein Werkstoff, der dem Hookeschen Gesetz genügt, heißt linear-ela stisch; wir wollen ihn kurz elastisch nennen. 2 Einllihrung Im vorliegenden Band werden wir uns auf die Statik solcher ela stisch deformierbarer Körper beschränken. Dabei setzen wir stets voraus, daß die Verformungen und damit auch die Verzerrungen sehr klein sind. Dies trifft in sehr vielen technisch wichtigen Fällen tatsächlich zu. Daneben bringt es den großen Vorteil mit sich, daß die Gleichgewichtsbedingungen mit guter Näherung am unver[orm ten System aufgestellt werden können; auch die kinematischen Be ziehungen sind dann einfach. Nur bei Stabilitätsuntersuchungen, wie zum Beispiel beim Knicken (Kapitel 7), muß man die Gleichge wichtsbedingungen am verformten System formulieren. Bei allen Problemen der Elastostatik muß man auf drei - ihrem Herkommen nach recht unterschiedliche - Arten von Gleichungen zurückgreifen: a) Gleichgewichtsbedingungen, b) kinematische Be ziehungen, c) Elastizitätsgesetz. Bei statisch bestimmten Systemen können die Schnittgrößen und damit die Spannungen aus den Gleichgewichtsbedingungen direkt ermittelt werden. Die Verzer rungen und die Verformungen folgen dann mit Hilfe des Elastizi tätsgesetzes und der kinematischen Beziehungen in getrennten Schritten. Die Berücksichtigung von Deformationen macht es nun aber auch möglich, die Kräfte und die Verformungen statisch unbestimm ter Systeme zu analysieren. In diesem Fall sind die Gleichgewichts bedingungen, die kinematischen Beziehungen und das Elastizitäts gesetz gekoppelt und können nur gemeinsam gelöst werden. Wir werden uns in der Elastostatik nur mit einfachen Beanspru chungszuständen befassen und uns auf die in der Praxis wichtigen Fälle von Stäben unter Zug bzw. Torsion und von Balken unter Bie gung konzentrieren. Bei der Aufstellung der zugehörigen Gleichun gen bedienen wir uns häufig bestimmter Annahmen über die Verfor mung oder die Verteilung der Spannungen. Diese Annahmen gehen auf experimentelle Untersuchungen zurück und gestatten es dann, das vorliegende Problem mit einer technisch ausreichenden Genau igkeit zu beschreiben. Eine besondere Bedeutung kommt bei elastischen Körpern dem Arbeitsbegriff und den Energieaussagen zu. So lassen sich verschie dene Probleme besonders zweckmäßig mit Hilfe von Energieprinzi pien lösen. Ihrer Formulierung und Anwendung ist Kapitel 6 gewid met. Das Verhalten deformierbarer Körper wurde seit Beginn der Neu zeit untersucht. So haben schon Leonardo da Vinci (1452-1519) und G. Galilei (1564-1642) Theorien aufgestellt, um die unter schiedliche Tragfähigkeit von Stäben und Balken zu erklären. Auf J. Bernoulli (1654 -1705) und L. Euler (1707 -1783) gehen die ersten Einfiihrung 3 systematischen Untersuchungen zum Verformungsverhalten von Balken zurück. Von Euler wurde in diesem Zusammenhang auch die Theorie des Knickens von Stäben entwickelt; die große techni sche Bedeutung dieser Überlegungen wurde erst viel später erkannt. Den Grundstein für eine in sich geschlossene Elastizitätstheorie legte A. L. Cauchy (1789-1857); von ihm stammen die Begriffe Span nungszustand und Verzerrungszustand. Seitdem wurden sowohl die Elastizitätstheorie als auch die Näherungstheorien, welche in der Technik bei speziellen Tragwerken zur Anwendung gelangen, durch Beiträge von Ingenieuren, Physikern und Mathematikern ausgebaut - eine Entwicklung, die auch heute noch anhält. Daneben wurden und werden immer noch Theorien aufgestellt, die das Verhalten von Körpern aus nichtelastischen Materialien (zum Beispiel aus plasti schen Materialien) beschreiben. Hiermit werden wir uns jedoch im Rahmen dieses Buches nicht beschäftigen.
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