Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.: Rechenmethoden für Studierende der Physik

496 Pages·2020·6.04 MB·German

by  Andreas Engel

Andreas Engel
Taylorentwicklung,
Jacobi-Matrix,
, δ(x) und Co.
Rechenmethoden
für Studierende
Mit Maple™
der Physik
Worksheets
Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, r, ı(x) und Co.
Andreas Engel
Taylorentwicklung,
r ı
Jacobi-Matrix, , (x)
und Co.
Rechenmethoden für Studierende der
Physik
AndreasEngel
CarlvonOssietzkyUniversität
Oldenburg,Deutschland
ISBN978-3-662-59751-4 ISBN978-3-662-59752-1(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59752-1
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Vorwort
WarumdiesesBuchgeschriebenwurde
„Wenn Du Physik studieren willst, musst Du aber Mathe können!“ Jede Physikstudentin, jeder
Physikstudent hat diesen Satz mindestens einmal gehört. Und er stimmt! Die Physik ist die am
stärkstenmathematisierteNaturwissenschaft,derdieAbbildungvonBeobachtungsergebnissenauf
mathematische Strukturen besonders überzeugend gelingt. Daher nimmt die Vermittlung mathe-
matischer Methoden im Curriculum eines jeden Physikstudiengangeseinen wichtigen Platz ein.
SichererEinsatzundeffizienteVerwendungderMethodenstehendabeiimVordergrund–ihrede-
taillierteBegründungundpräziseBeschreibungsindGegenstandderMathematikselbst.
DasvorliegendeBuchbietetIhneneineEinführungindiewichtigstenmathematischenMethoden,
wie Sie sie in den ersten drei Semestern Ihres Physikstudiumstypischerweise benötigen. Da die
Betonung auf der Verwendung der Methoden liegt, ist der Stil eher pragmatisch. So werden oft
Beispielegenutzt,umdieverschiedenenTechnikenzumotivieren,undAnalogieargumenteandie
StelledetaillierterHerleitungengesetzt.EntsprechendanwendungsorientiertistauchderGradmes-
ser für Ihren Lernerfolg: er ist dann (und nur dann) erreicht, wenn Sie alle Übungsaufgaben am
EndederKapitelrichtiggelösthaben.
DieVerwendungmathematischerMethodenschließtdiesinnvolleNutzunggeeigneterHilfsmitteln
ein.DieZeitenvonRechenschieberundLogarithmentafelsindvorbei.HeutebietenComputeralge-
brasystemeumfassendeUnterstützungbeiderCharakterisierungvonFunktionen,beiderBerech-
nungvon Integralen undbei derLösungvon Differentialgleichungen. Sie übernehmenmühsame
und fehleranfällige Details bei formal aufwendigen Rechnungen und stellen hilfreiche Möglich-
keiten zur grafischen Darstellung von Ergebnissen bereit – und das alles unter Verwendung von
nurwenigenundmeistintuitivenStandardbefehlen.EinegewisseVertrautheitmiteinemsolchen
SystemalszeitgemäßemHilfsmittelistfürStudierendederPhysikheuteunverzichtbar.
DiegebräuchlichstenComputeralgebrasystemewiezumBeispielMAPLE, MATHEMATICA, MU-
PADoderWOLFRAM|ALPHAunterscheidensichaufdemfürdenAnfangausreichendenelemen-
taren Niveaukaumvoneinander.In diesemBuchwirddasSystem MAPLE verwendet.UmIhnen
denEinstieginseineNutzungzuerleichtern,enthalteneinigeKapiteldiesesBuchesWorksheets,
aufdenengrundlegendeMAPLE-BefehleinihrerAnwendungaufkonkreteProblemedetailliertbe-
schriebensind.DieseWorksheetskönnenSievonderWebseitedesVerlages1herunterladenundan
verwandteFragestellungenanpassen.AuchdieLösungeinerReihederÜbungsaufgabenerfordert
denEinsatzsolcherartabgeänderterWorksheets.
FürwendiesesBuchnützlichseinkann
Dieses Buch wendet sich in erster Linie an Studierende der Physik in den ersten Semestern an
deutschen Universitäten und Hochschulen. Es baut auf einem Kenntnisstand in Mathematik auf,
1https://www.springer.com/9783662597514
V
VI Vorwort
wie er mit dem Abitur erreicht wird oder erreicht werden sollte. Sie sollten also die wichtigs-
ten Eigenschaften reeller Zahlen und einigeGrundeigenschaftenkomplexerZahlen kennen, über
Grenzwerte und die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von reellen Funktionen einer Veränderli-
chenundeindimensionaleIntegraleBescheidwissensowieGrundkenntnisseüberdreidimensionale
VektorenundlineareGleichungssystemebesitzen.ZurAngleichungdesinDeutschlandrechthe-
terogenenNiveausdergymnasialenMathematikausbildunggibtesseiteinigenJahrendenOnline
MathematikBrückenkursOMB+2.DieserKursistsehrgutkonzipiertundüberzeugendumgesetzt.
Er ermöglicht eine effektive Aneignung mathematischer Grundkenntnisse im Selbststudium und
wurdedaheralsAusgangsniveaufürdiesesBuchgewählt:allenötigenVorkenntnissewerdendort
erläutert.WennSiealsobeiderLektüreaufDingestoßen,dieIhnennichtvertrautsind,konsultieren
SieeinfachdieentsprechendenAbschnittedesOMB+.
WorumesindiesemBuchgeht
DaszentraleThemadiesesBuchesistdasAufstellenundLösenvonDifferentialgleichungen.Bei
derAnalysevonexperimentellen Ergebnissensind dieBeobachtungsdatenoftreelle Zahlen;Zu-
sammenhängezwischen ihnenlassen sich also durch reelle Funktionenbeschreiben. So wird die
BewegungderHimmelskörperdurchihreräumlichenKoordinatenalsFunktionenderZeitspezi-
fiziert, aus der Temperaturverteilung in einer abkühlendenKugellassen sich Schlussfolgerungen
überdeninnerenAufbauderErdeableiten,undFeuchtigkeitundStrömungsgeschwindigkeitder
ErdatmosphärealsFunktionenderHöhebildenwichtigeEingangsgrößenfürdieWettervorhersa-
ge. Das AuffindenfunktionalerZusammenhängezwischen Beobachtungsgrößenist eine zentrale
AufgabeinderphysikalischenModellbildung.
Nungibtes einegeradezubeängstigendeVielfalt vonFunktionen.AngesichtsderVielfalt derzu
beschreibendenPhänomenegehtdasinOrdnung,dieAuswahlderfürdenjeweiligenZusammen-
hangpassendenFunktionwirddadurchabernichtleichter.Glücklicherweiseistdenmeistendieser
Funktionengemeinsam,dasssiesichlokal,alsoinkleinenUmgebungenderPunkteihresDefini-
tionsbereiches, sehr gut durch lineare Funktion approximieren lassen. Diese linearen Relationen
charakterisierendieÄnderungdergesuchtenFunktionbeieinerkleinenÄnderungihrerArgumen-
te.SiesindinallerRegeldeutlicheinfacherausderexperimentellenSituationzuextrahieren,als
diekompletteFunktionselbst.AusdiesemGrundbeginntdiephysikalischeModellbildungimAll-
gemeinenmitderCharakterisierungderAbleitungendergesuchtenFunktionen.Ineinemzweiten
Schritt sinddiese Funktionendannaus all ihren lokalen Linearisierungen zu rekonstruieren. Das
führttypischerweiseaufdieLösungvonDifferentialgleichungen.DieseArtderdifferentiellenMo-
dellbildunghatsichinderPhysikalsüberauserfolgreicherwiesen.Sieistsehrallgemeinundführt
fast immer zum Ziel. Allerdings hat sie ihre Feinheiten und auch so manche Tücke. Gerade bei
denerstenVersuchenihrerAnwendungwirdesIhnennichtimmerleichtfallen,dieGültigkeitund
KonsistenzderverwendetenNäherungenunterKontrollezubehalten.WegenihrergroßenBedeu-
tungundhäufigenAnwendungwirddiedifferentielle ModellbildungindiesemBuchausführlich
erläutert.
WiediesesBuchaufgebautist
Das Buch gliedert sich im Großen in drei Abschnitte. Im ersten Teil werden elementare Sach-
verhaltederDifferential-undIntegralrechnungvonFunktioneneinerVariablenunterVerwendung
unendlichkleinerGrößenrekapituliert.WeilvieleinteressantephysikalischeGrößennebeneinem
Betrag auch eine Richtung haben, werden im zweiten Abschnitt in den Teilen II und III Eigen-
schaften von Vektoren und Vektorfeldern zusammengestellt. Vor allem ihre Differentiation und
2http://www.ombplus.de
Vorwort VII
Integration einschließlich der Verwendung krummlinigerKoordinatensysteme wird hier ausführ-
lichbesprochenen.DieabschließendenTeileIVundVbildendendrittenAbschnittundbefassen
sichmitderLösungvongewöhnlichenbeziehungsweisepartiellenDifferentialgleichungen.
SpätereKapitelbauenaufdemStoffderfrüherenauf,dieDarstellungeignetsichdaheralsGrundla-
gefüreineneinsemestrigenKurs.AufgrundseinesmodularenCharakterskanndasBuchaberauch
imSelbststudiumundzumNachschlagengenutztwerden.ErgänzendesMaterialundVerständnis-
fragenzudeneinzelnenKapitelnfindenSieunterhttps://lehrbuch-physik.springer.com.
IndiesemBuchwerdenmathematischeTechnikenbeschriebenundinihrerAnwendungerläutert.
EsistkeinMathematikbuch!PraktischalleFragen,diediebesprochenenSachverhalteausmathe-
matischer Sichtinteressantmachen, werden nichtdiskutiert. Idealerweise solltenSie deshalb bei
derLektüreimmerwiedereinemathematischeDarstellungderAnalysiskonsultieren,wiesiezum
Beispielin den ersten beiden Teilen des bekanntenKurses von Forster [1, 2]geboten wird. Eine
schöne Einführung in die Analysis, die mathematische Strenge mit Anschaulichkeit kombiniert,
findenSiein[3].
Das vorliegende Buch soll die ersten Schritte bei der Anwendung von Methoden der höheren
Mathematikerleichtern.VielefortgeschritteneKonzepteundTechnikenkommendaherausPlatz-
gründen nicht zur Sprache. Geeignete Darstellungen weiterführender mathematischerMethoden,
die an dieses Buch anschließen, sind [4], [5] und [6]. Ein Buch mit vergleichbarem Inhalt zum
vorliegenden,aberdeutlichstärkererBetonungdermathematischenStrukturenist[7].
Danksagungen
BeiderArbeitandiesemBuchwurdeichinvielfältigerWeiseunterstützt.MeinbesondererDank
giltJannikEhrich,MarcelSebastianKahlenundStefanLandmann,dieVorversionenallerKapitel
gelesenundvielewertvolleHinweiseundAnregungenfürVerbesserungengegebenhaben.Ebenso
möchteichmichbeiHaraldEngel,StefanKrautwald,SebastianRosmejundBerndSchwenkerfür
dasLesenvonTeilendesManuskriptsundihreBemerkungenundRatschlägebedanken.
Peter Harmand verdanke ich eine Reihe mathematischer Bemerkungen, nützliche Informationen
zu ComputeralgebrasystemenundHinweiseaufrelevanteLiteratur. Ebensomöchteich Reinhard
MeinelfüreineReihevonLiteraturhinweisendanken.DanielGrieser dankeichfürdieBeratung
ineinigenmathematischenFragen.
Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag war immer sehr angenehm. Vera Spillner hat das
ganzeProjektangestoßenundfürdieanfänglicheMotivationgesorgt.BiancaAltonundLisaEdel-
häuserstandenmirbeiseinerDurchführungzuverlässigundverständnisvollzurSeiteundhalfen
mir insbesondere auch über die unvermeidlichen Durststrecken. Kristin Riebe hat mich bei der
ErstellungeinigerAbbildungenunterstützt.IhnenallengiltmeinherzlicherDank.
Inhaltsverzeichnis
TeilI UnendlichkleineGrößen
1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Größenordnungssymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 AbleitungenundDifferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Worksheet1:Funktionen,AbleitungenundTaylor-Reihen. . . . . . . . . . . . 14
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Volumenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 DerHauptsatzderInfinitesimalrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 MethodenzurIntegralberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Worksheet2:Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 DifferentielleModellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II LineareRäume
4 DreidimensionaleVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 KoordinatendarstellungenvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Vektorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IX
X Inhaltsverzeichnis
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 AllgemeineVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Endlichdimensionale Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1 LineareAbbildungenzwischenVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 LineareGleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 EigenwerteundEigenvektorenlinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . 115
Worksheet3:LineareRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
III MehrdimensionaleDifferentiationundIntegration
7 MehrdimensionaleDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.1 DifferentiationvektorwertigerFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2 PartielleAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 MehrdimensionaleIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.1 IntegrationvektorwertigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2 DieLängeeinerKurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.4 Linienintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.5 Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.6 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.7 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Inhaltsverzeichnis XI
9 KrummlinigeKoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.1 AllgemeineKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2 IntegrationinkrummlinigenKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.3 DieIntegralsätzederVektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.4 VektoranalysisinkrummlinigenKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Worksheet4:MehrdimensionaleDifferentiationundIntegration . . . . . . . 256
IV GewöhnlicheDifferentialgleichungen
10 GewöhnlicheDifferentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.2 TippsundTricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.3 LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.4 DerEinsatzeinerComputeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Worksheet5:LösunggewöhnlicherDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . 294
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11 Newton’scheMechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.1 DieNewton’scheBewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.2 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.3 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.4 DerharmonischeOszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.5 Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.6 GekoppelteharmonischeSchwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.1 ExtremwerteineinerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
12.2 ExtremwerteinmehrerenVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
12.3 ExtremwertemitNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.4 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.5 DasHamilton’schePrinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393