Tafeln für die Differenzenrechnung sowie für die Hyperbel-, Besselschen, elliptischen und anderen Funktionen

73 Pages·1933·10.178 MB·German

by  Keiichi Hayashi

Tafeln
für die Differenzenrechnung sowie für
die Hyperbel-, Besselschen, elliptischen
und anderen Funktionen
von
Keiichi Hayashi
Professor a.n der Kaiserlichen Kyushu-Universität
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1933
ISBN 978-3-662-35479-7 ISBN 978-3-662-36307-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-36307-2
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1933 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1933
Vorwort.
Die Tafeln für die Differenzenrechnung, die in Tafel I vorgelegt sind, lassen sich dadurch aufstellen,
daß man bei der Funktion, von der man für eine Reihe von den mit gleichem Intervall fortlaufenden
Argumentwerten x ± n h die Entwicklungen nach dem Taylorschen Satze zu bilden hat, sukzessiv
die Differenzen berechnet. Sie hatten eigentlich den besonderen Zweck, meinem eigenen Bedürfnis zu
genügen, das mir bei der Herstellung von mathematischen Tafeln seit ungefähr zehn .Jahren wiederholt
ankam. Seitdem sind sie von mir, einmal in der Gestalt von Formeln und ein andermal in der von Tafeln,
die gerade die Form der vorgelegten hatten, in Druck gegeben 1. .Jedesmal mußte ich aber mich dabei
bis zu einem gewissen Grade zurückhalten, die Sache nicht zu sehr ins Große zu treiben; ich schwebte
damals in Ungewißheit, ob es noch keine ähnlichen Tafeln gäbe, denn die Grundidee des vorgeführten
Verfahrens ist leicht zu fassen, die Tafel die nach ihr herzustellen ist, läßt eine große Anwendbarkeit
vermuten. Diese sollte doch schon seit langem den Anlaß zur Entstehung irgendwelcher Tafeln gegeben
haben, nur daß ich eine solche nicht ausfindig machen konnte. Aus dem Grunde aber komme ich nun
auf den Gedanken, die Tafeln aufs neue, und zwar in ihrer vorläufig vollständigen Form zu veröffent
lichen, weil die Anwendung von Differenzenrechnung in neuerer Zeit in den mathematischen sowie
technischen Wissenschaften immer mehr zur Blüte gelangt und sich die Tafeln also, in eine zugängliche
Form gebracht, kaum als überflüssig, vielmehr als ein nützlicher Beitrag in der Weiterentwicklung der
Wissenschaft erweisen dürften. Die Formeln der höheren Differentialquotienten von einigen Funktionen,
die beim Gebrauche der Tafeln das dauernde Nachschlagen in den Lehrbüchern ersparen sollen, sind
noch beigefügt.
Ich benutze noch die Gelegenheit, darauf aufmerksam zu machen, daß sich der Grundgedanke, die
Tafel der obenerwähnten Art auf diese Weise herzustellen, noch auf den Fall ausdehnen läßt, daß die
Funktion nach anderen Gesetzen als dem Taylorschen entwickelbar ist. Zum Beispiel lautet bei der
Besselschen Funktion J (x) die Additionsformel:
0
J0 (x ± nh) = J0(x}J0(nh) + 2 [J2(x)J2(nh) + J4 (x)J4 (nh) + · · ·] =t= 2 [J1 (x)J1 (nh) +Ja (x) Ja (nh) + · · · ].
eine Reihe mit den Gliedern von J0 (x), J1 (x), · · ·, die bzw. mit den Koeffizienten J0 (n h), =t= 2 J1 (n x},
· · · versehen sind. Die Werte der einzelnen Koeffizienten berechnet man der Reihe nach, wenn n in einer
Folge die Werte 0, 1, 2, · · · annimmt. h nimmt den Umständen gemäß immer am zweckmäßigsten einen
Wert aus 1, 0,1, 0,01, · · · an. Von jeder Gruppe der so gewonnenen Werte der Koeffizienten gestaltet
man sukzessiv die Differenzen verschiedener Ordnungen. Auf diese Wei~e ist man leicht in der Lage,
von solchen Werten der Differenzen die endgültigen Tafeln für die Berechnung der sukzessiven Werte
von J (x ± n h) aufzustellen (vgl. Tafel II).
0
Die Funktionen enz, e-nz, 6in n x, [oj ;r x, deren Werte für jedes 0,1 von x bereits in meinen
früheren Büchern gebracht sind, sind in Tafel III für kleinere Intervalle tabuliert.
Die Werte der elliptischen Normalintegrale E, E' zweiter Gattung, die parallel mit K, K' schon in
meinem vorigen Werke, den Tafeln der Besselschen Funktionen, angegeben werden mußten, und die
ich infolge unvermeidlicher Umstände unberücksichtigt gelassen habe, liefert Tafel IV für jedes 0,001
von k2 auf der zehnten Dezimalstelle.
Die Besselschen Funktionen Y0 (x), Y1 (x) sind von Watson 2 von x = 0,00 bis 16,00 für jedes
0,02 von Argument ermittelt. Für weitere Argumentwerte, nämlich für 16,00 bis 25,51 sind sie in Tafel V
dargestellt. Der Vollständigkeit halber sind die Funktionen J (x), J (x) für 25,00 bis 25,51 nebenbei
0 1
angegeben.
1 Hayashi: SiebPn- und mehrstellige Tafeln, 1926, S. 275; Die Tafeln der Besselschen Funktionen, 1930, S. 116.
2 Watson, G. N.: Tbeory of Bessel functions. Cambridge 1922.
IV
Die Werte Y~ (x), Y~' (x), · · ·, y~n· (x) für x = 16, 17, · · ·, 25 und Y,. (16), Yn (17), · · ·, Yn (25) für
n = 0, 1, 2, · · ·, 30, die bei der Herstellung der Tafel von Y (x), Ydx) als Hilfswerte bestimmt wurden,
0
zeigen Tafel VI bzw. Tafel VII. Tafel VIII von J (x) -J (x), J (x) -J (x), · · ·; J (x), J (x) -J (x),
0 2 2 4 1 1 3
· · · für x = 1, 2, 3, 4, 5 findet man bei der Feststellung von J1 (x ± h) nützlich. [Tafeln der Bessel
schen Funktionen, S. 115 (17).]
Tafel X von den Potenzen x11, x12 bereichert Tafel XIII in meinem Buch, Sieben- und mehrsteilige
Tafeln, mit zwei Reihen von weiteren Werten, während Tafel IX der Potenzen x4, x5, die sich auf alle
zwei- und dreiziffrigen natürlichen Zahlen von x erstrecken, sicher einen neuen Beitrag zum heutigen
Stand mathematischer Tafeln liefern dürfte.
Zum Schluß richte ich an die Benutzer wie immer die Bitte, mich auf Fehler und Mängel, die sie
entdecken, aufmerksam zu machen.
Fukuoka, im Oktober 1932.
K. Hayashi.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Tafel I. Tafeln für die Differenzenrechnung
Vorbemerkungen . . . . 1
Das Differenzenschema . 4
Werte von n in Ll~+nh 5
A. Werte der Koeffizienten [· · ·], ·. · in der Entwicklung
r r
Llm = ~ hm (x) ± [· . ·] hm + 1 + 1 (x) + - ...
x±nh m! (m+1)!
m=1 6- 7 m= 7. 17
8- 9 m= 8. 18
m=3 10-ll m = 9. 19
m= 4 12-13 m = 10. 15
m= 5 14-15 m = 11. 19
m=6 16 m = 12. 18
A
Werte von m!, für m =I, 2, 3, ... , 12. 9
m.
B. Werte der Koeffizienten f~;J, -(m[~})T' · · · in der Entwicklung der Differenzengruppen:
2
Llx+nh, x-(n+1)h, Ll!+(n-l)h, x-(n+1)h, Ll;+(n-1)h, x-(n+2)h, ··· Ll!,+(n-6)h, x-(n+6)h.
LI ... , LI~ .. , LI~ .. , LI~~. 6-7
n = 0 {
LI~ .. , LI~ .. , LI~?. 8
10-11
n = 10 {:
11
12-13
n = 20 {:
13
4
n = 30 {:
14-15
n=4o{: 16-17
18-19
20
n =50{:
20
C. Werte der Koeffizienten [~i-hm, (J·~·]1)! hm+ 1, · · · für die in B angedeuteten Differenzengruppen,
wenn h = 0,01 ist.
n = 0 21 n = 30 22
n = 10 ..... . 21 n = 40 23
n = 20 ..... . 22 n =50 24
D. Formeln für die höheren Differentialquotienten von einigen Funktionen
1. für die einfachsten Funktionen 20
+
2. nn (a b x2)f' • 21
nn(a+\-;,2)
3. 21
. va
4 nn ( - +1 b x.2. ) • 25
5. f (x) = (a + b x2)f< 25
6. f (x) = y1 + x2 • 25
7. y = ~r~in x 25
8. y = arc sin x 25
9. y = ~r (Eof x 25
10. y = arc cos x 25
VI
Seite
11. y = 2ft %g X • • • • • • • • • • 25
12. y = arc tg x . . . . . . . . 25
13. nn (eax sin b x), nn (eax cos b x) . 26
14. J;u (x), J~v:m (x), · · ·, J(,v:v (x) . . 26
Tafel II. Interpolationstafeln für J (x), J (x)
0 1
Vorbemerkungen . . . . 27
A. Werte von [O]m, [1Jw · · ·, [6]m
m=1 30
m=2 31
m=3 32
m=4 33
B. Werte von J0 (nh), J1 (nh), · · ·, J6 (nh) 34-35
n= 0, 1, ···,55
{
h = 0,0001
C. Werte von J'n_ (0), J~ (0), ... , Jft1v (0) 29
n=0-5
Tafel III. Die Funktionen en x, e -n x, ~in n a·, U:of n x . . . . . . 37
x = 0,00-10,00 für jedes 0,01
Tafel IV. Zehosteilige Tafel der elliptischen Normalintegrale E, E' 61
k2 = 0,000-1,000 für jedes 0,001
Tafel V. Zehosteilige Werte der Besselschen Funktionen Y (x), Y (x) nebst den zwöHstelUgen Werten von
0 1
J (x), J (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0 1
bei Y (x), Y (x), x = 16,00-25,51 für jedes 0,01
0 1
bei J0 (x), J1 (x), x = 25,00-25,51
y;w
Tafel VI. Tafel von 1:·~ (x), Y~' (x), · · ·, (x) . 57
X= 16, 17, ···, 25
Tafel VII. Werte von Yn (16), Yn (17), · · ·, Yn (25) 58-59
n = 0, 1, 2, · · · , 30
Tafel VIII. Werte von
und 36
X = 1, 2, 3, 4, 5
x',
Tafel IX. Werte von af> • • • • • • • 37
x = 1-1000 für jedes 1
Tafel X. Werte von zu, zu . . . . . . . . . 60
x = 1 - 100 für jedes 1
Vierzahnsteilige Werte von %g x, @5ef x . . 66
3 4 12
X=4:>r:' 4:>1:' ···, T:>r:
n n n n
Achtzehnstellige Werte von e2, e4, e- .-, e- , . . . 66
Tafel I.
Tafeln für die Differenzenrechnung.
Vorbemerkungen.
1. Ein Teil der vorliegenden Tafeln und ihre ausführliche Beschreibung befinden sich bereits in des
Verfassers Werke: Tafeln der Besselschen Funktionen, 1930, S. 60 u. 116. Im folgenden wollen wir uns
also mit ihrer kurzen Erklärung sowie der Anweisung zum ~brauche befassen.
Wenn bei der Funktion f (x) ihr Wert sowie die der sukzessiven Ableitungen f' (x), f" (x), • · · ermittelt
sind, lassen sich die Funktionswerte für x ± nh, wobein = 1, 2, ···ist, nach dem Taylorschen Satze:
(1) I (x ± nh) =I (x) ± ~ ~ /' (x) +~;~'I" (x) ± .. ·
berechnen, während sich die Differenzen m-ter Ordnung (vgl. das Differenzenschema, S. 4) analog nach
der Formel ähnlicher ~stalt:
(2)
bestimmen lassen. Die Entwicklung fängt in (2) mit dem Glied von hm fm (x) an. Die Koeffizienten
in den eckigen Klammern stellen darin die bei gegebener Ordnung m von n abhängigen Zahlen dar. Zu
bemerken ist, daß die Zahl für das erste Glied immer gleich m !, also der Koeffizient von hm F (x) in (2)
beständig gleich eins ist.
In den vorliegenden Tafeln sind unter A die Werte der Zahlen [ · · · ], · · · für die Ordnungszahlen
m = 1, 2, · · ·, 12 angegeben, während die Zahl n, die die Argumentstufe anzeigt, bis auf mehr als
± 50 ausgedehnt ist.
2. Mit Hilfe der Tafeln vermag man wohl für eine Reihe von den mit gleichem Intervall h fortlaufenden
Argumentwerten, wenn die Funktion sowie ihre sukzessiven Ableitungen für einen besonderen Wert
von der Reihe bekannt sind, jedes Glied des Differenzenschemas unabhängig voneinander berechnen.
Auf diese Weise leisten die Tafeln bei der Herstellung der mathematischen Tafeln, wie die anderen
ähnlicher Art, hervorragende Dienste.
Überdies ist es möglich, mittels der Tafeln A, in denen n bis auf ± 50 erweitert ist, die Funktions
werte zwischen zwei benachbarten Argumentswerten (z. B. x = 23 und 24), für welche die Werte der
Funktion sowie der sukzessiven Ableitungen bis auf hinreichende Dezimalstellen angegeben sind, für
jedes Hundertstel von der letzten Einheit des betreffenden Arguments (d. h. für jedes 0,01 von x)
einzuschalten. Die Richtigkeit des Ergebnisses findet dabei an der Stelle n = ± 50 eine Kontrolle,
denn die Rechnung schreitet vom oberen Argumentwert nach unten und vom unteren nach oben fort.
Wenn gewünscht, kann man von den Differenzen noch für irgendwelche passende Zwischenwerte des
Arguments (z. B. von x = 23 für 23, 10, 23,20, · · ·, 23,40; von x = 24 f~ 23,90, 23,80, · · ·, 23,60)
im voraus die erforderlichen Werte berechnen. Diese Werte ermöglichen die Kontrolle für geringere
Anzahl von Argumentwerten. Zu diesem Zwecke betrachte man am vorteilhaftesten die TafelnBund C.
Die Tafeln unter B stellen die Werte der Koeffizienten [~;l, (m[~·iTf' · · · für einige Gruppen
von LI ... , LI~ .. , ... , L1 ~ ~. dar. Die Gruppen sind so gebildet, daß sich die im Schema mit geradem m
versehenen Differenzen, in den waagerechten Zeilen, die zu den Argumentwerten x, x ± lO h, x ± 20 h,
x ± 30 h, x ± 40 h, x ± 50 h gehören und die mit ungeradem m, je nachdem Vorzeichen der Koeffizienten
von h, völlig auf einer der solche Zeilen begrenzenden Linien befinden. Die Tafeln unter C geben für den
besonderen Wert h = 0,01 die Werte der Koeffizienten [~;J hm, (~·~·]1)! hm+ 1, • • • in den Entwicklungen
der Differenzengruppen, von denen soeben die Rede war.
Hayashl, Differenzenrechnung. 1
2
Zum Beispiel soll zwischen x = 23-24 die Funktion Y0 (x) für jedes 0,01 von x eingeschaltet werden.
Wir berechnen zuerst für einige Zwischenwerten des Arguments die Differenzen verschiedener Ordnungen.
Man hat [vgl. Tafeln V, VI]:
für X= 23 für X= 24
Y0 (x) = - 0,03598 179 · · · - 0,15283 402 .. .
Y~ (x) = - 0,16166 920 · · · - 0,05305 977 .. .
Y~' (x) = + 0,04341 088 · · · + 0,15504 485 .. .
Es ist h = 0,01. Mit Hilfe von Tafeln unter A berechnet man für x = 23,50 einmal von x = 23 nach
unten, das andermal von x = 24 nach oben. Für eine zweierlei bezeichnete Differenz zweiter Ordnung
ergibt sich [s. S. 8-9]:
LAJ22 3+4911, 24-lilh_ - hZ Yo" (X ) -+ 300 h83 Y!~ " (z) + 30002 h4':! y~v (z) -+ ... 1
+
= { 0,00001 13461 86 .. .
+
0,00001 13461 86 .. .
Für zwei aufeinanderfolgende Differenzen dritter Ordnungen erhält man [s. S. 10-11]_:
J3 _ h3 Y'" ( ) + 1212 h' y~v (z) + 153030 h5 Ycf(z) + ... 1
23+4911, 24-5211- 0 X- 4:! 5! -
Die Rechnung gibt:
.d~4-6211 = ++ 0•05 01171 91" .. - 0 05 00011 79 ...
.d~3+4911 = 0,05 01160 12... ,
Die Werte von .<:1~4_5111, .d~3H911 miteinander und die Differenz - 0,05 00011 79 · · · zwischen den
berechneten .d~3+4911, .<:1~4_5211 mit .d~3H811 =- 0,05 00011 79 · · ·, das man nach der Formel unter C
S. 24 unmittelbar bestimmt, finden eine genaue Übereinstimmung. Für weiteres vergleiche man des
Verfassers Tafeln der Beseelsehen Funktionen, 1930, S. 119.
3. Es ist noch darauf hinzuweisen, daß, wie aus dem Bildungsgesetze der Differenzen hervorgeht,
die den sukzessiven Werten von n entsprechenden Koeffizienten[···] von 11m+(mi1+mi+)!i (x) in (2), d. h.
in der dem .d~±n1l zugehörigen Tafel unter A die Zahlen der (i + 1)-ten Kolonne, abgesehen vom Vor
zeichen, immer die m-ten Differenzen in der Tafel der Potenz nm + i liefern. Also stellen beispielsweise
die Reihen der Zahlen 1 91520, 3 32640, 5 14080, · · · in der dritten Kolonne auf S. 16 der Reihe nach die
Werte der sechsten Differenzen in der Tafel der Potenz n8 dar. Eine solche Tafel von n8 findet man in
des Verfassers Werke, Sieben- und mehrsteilige Tafeln, 1926, S. 267.
4. Schließlich heben wir noch hervor, daß die Tafeln auch dann brauchbar sind, wenn man, falls
irgendwelche Werte von I (x) für eine Folge der Argumentwerte x ± n h gegeben sind, daraus die suk
zessiven Ableitungen von I (x) für einen besonderen Wert von x ermitteln will. Die Argumentwerte
dehnen sich dabei auf einer hinlänglichen Strecke der Abszissenachse von x aus, während die Werte
von I (x) seinerseits bei den transzendenten Funktionen bis auf hinreichende Dezimalstellen angegeben
sind. Aus solchen Werten von I (x) berechnet man schrittweise die Differenzen verschiedener Ordnungen.
Mit Hilie der so gewonnenen Differenzen kann man nach (2) ein System von voneinander unabhängigen
Gleichungen für eine Anzahl von Unbekannten f' (x), f" (x), · · · aufstellen, während man gewöhnlich
sie vorwiegend beim Interpolieren der Funktionswerte in Anwendung bringt. Die in den Gleichungen
einzugehenden Faktoren entnimmt man aus den Tafeln I.
Die sukzessiven Ableitungen für einen besonderen Wert des Arguments festzustellen bildet bei der
Herstellung der mathematischen Tafeln manchmal eine der wichtigsten Aufgaben. Mittels der Ableitungen,
was bei eiiiigen Fällen, z. B. bei den Beseelsehen Funktionen J0 (x) mit anderen von den Ableitungen
herrührenden Ausdrücken J1 (x), J2 (x), ···ersetzt sind, können die Additionsformeln erst in Anwendung
gebracht werden. Die Werte von I (x), die solchem Zweck entsprechen, festzustellen, läuft also daraus
1 Selbstverständlich läßt sich die Rechnung nach den Formeln unter C (S. 24) bequemer durchführen.
3
hinaus, die Funktion für eine gewisse Strecke von x zahlenmäßig zu bestimmen oder nach dem mathe
matischen Ausdrucke, sich längs der Strecke analytisch fortsetzen zu lassen. Diese Strecke läßt sich
mit Inbegriff der oben angedeuteten, nämlich von x ± n h, nach beiden Seiten ausdehnen. Je mehr die
Ableitungen an einer besonderen Stelle von x auf die erwähnte Weise bestimmt sind, desto weiter läßt
sich die Fortsetzung von der betreffenden Stelle von x auf der Abszissenachse ausdehnen. Handelt es
sich darum, solche Werte von f {x) zu ermitteln, was sich am Ende um die Fertigstellung der Funktions
tafel selbst dreht, so ist es im allgemeinen, besonders bei steigendem n keineswegs leicht auszuführen,
denn die Formeln, nach denen die Werte berechnet werden, sind meistens in der Gestalt von unendlichen
Potenzreihen dargestellt. Bei manchen Fällen arbeitet man sich eventuell das passende Verfahren heraus,
nach dem die erforderlichen Ableitungen unmittelbar bestimmt sind.
Die Anzahl der Ableitungen, die als Unbekannte in die Gleichungen eingehen, hängt in einem gegebenen
Fall einerseits von der Anzahl von n, andererseits von der Genauigkeit der angegebenen Werte von f {x)
ab. Von der Argumentstufe h ist sie unabhängig. Solange ausschließlich auf die Bestimmung der Ab
leitungen Rücksicht genommen ist, kann a1so h beliebig gewählt werden. Damit immer diese]be Genauig
keit des Ergebnisses angestrebt sei, müssen die Werte von f {x) bei abnehmendem h selbstverständlich
bis auf immer höhere Dezimalstellen angegeben werden. Von den mathematischen Tafeln, die für eine
endliche Strecke von x aufgestellt sind, haben wir nun zwei Arten zu betrachten. In der einen sind sowohl
die Strecke von x als auch die Argumentstufe h kleiner als in der anderen, während die Ziffern in der
vorderen bis auf höhere Dezimalstellen angegeben sind. Aus dem oben Gesagten geht hervor, daß, insofern
von der analytischen Fortsetzung der Funktionswerte die Rede ist, beiden Arten manchmal die gleichen
Dienste leisten [vgl. die nebenstehenden zwei Täfelchen].
z Jo (:z:) z Jo (z)
o,o6o 0,99910 02024 79751 139 o,o6 0,99910 020
I o6 99663 18go5 651 7 877 538
2 03 923o8 55598 001 8 840 004
O,O'JO o,gg8n 53751 05190 975 0,15 438 291
Wenn man übrigens die Argumentenanzahl n und gleichzeitig die Dezimalstellen der Funktionswerte
immer weiter fortsetzen läßt, können die Ableitungen der Funktion bis auf unbeschränkt höhere Ord
nungen ermittelt werden. Hätte man also den Verlauf von einer Funktion für alle Werten auf irgend
einer Strecke von x, wie klein auch immer die Strecke sein mag, vollständig festgestellt, so würde man
daraus die Funktion für die ganze Strecke von x darstellen können.
1*