Techniques d optimisation stochastique appliquées aux problèmes du controle aérien

187 Pages·2005·1.8 MB·French

Techniques d’optimisation stochastique applique´es a` certains
proble`mes du trafic ae´rien
Jean-MarcAlliot
27octobre1996
2
Table des matie`res
I Re´sultats ge´ne´raux 11
1 LesAlgorithmesGe´ne´tiques 15
1.1 Principes ge´ne´raux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Description de´taille´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Codagedesdonne´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Ge´ne´ration ale´atoire delapopulation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Gestiondescontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Ope´rateur deCroisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 Ope´rateur demutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Principesdese´lection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Ame´liorations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Sharingclusterise´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5 Algorithmes ge´ne´tiques etrecuitsimule´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.6 Recherche multi-objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.7 Association desAGavecdesme´thodeslocales . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Autresame´liorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Croisementadapte´ pourlesfonctions partiellement se´parables . . . . . . . . 30
1.4.2 Mutationadaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.3 Clustering adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Paralle´lisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.1 Paralle´lismeparˆılots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2 Paralle´lisation descalculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Re´sultats the´oriques surlesalgorithmes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.1 De´finitionsfondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.2 Effetsdelareproduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3 Effetsdescroisements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.4 Effetsdesmutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.5 Conclusion surlecodage binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Mode´lisation parchaˆınedeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.1 Description rapided’unalgorithmege´ne´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.2 Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.3 Application delathe´oriedeFreidlinetWentzell . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
2 Me´thodesetproble`mes 53
2.1 Optimisation defonctions a` variablesre´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1 FonctiondeRosenbrock etChebyquad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.2 FonctiondeDeJong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.3 FonctiondeCorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4 FonctiondeGriewank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Proble`mesdetypecombinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Codagedesdonne´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2 Ope´rateur decroisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3 Ope´rateur demutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.4 Ope´rateurs locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.5 Re´sultatsnume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Paralle´lismeetapprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Principesge´ne´raux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 Calculdelafitness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.4 Re´sultatsexpe´rimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II Applications auxproble`mes du trafic ae´rien 71
3 Optimisationdelare´solution deconflits 75
3.1 Etudedutrafic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.1 Simulationdutrafic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.2 Re´sultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Approche mathe´matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Conflitentredesavionsnoncontraints envitesse . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2 Conflitentredeuxavionscontraints envitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.3 Complexite´ the´orique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Approximation parpointtournant etparoffset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.1 Pointtournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.2 Approximation paroffset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.3 Avionsenrattrapage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 Mode´lisation del’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1 Ne´cessite´ demode´liserl’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.2 E´valuation delaprobabilite´ deconflit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.3 Espe´rance decouˆtdere´solution deconflit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5 Mode´lisation pourlare´solution deconflitscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.1 Mode`ledecluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.2 De´roulement entempsre´el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Re´solution paralgorithmes ge´ne´tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6.1 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6.2 Ge´ne´ration delapopulation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4
3.6.3 Fitness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6.4 Ope´rateurs decroisement etdemutationadapte´s . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.5 Sharingsimplifie´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.6 Me´thodelocaleenfindeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6.7 Applications nume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6.8 Architecture ge´ne´rale dusimulateurdetrafic . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.9 Re´sultatssurunejourne´e detraficre´elle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7 Programmation line´aireetAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7.2 Codagedesdonne´esduproble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.3 Croisementetmutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.4 E´valuation delafitness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.5 Re´sultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8 Techniques deparcours degraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
(cid:0)(cid:1)
3.8.1 Algorithmedetype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8.2 Me´thodedeplusfortepente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.9 Re´solution re´activeetautonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.9.1 Me´thodes re´activesa` mode`lephysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.9.2 Re´solution parre´seauxdeneurones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 Sectorisation del’espaceetre´partition desflux 141
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2 Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.1 Routesae´riennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.2 Chargedecontroˆledansunsecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3 Proble`mesa` re´soudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.1 Proble`medesectorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.2 Proble`med’affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4 Complexite´ associe´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.1 Proble`medesectorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.2 Proble`med’affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Sectorisation d’unre´seaua` fluxaffecte´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5.2 Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.5.3 Optimisation duproble`meparAlgorithmes Ge´ne´tiques . . . . . . . . . . . . 151
4.5.4 E´valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6 Affectation desfluxsurunre´seausectorise´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.1 Me´thodes classiques d’affectation statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.2 Optimisation duproble`meparAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.7 Sectorisation etaffectation detraficsimultane´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.8 Regroupement desecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5
4.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.8.2 Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.8.3 Complexite´ duprincipederegroupement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8.4 Optimisation paralgorithmege´ne´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.9 Limitationsdumode`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.1 Mode´lisation delachargedecontroˆle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.2 Priseencomptedelatroisie`medimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.9.3 Limitationdel’exploration del’espace d’e´tat . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.9.4 Priseencomptedeszonesmilitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.9.5 Proble`mespolitiques lie´sa` lasouverainete´ del’espace ae´rien . . . . . . . . . 175
4.9.6 Priseencomptedelapropagation desflux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6
Inaforestafoxbumpsintoalittlerabbit,andsays,“Hi,junior,whatareyouupto?”
“I’mwritingadissertationonhowrabbitseatfoxes,”saidtherabbit.
“Comenow,friendrabbit,youknowthat’simpossible!”
“Well, followmeandI’llshowyou.”Theybothgointotherabbit’sdwellingandaftera while therabbit
emergeswithasatisfiedexpressiononhisface.
Comesalongawolf.“Hello,whatarewedoingthesedays?”
“I’mwritingthesecondchapterofmythesis,onhowrabbitsdevourwolves.”
“Areyoucrazy? Whereisyouracademichonesty?”
“ComewithmeandI’llshowyou.”Asbefore,therabbitcomesoutwithasatisfiedlookonhisfaceanda
diplomainhispaw.Finally,thecamerapansintotherabbit’scaveand,aseverybodyshouldhaveguessedby
now,weseeamean-looking,hugelionsittingnexttosomebloodyandfurryremnantsofthewolfandthefox.
The moral: It’s not the contents of your thesis that are important — it’s your PhD advisor that really
counts.
8
Introduction
Ce document pre´sente le bilan de quatre anne´es d’e´tudes et de recherches effectue´es par toute une
e´quipedethe´sardsetd’e´tudiantsdeDEAdontj’aifortmodestementassure´,partiellement,ladirection
etl’encadrement.Ilsontimplante´,corrige´,ame´liore´,de´couvert,etsanseux,nombredeside´esquej’ai
puessayerd’exploiter n’auraient jamaisde´passe´ lestadedelafeuilledepapier.
Ce document est donc le re´sultat d’un travail d’e´quipe. Je le revendique comme tel, et j’en suis
particulie`rement heureux. Il est vrai que si l’on conside`re l’Habilitation a` Diriger des Recherches
commeundoctoratd’Etatde´guise´,cettemonographiemanquecomple`tementsonbut: onaurapeinea`
trouverplusd’unevingtainedepagesde´crivantunerecherchepurementetexclusivementpersonnelle.
Si, au contraire, on conside`re aussi l’HDR comme la de´monstration d’une capacite´ a` animer une
e´quipederecherche, alorslesquelquespagesquisuiventessaientderemplircetoffice.
Cedocumentsecomposededeuxparties quel’onpeutliredefac¸onpresque inde´pendante.
Lapremie`repartiepre´sente uncertain nombredere´sultatsdecaracte`rege´ne´ral surlestechniques
ge´ne´tiques. Cettepartiecomportedeuxchapitres:
(cid:2)
lepremierchapitreseraconsacre´eauxalgorithmesge´ne´tiques,avecunepre´sentationdesre´sultats
the´oriques existants, puis la description de tous les raffinements (scaling1, sharing, clustering,
paralle´lisme, etc.)indispensables a` unfonctionnement efficace.
(cid:2)
dans lesecond chapitre, nous de´velopperons surquelques exemplesclassiques l’utilisation des
algorithmesge´ne´tiquesetnouslescompareronsa`d’autrestechniques,locales(simplex,BFGS),
globales de´terministes (programmation parintervalles) oustochastiques (recuit).
La seconde partie pre´sentera l’application des techniques ge´ne´tiques aux proble`mes du trafic
ae´riena` traversuncertain nombred’exemples:
(cid:2)
construction detrajectoires optimalespourlare´solution deconflitsenroute
(cid:2)
optimisation delasectorisation del’espace etdelare´partition deflux
(cid:2)
re´solution re´activedeconflitsa` courtterme
Bien entendu, ce document est incomplet. Certains travaux re´alise´s, comme l’optimisation des
chaˆınes se´curite´ dans les ae´rogares (e´tude pour le Service des Bases Ae´riennes), l’optimisation des
redevances ae´roportuaires (pour Ae´roport De Paris), ou la re´flexion sur l’optimisation des cre´neaux
1Nousemploieronsdanstoutcedocumentlestermesanglaisquisesont(malheureusement?)impose´saufildesanne´es,
dont ceux de´veloppe´s spe´cifiquement par notre e´quipe. On pourrait certes remplacer “scaling” par “mise a` l’e´chelle”,
“sharing”par“re´partitionforce´edese´le´ments”ouclusteringpar“regroupement parpaquets”. Letexten’ygagneraitpas
ne´cessairement enlisibilite´...Notonse´galement quenousemployons abusivement lemot ale´atoirechaque foisquenous
de´signonsunprocessusale´atoiredontletirageestuniforme.Lanatureduprocessusestpre´cise´echaquefoisqu’ilnes’agit
pasd’untirageuniforme.
9
dede´collage,n’ontpuytrouverplace.Cependant,nouspensonsqu’ilrefle`tel’espritge´ne´raldutravail
quenouseffectuons etsouhaitons effectuer: appliquer uneme´thodologie scientifique auxproble`mes
dutraficae´rien.
10