Systematische Axiomatik der Euklidischen Geometrie

148 Pages·1924·21.322 MB·German

by  Moritz Geiger

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VORWORT
D l.
ie Ziele, die sich die axiomatische Forschung der Geometrie in den
letzten zwei Jahrzehnten gesteckt hat, hat Hilbert zusammenfassend
I
folgendermaßen charakterisiert: Die Axiomatik habe es sich zur Aufgabe
gemacht, "für die Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches
System von Axiomen aufzustellen und aus denselben die wichtigsten geo
metrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der
verschiedenen Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen
Axiomgruppen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zu Tage tritt". Es
unterliegt keinem Zweifel: die Axiomatik hat die so formulierte Aufgabe in
bewunderungswürdigerWeise gelöst, und dennoch hat sie damit erst einen
Teil der Probleme erledigt, die für die Axiomforschung in Betracht kommen .
. Um Beispiele von Problemen deutlich zu machen, die nach einer andern
Richtung als der von Hilbert angegebenen liegen, werde das System von
Axiomen, wie es etwa von Hilbert an der Spitze seiner Untersuchungen
aufgestellt worden ist, konfrontiert mit jenem anschaulichen Gegenstand,
der den psychologischen Ausgangspunkt der Hilbertschen Axiomatik· wie
jeder anderen gebildet hat: Mit dem Euklidischen Raum. Dieser Raum
erweckt in unmittelbarer Anschauung in seiner Schichtung vonPunk
ten zur Geraden, von Geraden zur Ebene, von Ebenen zum Raum, in seiner
Homogenität, in seiner gleichmäßigen dreidimensionalen Erstreckung einen
so starken Eindruck von Durchsichtigkeit und einfachem inneren Aufbau,
daß man erwarten sollte, daß diese Eigenschaften auch dem System von
Axiomen zukommen, das die Gebilde dieses Raumes fundiert. So wie etwa
die Einfachheit des Aufbaues der Zahlenreihe sich wiederspiegelt in der
Einfachheit der Rechnungsregeln d. h. der Relationsbeziehungen, die die
einzelnen Elemente der Zahlenreihe zueinander in Beziehung setzen. Wer
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mit solchen Erwartungen auf Durchsichtigkeit und Gesetzmäßigkeit des baues erreicht, die ihm bisher fehlten? Sollte es nicht möglich sein, nicht
Aufbaus des Axiomensystems, selbst an eine so durchgearbeitete Axio nur ein bloßes System von Axiomen, sondern auch eine Systematik
matik wie die Hilbertsche herantritt, sieht sie nur zum Teil erfüllt: das der Axiome zu geben, derart, daß bisher verborgene Gesetzmäßigkeiten
zu Beginn der Untersuchungen aufgestellte System von Axiomen präsen im Aufbau des Systems zu Tage treten?
tiert sich nicht als ein organisches Ganzes. Man muß die Axiome hin Der Unterschied zwischen einer solchen systematischen Axiomatik
nehmen, weil nun einmal jedes Einzelne von ihnen sich als zum Aufbau und derjenigen, die sich an der Eignung zum Aufbau der Geometrie orien
der Geometrie notwendig erwiesen hat. Aber sieht man von dieser ihrer tiert, ist etwa dem Unterschied vergleichbar, der bis vor wenigen Jahren
Funktion ab und betrachtet das System der Axiome für sich selbst, so - bis zu jener neueren Entwicklung, die durch die Entdeckung der Radio
wirken sie zum großen Teil als ein bloßes Nebeneinander, als eine aktivität eingeleitet wurde - zwischen dem Vorgehen der analytischen
Häufung von Forderungen, ohne- die zwingende Notwendigkeit eines Chemie und den Betrachtungen des periodischen Systems der Elemente
einheitlichen Gefüges. Unvermittelt taucht neben den Axiomen der Ver bestand: Der Gang der analytischen Chemie ist regressiv: Man suchte
knüpfung das Parallenaxiom auf, eine so spezielle Aussage festlegend durch Analyse zu den letzten Elementen, aus denen sich die komplizierten
wie die, daß in einem Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser Geraden chemischen V erbindangen zusammensetzen, ebenso vorzudringen, wie die
nur eine Parallele möglich ist. Und neben die so durchsichtigen Axiome Geometrie zu den letzten nicht weiter zurückführbaren Sätzen, den Axiomen,
der Zwischenrelation: "Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und aus denen sich die Lehrsätze ableiten lassen. Das periodische System da-.
B zwischen C und A liegt, so liegt B auch zwischen A und C" und "Unter gegen betrachtete die derart gefundenen Elemente selbst; es stellte eine
irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der Systematik der Elemente auf, ordnete sie in Reihen-und so gelang es nicht
zwischen den beiden andern liegt" stellt sich unmittelbar ein Axiom von nur, eine Gesetzmäßigkeit zu finden, wie die, daß die Elemente derselben
solcher Kompliziertheit wie das sogenannte Axiom von Pasch, das Aus Reihe verwandte chemische Eigenschaften zeigen, sondern die Lücken im
sagen über den Schnitt einer Geraden mit den Seiten eines Dreiecks macht. System erlaubten auch, die Existenz bisher unbekannter Elemente mit
Oder: Die Axiome der Stetigkeit spannen zwei so heterogene Axiome wie ihren Eigenschaften vorauszusagen. Sollte es nicht in ähnlicherWeise mög
das Archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom zu lich sein, neben die Axiomatik, die sich mit den Axiomen als Fundamen
sammen - jenes Vollständigkeitsaxiom, das, so unbestreitbar seine Gül ten des geometrischen Aufbaues beschäftigt, eine Betrachtungsweise zu
tigkeit ist, doch aus der Linie der übrigen Axiome herauszufallen scheint; stellen, die die Axiome selbst zum Gegenstand syst13matischer Überlegungen
weshalb es auch immer wieder das Befremden der Mathematiker erregte, macht, und dem Aufbau des Systems der Axiome denselben Grad von
ohne daß man sich von der Ursache dieses Herausfallens Rechenschaft zu Durchsichtigkeit zu verschaffen, wie ihn der Euklidische Raum in seiner
geben vermochte. Konstitution besitzt? Das ist die- Fragestellung, zu deren Beantwortung
Diese Härten und Ecken des Systems der Axiome legen den Gedanken die folgende Untersuchung die Grundlinien zu ziehen unternimmt.
nahe, das Problem der Axiomatik auch von einer andern Seite her anzu
packen: Die Axiome selbst, nicht nur ihre Eignung zur Grund 9.
legung der Geometrie, einer besonderenUntersuch ung zu un Zwei methodische Gesichtspunkte sind es, die .vor allem die folgenden
terziehen. Sollte es nicht möglich sein, die Axiome derart umzugestalten, Betrachtungen beherrschen : der erste besteht darin, daß die gesamte Geo
daß ihr System die Durchsichtigkeit und Folgerichtigkeit des inneren Auf- metrie als ein relationstheoretisches Gebäude aufgefaßt wird,- daß
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Ernst gemacht wird mit der relationstheoretischen Auffassung der geome sondern muß auf die geometrischen Gebilde selbst in ihrer Eigenart zu
trischen Gebilde. Es ist merkwürdig, daß die konsequente Durchführung rückgehen und ihre relationstheoretischen Beziehungen symbolisch zu fas
des relationstheoretischen Gesichtspunktes und die Benutzung einer hier sen suchen. Ein großer Teil des ersten Abschnitts ist dem Versuch ge
auf aufgebauten Symbolik noch niemals systematisch in Angriff genom widmet, die Grundlage für diese Anwendung der Relationssymbolik zu
men worden ist. An Ansätzen hierzu, vor allem aus den Kreisen der ma schaffen.
thematischen Logik heraus, fehlt es nicht, doch werden die Anfänge sol Der relationstheoretische Gesichtspunkt ist freilich keineswegs an allen
cher Betrachtungsweise immer wieder nach andern Richtungen hin um Stellen durchgehalten. Beim Problem des Desarguesschen Satzes ist er nur
gebogen, da die mathematische Logik sich weit weniger für eine symbo angedeutet, den Pascalsehen Satz einzubeziehen ist nicht einmal der V er
lische Fassung des relationstheoretischen Bestandes geometrischer Gebilde such gemacht worden: Der Grund ist nicht etwa in einem prinzipiellen
interessiert als für eine Symbolisierung des I o g i s c h e n Verfahrens, das Versagen der relationstheoretischen Betrachtungsweise diesen Sätzen ge
in der Geometrie zur Anwendung kommt. Und doch hätte schon die Frucht genüber zu suchen; diese beiden Sätze relationssystematisch durchzuar
barkeit der Betrachtungsweise der analytischen Geometrie auf den Wert beiten, hätte vielmehr umfangreiche Überlegungen notwendig gemacht,
einer relationstheoretischen Symbolisierung der geometrischen Tatbestände die komplizierteren Relationssysteme hätten systematisch durchforscht wer
aufmerksam machen können. Diese Fruchtbarkeit rührt ja nicht einzig den, beim Pascalsehen Satz auch die Beziehung der Relationssymbolik zum
daher, daß die Geometrie durch ihre Analogisierung mit der Algebra An Stetigkeitsproblem untersucht werden müssen, sodaß es ratsam schien, diese
teil an deren einfachen und durchsichtigen Gesetzmäßigkeilen gewinnt, im Verhältnis zum Ganzen allzu ausgedehnten Diskussionen zunächst zu
sondern ebenso sehr daher, daß durch diese Analogisierung überhaupt die rückzustellen. Es entsteht hierdurch eine Lücke in der Systematik, die durch
Vorteile symbolischer Rechnungsweisen Gewalt gewinnen über die Sprö spätere Forschungen ausgefüllt werden muß.
digkeit der sich zunächst als wesentlich qualitativ darstellenden Gesetz
mäßigkeiten der Geometrie. Aber sollte es, um die Vorteile einer Sym 3·
bolisierung zu genießen, erst des Umweges über die algebraische Aus Der zweite methodische Gesichtspunkt, der sich als wesentlich heraus-
deuturig des Geometrischen bedürfen? Was die algebraischen Rechnungs stellen wird, ist die Auffassung der geometrischen Axiome (soweit sie Aus
verfahren tun, ist ja schließlich nichts anderes, als daß sie Gesetzmäßig sagen über Relationen von Elementen machen) als einer Einschränkung
keilen von Relationsbeziehungen symbolisch fassen. Weshalb sollte dazu mathematischer Möglichkeiten ( 1. Abschn. '2. Kap. § 6-§ 7 ). Die nächst
die Geometrie nicht unmittelbar auf ihrem eigenen Boden imstande sein? liegende und von der Axiomatik fast ausschließlich angenommene Auf
Indem man die relationstheoretischen Beziehungen zwischen den Elemen fassung ist die, die Axiome als F o r der u n g e n zur Setz u n g bestimmter
ten der Geometrie symbolisch einkleidet, erhält man eine keineswegs der geometrischer Tatbestände anzusehen. Für die relationstheoretische Betrach
analytischen Geometrie an systematischen Möglichkeiten nachstehende, tungsweise erweist sich systematisch ein anderer Gesichtspunkt als frucht
wenn auch andersartige und für andere Probleme nutzbringende Symbolik. barer: Bevor man die Forderung aufstellt, die durch das Axiom ausge
Freilich muß man zu diesem Zwecke die Geometrie selbst etwas anders drückt wird, bestehen noch eine Reihe, zuweilen auch unbegrenzt viele
auffassen, als es gewöhnlich geschieht. Man kann nicht einfach (wie es Möglichkeiten in Hinsicht auf den Tatbestand, von dem das Axiom spricht.
di~ vorhandenen Ansätze zur geometrischen Symbolik tun) die in der Geo Ehe ein Axiom bestimmte Festlegungen macht, können z. B. Gerade exi
metrievorkommenden logischen Schlußfolgerungen symbolisch ausdrücken, stieren, .i n denen 0 Punkte liegen, Gerade, in denen 1 Punkt liegt, 2
VIII IX
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Punkte, 5 Punkte usw. Ein Axiom von der Form: "In einer Geraden gibt keiten charakteristisch sind. So z. B. gilt für alle Räume dieses Typus, daß
es mindestens zwei Punkte", schließt aus der Fülle der Möglichkeiten die zwei Elemente eines Elementensystems 21: und Jl\ (zwei Gerade z. B.) iden
1
jenigen aus, die die Existenz von Geraden mit 0 oder 1 Punkt zulassen. tisch sind, wenn alle Elemente eines anderen Systems, die in 21:1 liegen,
So läßt sich jedes Axiom, das über die Beziehung von Elementen Aus zugleich auch in ,18- liegen (alle Punkte z. B., die in der einen Geraden
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sagen macht, als ein Verbot, als ein Ausschluß, als eine Einschrän liegen, auch in der anderen liegen); oder daß es unmöglich ist, eine end
kung vorher bestehender Möglichkeiten auffassen. In dem Stammbaum liche Anzahl von Elementen eines Systems (Punkte z. B.) ausfindig zu
mathematischer Möglichkeiten, die sich durch Differenzierung einer Be machen, in denen die Gesamtheit aller Elemente eines anderen (alle Ge
ziehung in ihre Unterfälle ergeben (z. B. die Beziehung der Geraden in rade z. B.) liegen. Der Euklidische Raum gehört zu dem Typus von
Bezug auf die Zahl von Punkten in ihr), tötet das Axiom bestimmte Mög Räumlichkeit, in dem solche Bestimmungen gelten, aber auch z. B. die
lichkeiten und damit auch alle von dieser Möglichkeit abstammenden Mög Räume, von denen die Relativitätstheorie spricht. Gibt man hingegen diese
lichkeiten. Grundbestimmungen auf, so gelangt man zu Räumen von prinzipiell an
Diese Auffassung hat nicht nur den Vorteil, daß sie den Axiomen eine derem Typus.
bestimmte systematische Stelle innerhalb des Stammbaumes der Relationen Solchen allgemeinen Bestimmungen gegenüber bedeuten Axiome, wie
anweist, sondern, daß sie auch erlaubt, eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten das folgende: "Drei nicht auf einer und derselben Geraden gelegene Punkte
darüber abzuleiten, welche Relationsformen Axiome zulassen und welche A, B, C bestimmen stets eine Ebene a" Charakteristika ganz besonderer
nicht. Art: Während jene erwähnten Gesetzmäßigkeiten ganz allgemeine Be
Daß die Setzung existentialer Bestimmungen mathematisch als Aus stimmungen der Elemente und der Beziehungen zwischen ihnen betreffen,
schluß entgegenstehender Möglichkeiten aufzufassen sei, ist ein Gedanke, ohne zu differenzieren, ob es sich um Punkte oder Gerade oder Ebenen
der bei Philosophen, in deren Philosophie mathematische Analogien und handelt, spezialisieren Axiome, wie das soeben angeführte, die einzelnen
Methoden hineinwirkten, seit langem eine Rolle gespielt hat. Es ist kein Elementensysteme, geben Eigentümlichkeiten der Beziehungen von Punk
Zufall, daß der Satz: "Omnis determinatio est negatio", von einem Manne ten zur Ebene, die nicht ohne weiteres auf die Beziehungen anderer Ele
herrührte, der die Philosophie "more geometrico" zu gestalten versuchte. mentensysteme übertragen werden dürfen. Man darf z. B. nicht analogi
Die Anwendung dieses Prinzips auf die Welt der Realität und damit auf sieren: Drei Punkte bestimmen stets eine Gerade usw. Und dasselbe gilt
I
I
die Metaphysik war verfehlt- als Leitfaden begrifflicher und ma für eine Reihe anderer Axiome.
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thematischer Differenzierung dagegen ist dies Prinzip von nicht Für jene Axiomatik, die sich für die Axiome nur als Mittel zum Auf
zu unterschätzender Tragweite. bau der Geometrie interessiert, stehen die allgemeinsten Bestimmungen,
die die allgemeinen Eigenschaften der Elemente des übergeordneten Typus
4· Räumlichkeit angeben, völlig in einer Reihe mit den spezifischen, die den
Die Einordnung der Axiome in den Stammbaum relationstheoretischer Euklidischen Raum in seiner Sonderart charakterisieren. Beide sind not
Möglickeiten ist die Grundlage für alle weiteren Überlegungen. Sie findet wendige, nicht weiter zurückführbare Forderungen, beide sind letzte Grund
eine aufschlußreiche Auswertung innerhalb folgenden Gedankenganges: lagen der geometrischen Ableitungen. Die s y s t e m a t i s c h e Betrachtung
Der Euklidische Raum ist Sonderfall eines allgemeinen Typus von der Axiome dagegen setzt die beiden Arten von Bestimmungen in Gegensatz
Räum 1 ich k e i t, für den ganz allgemeine und primitive Gesetzmäßig- zu einander: Die allgemeinsten Bestimmungen gewinnen den Vorrang vor
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unmittelbar als realisierbar erwmsen, oder ebenso unmittelbar als unre
den spezifischen Axiomen. Indem sie ganz allgemein den übergeordneten
alisierbar.
Typus Räumlichkeit, dem der Euklidische Raum neben vielen andern Räu
Da die Postulate für alle Sondergestaltungen der allgemeinen Räum
men angehört, charakterisieren, legen sie Bedingungen fest, mit denen kein
lichkeit gelten, die durch die Postulate besti~mt sind, so gelten natur
spezifisches Axiom kollidieren darf. Ihre systematische Bedeutung ist daher
gemäß auch diese Ableitungen über die Realisierbarkeit bestimmter Rela
die, daß sie Forderungen an die spezifischen Axiome stellen, Ver
tions-Möglichkeiten und -Unmöglichkeiten ebenfalls für alle Räume, die
bote für dieAufstell ung von spezifischen Axiomen, nämlich
jenem allgemeinen Typus von Räumlichkeit angehören.
für alle solchen Axiome, die mit diesen Bestimmungen oder Folgerungen
Es gibt jedoch auch mathematische Möglichkeiten, über deren not
aus ihnen in Konflikt kommen könnten. Wir nennen solche F o r der u n g e n
wendige Realisierbarkeit oder Nichtrealisierbarkeit sich aus den Postulaten
an Axiome im Folgenden Postulate und scheiden sie streng von den
nichts entnehmen läßt. Sie bleiben offen, sie sind "freie Möglichkeiten".
Axiomen, welche Forderungen an die Existenz geometrischer
So z. B. wird durch die Postulate und die Folgerungen aus ihnen nichts
Tatbestände darstellen (2. Abschnitt, 4· Kap.§ 2). Es existieren jedoch
darüber ausgesagt, ob zwei verschiedene Gerade sich in zwei Punkten
zwei verschiedene Arten solcher Postulate: Die einen, die ihrem Wesen
schneiden können. In Bezug auf jene aus den Postulaten, den allgemein
nach selbst geometrische Tatbestände unmittelbar festlegen (wie jene oben
sten Bestimmungen des Räumlichkeitstyps, abgeleiteten Möglichkeiten oder
angeführten Bestimmungen der allgemeinen Eigenschaften der Elemente
Unmöglichkeiten der Relati~nsbeziehungen haben die Sonderfälle von Geo
der Räumlichkeit) und die nur innerhalb einer bestimmten Systematik p o
rrietrien keine Freiheit mehr. Der Unterschied zwischen den einzelnen
s tu l a t i v e n Charakter tragen, weil sie Beschränkungen für die spezi
Geometrien kann nur in Bezug auf die nicht aus den Postulaten ableit
fischen Axiome darstellen, und die andern, die keine unmittelbaren Aus
baren, in Bezug auf die "freien" Möglichkeiten existieren. Und hier nun
sagen über geometrische Tatbestände machen, sondern deren Bedeutung
sich darin erschöpft, Anforderungen an Axiome zu stellen, Bestim gilt für die Euklidische Geometrie ~ soweit die Axiome der Ver
knüpfung und der Anordnung in Frage stehen - das Gesetz, daß überall
mungen über Axiome zu geben. Postulate von beiden Typen finden in der
dort, wo sich über Relationsbeziehungen aus den Postulaten keine Ablei
Systematik der Euklidischen Geometrie ihre Stelle.
tung ihrer Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Realisation ergibt, ein
Unter diesem Gesichtspunkt des Gegensatzes von Postulaten und Axi
a x i o m a t i s c h es Verb o t einsetzt. In dem als Beispiel angeführten Fall
omen klärt sich auch die Stellung des sogenannten Vollständigkeitsaxioms:
einer freien Möglichkeit tritt also folgendes Axiom ein: Zwei verschiedene
Es macht keine Aussagen über geometrische Tatbestände, sondern es stellt
Gerade schneiden sich niemals in zwei Punkten.
Forderungen an die Axiome; es ist daher kein Axiom, sondern ein Postu
Dieses Gesetz des Verbots freier Möglichkeiten ist ein Gesetz; das einzig
lat - ein Postulat freilich von ganz anderer Bedeutung als jene Postulate,
der Euklidischen Geometrie zukommt. Es läßt sich daher umgekehrt als
die aus den allgemeinsten Bestimmungen der Räumlichkeit herrühren
spezifisches Postulat für die Axiome der Verknüpfung und der Anord
(2. Abschnitt, 6. Kap., § 17).
nung der Euklidischen Geometrie formulieren. Wenn man die Forderung
Legt man diese allgemeinen Postulate der Diskussion des Stammbaumes
an die Axiome der Euklidischen Geometrie stellt, überall dort einzusetzen,
mathematischer Möglichkeiten zugrunde, so zeigt sich eine merkwürdige
wo die andern Postulate Möglichkeiten offen lassen, dann gelingt es durch
Gesetzmäßigkeit sowohl bei den Axiomen der Ver kn üpfung als auch
diese Forderung, sowohl die Axiome der Verknüpfung als auch der Anord
bei denen der Anordnung. Eine große Zahl mathematischer Möglich
keiten lassen sich auf Grund der Postulate (und verwandter Festsetzungen) nung zu "deduzieren" (Abschn. 2, Kap. IV,§ 1-25, Kap. V,§ 5---10).
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Mit einer Einschränkung jedoch: Diese Deduktion der Axiome führt die Geometrie einfacher gestaltete, dadurch daß sie auf das Parallelen-
keineswegs zu den Axiomen der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie, axiom verzichtete, während ein Ve rzieht auf eines der andern Axiome
sondern zu denen der pro j e k t i v e n. Das Parallelenaxiom kann nicht aus nicht bloß keine Vereinfachung, sondern im Gegenteil eine Änderung des
dem Postulat des Verbots ..f reier Möglichkeiten deduziert werden, sondern Grundcharakters der Geometrie bedeutet hätte, läßt von vornherein ver
an seine Stelle tritt das Axiom: Zwei Gerade der Ebene schneiden sich muten, daß der Axiomcharakter des Parallelenaxioms auf einer andern
stets in einem Punkte (12. Abschn., 4· Kap., § 6). Die "normale" Geometrie Basis ruht als der der übrigen spezifischen Axiome. Die Deduktion der
im Sinne der Deduktion ist daher die pro j e k t i v e Geometrie, die auf den Axiome auf Grund des Postulats des Verbots freier Möglichkeiten bestätigt
Parallelismus verzichtet. Die Existenz von Parallelen in der gewöhn nach dem Gesagten diese Vermutung.
liehen Euklidischen Geometrie bedeutet also eine "Anomalie" dieser Geo
metrie. Der Parallelismus findet seine Einbruchsstelle in dem Stammbaum 5·
mathematischer Möglichkeiten, indem an einer Stelle freie Möglichkeiten Für die Axiome der Anordnung im Speziellen hat die systema-
fortbestehen. Und hieraus ergibt sich ahne weiteres-'--- rein aus dem Auf tische Betrachtungsweise ebenfalls eine Reihe instruktiver Ergebnisse zur
bau der Axiomatik selbst -, daß Axiome über Parallelismus von den üb Folge: Aus ihr ergibt sich z. B. eine Erklärung für die Tatsache, daß eine
rigen Axiomen der Verknüpfung unabhängig sind - es bedarf dazu keines unverhältnismäßig große Zahl von Gegenstandsbereichen.sich auf die Punkte
Rekurses auf andere Formen von Geometrien. ·der geraden Linie abbilden, d. h. in lineare Ordnung bringen lassen. Es
Die eigenartige sachliche und historische Stellung des Parallelenaxioms stellt sich nämlich . heraus, daß es nur einen einzigen Typus einer ein
ist damit geklärt (12. Abschn., 4· Kap., § 126-31). Es war das berechtigte eindeutigen asymmetrischen transitiven Relation gibt, denjenigen, der in
Bestreben jener Axiomenforschung, die sich für die Axiome in ihrer Stel der linearen Ordnung realisierbar ist. Alle V ersuche, andere Typen solcher
lung im Aufbau der Geometrie interessierte, die gesamte Axiomatik zu Relationen aufzustellen, führen auf Widersprüche. Deshalb müssen alle
nivellieren, zu zeigen, daß ein Axiom so gut sei wie das andere, und daß Gegenstandsbereiche, deren Gegenstände in einer ein-eindeutigen asym
daher auch das Parallelenaxiom als Axiom keine andere Bedeutung haben metrischen transitiven Relation stehen, sicli auf einander abbilden und
::': könne als andere Axiome. Aber damit war gerade eine wesentliche Seite damit auf den paradigmatischen Gegenstandsbereich, die Punkte der ge
1, des Pr~blems verwischt: Wie kommt das Parallelenaxiom zu der Sonderstel raden Linie, abbilden lassen. (12. Abschn., 5· Kap., § 4).
lung, die es von jeher hatte? Wie kommen die Geometrien, die statt des Diese Tatsache der Einzigkeit der asymmetrischen transitiven Relation
Parallelenaxioms andere Axiome einführen, zu der relativ bevorzugten hat weittragende Folgen für die Anordnungsverhältnisse der Punkte im
Bedeutung in den mathematischen und physikalischen Untersuchungen, Euklidischen Raum. Sie hat zur Folge, daß für die Gesetzmäßigkeiten der
während Geometrien, die auf andere Axiome verzichten, lange nicht diese Zwischenrelation der Punkte der geraden Linie ein rein formales
Rolle spielen? Sollte nur die Tatsache, daß eine relativ große Zahl von Axiom aufgestellt werden· kann: "Wenn bei vier Punkten einer Geraden
Lehrsätzen ohne Zuziehung des Parallelenaxioms beweisbar ist, oder auch A, B, C, D zwei Zwischenrelationen der Punkte bekannt sind (etwa daß
die so wenig einsichtige Form, die das Parallelenaxiom in der Fassung Euklids B. zwischen A und C liegt und C zwischen B und D), so sind auch die
erhalten hatte, daran schuld sein, daß die Aufmerksamkeit gerade auf das beiden andern· Zwischenrelationen auf Grund einer feststehenden Gesetz
Parallelenaxiom gelenkt wurde, oder hat die historische Entwicklung einen mäßigkeit bekannt. Aus dieser formalen Forderung einer feststehenden
. sachlichen Hintergrund? Schon der Umstand, daß die projektive Geometrie Gesetzmäßigkeit läßt sich ableiten, welches der Inhalt dieser Gesetz-
XIV XV
mäßigkeit ist (daß im angegebenen Beispiel aus ihr folgt, daß B zwischer1 für die Geometrie von vier uncl niehr Dimensionen ihre Berechtigung
A und D, und C zwischen A und D liegen muß). Denn alle V ersuche, eine haben. Dabei steht zu erwarten, daß die Durchführung nicht für jede Di
andere Gesetzmäßigkeit für die Relationen zugrunde zu legen, führten auf mensionenzahl gesondert vorgenommen zu werden braucht, sondern daß
Widersprüche (g. Abschn., 5. Kap., § g). sich bei einer Reihe von Punkten die Betrachtungen so allgemein halten
Diese Formalfassung des Zwischenaxioms läßt sich von der Geraden lassen, daß sie für Geometrien von n-Dimensionen gelten.
auf die Ebene übertragen und bewirkt damit eine entscheidende Umbil Weiterhin beschränkt sich die vorliegende Untersuchung auf die nor
dung des Axioms von Pasch. Jene Ungleichwertigkeit der vier Geraden, male Geometrie. Die einzige Anomalie, die herangezogen wird, ist die
wie sie im Axiom von Pasch störend wirkt, verschwindet: Es wird von den des Parallelismus, aber auch hier ist nur diejenige Form der Verwendung
vier Geraden eines vollständigen Vierseits ausgegangen, und es werden die des Parallelismus berücksichtigt, die in der gewöhnlichen Euklidischen
Tripel von Schnittpunkten betrachtet, die jede Gerade durch den Schnitt mit. Geometrie realisiert ist. Es wäre eine wichtige Aufgabe der systematischen
den drei anderen bildet. Und auch hier gilt: Wenn die Verhältnisse der Zwi Axiomatik, diejenigen Arten von Geometrien prinzipiell zu durchforschen,
schenrelationen der Tripel auf zwei von diesen vier Geraden bekannt sind, die durch Einführung von Anomalien in die Axiomatik der projektiven
so sind auch die beiden anderen nach einer feststehenden Gesetzmäßigkeit Geometrie entstehen. Dabei wäre vor allem jene Geometrie interessant,
bekannt, Und auch hier läßt sich aus_ der formalen Tatsache der In h a 1t die der Euklidischen Geometrie genau entgegengesetzt ist: die überhaupt
der Gesetzmäßigkeit ableiten. Es zeigt sich hiebei, daß die relationstheo keine freien Möglichkeiten des Ineinanderliegens von Elementen verschie
retische Formulierung dieser Gesetzmäßigkeit für das vollständige Vierseit dener Systeme verbietet, demnach überhaupt keine s p e z i fischen Axiome
eine völlige Analogie zu den Gesetzmäßigkeiten der Zwischenrelation auf der V erknüpfung kennt.
der Geraden ergibt. Damit verschwindet die Sonderstellung des Paschsehen Endlich aber Hegt kein Grund vor, die relationstheoretische systema
Axioms innerhalb der Axiome der Anordnung. - tische Untersuchung nur auf die Axiome zu beschränken. Es müßte ver
In ähnlicher Weise werden auch das Archimedische Axiom und die sucht werden, das ganze Gebäude der Geometrie relationstheoretisch
Kongruenzaxiome in ihrer Stellung im System der Axiome durch die syste zu studieren - es ist mir nicht zweifelhaft, daß diese Betrachtungsweise der
matische Betrachtungsweise wesentlich geklärt. gesamten Geometrie ebenso mancherlei Verborgenes zu Tage fördern wird,
wie sie innerhalb der Axiomatik überraschende Aufschlüsse gebracht hat.
6.
In der vorliegenden Untersuchung sind die Probleme, die sich aus der 7·
systematischen Betrachtung der Axiome ergaben, keineswegs nach Mathematisch und relationstheoretisch ist dievorliegende Un-
allen Richtungen hin der Lösung entgegengeführt. Mehr als ein Problem tersuchung angelegt und aufgebaut. Dennoch will und kann sie nicht ver
ist unerledigt geblieben (auch abgesehen von jener Lücke in der Behand leugnen, daß sie von philosophischen Studien über Axiomatik ihren
lung der ebenen Geometrie, die sich daraus ergibt, daß weder der Desar Ausgang genommen hat. Im Verlauf solcher Studien zeigte sich bald, daß
guessche noch der Pascalsehe Satz relationstheoretisch behandelt wurde). die philosophische Erörterung in den vorliegenden Behandlungen der Axi
So hat sich die Untersuchung einzig auf die Euklidische Geometrie von omatik nicht die ausreichend festen Anknüpfungspunkte findet, und so
drei Dimensionen beschränkt. Dieselben Grundsätze, die bei der Geometrie ergab sich die Aufgabe, zunächst einmal mathematisch den Boden zu
von drei Dimensionen zu;m Erfolg geführt haben, müssen jedoch auch bereiten für weitere philosophische Diskussionen. So ist diese Arbeit aus
fCVI XVII
der Philosophie erwachsen, um selbst wieder der Philosophie zu dienen.
Das besagt natürlich nicht, daß ihre mathematischen und relationstheo
retischen Ergebnis~e von der Annahme irgend einerphilosophischen Lehr
meinung abhängig wären. Ich habe mich im Gegenteil bemüht, alles in
engerem Sinn Philosophische aus der Darstellung auszuscheiden- die
INHALT
philosophische 9"rundlegung sowohl wie die philosophische Auswertung
sollen einer. andern Gelegenheit aufgespart werden. Vorwort ............................. V
• 0 •••••••• , ••••••••••
Mehr als einem unter meinen mathematischen Freunden bin ich zu
I. Abschnitt
Dank verpflichtet für das Interesse, das er meinen Untersuchungen wäh
Das Problem und die Methode
rend der Zeit der Entstehung dieses Buches entgegengebracht hat; vor
allem Herrn Prof. Dr. Rosenthalin Heidelberg für die Förderung I. Kapitel
durch kritische Anmerkungen zu dem ersten Drittel des Buches, sowie Die Wesensaxiomatik
für die Anmerkungen von Herrn Dr. Fritz London in Göttingen § 1. Die formallogische Auffassung der Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
zu dem ganzen Buch. Ferner Herrn Studienassessor Pan k e und Herrn § 2. Die inhaltliche Auffassung der Axiomatik ..................... . 6
§ Ö· Die Abbildung einer Gegenstandswelt durch die Axio~e ........... .
D r. L o n d o n für die Mithilfe bei der Lesung der Korrekturen. Mit ganz 9
§ 4· Die Wesensaxiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
besonderer Dankbarkeit jedoch möchte ich der allzu früh verstorbenen Ma
§ 5· Echte und unechte Definitionen und Lehrsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
thematikerin Dr. Else Schöll gedenken, deren nie ermüdende Anteil § 6. Das Prinzip der Unverträglichkeitsfassung mathematischer Sätze .... , . . 17
nahme an dem Wachsen der Untersuchung mich immer wieder antrieb,
II. Kapitel
die mehr als einmal liegen gelassene Arbeit wieder aufzunehmen.
Die systematische Axio:matik
Göttingen, Oktober 192-5. § 1. Die Forderung der Vollständigkeit des Axiomensystems . . . . . . . . . . . . . 2o
Moritz Geiger. § 2. Die Methode der Unableitbarkeitsbeweise ....... , . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 3· Ein prinzipieller systematischer Mangel der Unableitbarkeitsbeweise . . . . 25
§ 4· Die Unabhängigkeit der Axiome von einander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 5· Die Ordnung der Axiome. Die Einschließung und die Ausschließung von
Möglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . 28
§ 6. Qualifizierte, mathematische und begriffliche Möglichkeiten . . . . . . . . . . 29
§ 7. Existenzsetzende und charakterisierende Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 8. Die drei Prinzipien zur Aufsuchung der Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II. Abschnitt
Die Durchführung der systematischen Axiomatik
I. Kapitel
Die Axiome der Elementensetzung
§ 1. Die Aufstellung der Axiome ............ ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
XVIII XIX
der Philosophie erwachsen, um selbst wieder der Philosophie zu dienen.
Das besagt natürlich nicht, daß ihre mathematischen und relationstheo
retischen Ergebnis~e von der Annahme irgend einerphilosophischen Lehr
meinung abhängig wären. Ich habe mich im Gegenteil bemüht, alles in
engerem Sinn Philosophische aus der Darstellung auszuscheiden- die
INHALT
philosophische 9"rundlegung sowohl wie die philosophische Auswertung
sollen einer. andern Gelegenheit aufgespart werden. Vorwort ............................. V
• 0 •••••••• , ••••••••••
Mehr als einem unter meinen mathematischen Freunden bin ich zu
I. Abschnitt
Dank verpflichtet für das Interesse, das er meinen Untersuchungen wäh
Das Problem und die Methode
rend der Zeit der Entstehung dieses Buches entgegengebracht hat; vor
allem Herrn Prof. Dr. Rosenthalin Heidelberg für die Förderung I. Kapitel
durch kritische Anmerkungen zu dem ersten Drittel des Buches, sowie Die Wesensaxiomatik
für die Anmerkungen von Herrn Dr. Fritz London in Göttingen § 1. Die formallogische Auffassung der Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
zu dem ganzen Buch. Ferner Herrn Studienassessor Pan k e und Herrn § 2. Die inhaltliche Auffassung der Axiomatik ..................... . 6
§ Ö· Die Abbildung einer Gegenstandswelt durch die Axio~e ........... .
D r. L o n d o n für die Mithilfe bei der Lesung der Korrekturen. Mit ganz 9
§ 4· Die Wesensaxiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
besonderer Dankbarkeit jedoch möchte ich der allzu früh verstorbenen Ma
§ 5· Echte und unechte Definitionen und Lehrsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
thematikerin Dr. Else Schöll gedenken, deren nie ermüdende Anteil § 6. Das Prinzip der Unverträglichkeitsfassung mathematischer Sätze .... , . . 17
nahme an dem Wachsen der Untersuchung mich immer wieder antrieb,
II. Kapitel
die mehr als einmal liegen gelassene Arbeit wieder aufzunehmen.
Die systematische Axio:matik
Göttingen, Oktober 192-5. § 1. Die Forderung der Vollständigkeit des Axiomensystems . . . . . . . . . . . . . 2o
Moritz Geiger. § 2. Die Methode der Unableitbarkeitsbeweise ....... , . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 3· Ein prinzipieller systematischer Mangel der Unableitbarkeitsbeweise . . . . 25
§ 4· Die Unabhängigkeit der Axiome von einander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 5· Die Ordnung der Axiome. Die Einschließung und die Ausschließung von
Möglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . 28
§ 6. Qualifizierte, mathematische und begriffliche Möglichkeiten . . . . . . . . . . 29
§ 7. Existenzsetzende und charakterisierende Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 8. Die drei Prinzipien zur Aufsuchung der Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II. Abschnitt
Die Durchführung der systematischen Axiomatik
I. Kapitel
Die Axiome der Elementensetzung
§ 1. Die Aufstellung der Axiome ............ ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
XVIII XIX