Synthèse sonore de la clarinette avec modèle de résonateur à trous latéraux optimisé sur des impédances d'entrée d'une clarinette réelle

0.26 MB·French

by  Fabrice Silva

Synth`ese sonore de clarinette avec mod`ele de r´esonateur `a trous lat´eraux.
Fabrice Silva1, Philippe Guillemain1, Jean Kergomard1 et Jean-Pierre Dalmont2
1
Laboratoire de M´ecanique et d’Acoustique UPR CNRS 7051, 31 Ch. J. Aiguier, 13402 Marseille cedex 20, France,
2
Laboratoire d’Acoustique de l’Universit´e du Maine UMR CNRS 6613, Av. O. Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France.
courriel : [email protected]
9
0 R´esum´e niveau : les diff´erences ne proviennent pas d’´eventuelles
0 non-lin´earit´es. La figure 1 montre un exemple typique
2 Les m´ethodes de synth`ese sonore par mod`eles physiques
de mesures r´ealis´ees dans le cadre de cette ´etude et une
reposent sur une description des divers ´el´ements consti-
n imp´edancecalcul´ee`a partird’un mod`elecylindrique.Au
a tuant l’instrument. Les contraintes li´ees `a la synth`ese
vudesdimensionsetducontenuspectraldusondel’ins-
J temps-r´eelrequi`erentl’emploideg´eom´etriessimplespour
trument,nousneconsid´eronsquelapropagationd’ondes
0 le r´esonateur. Cependant le corps de la clarinette est
planesdanslacolonned’air:lafr´equenced’apparitiondu
1 bien plus complexe qu’un simple tuyau parfaitement cy-
premier mode non plan pour un conduit cylindrique de
lindrique du fait notamment de la pr´esence des trous
] rayonr =7mmsetrouveeneffetauxalentoursde14kHz
h lat´eraux.Nous pr´esentons ici une mani`ere de prendre en
ce quiest bien endec¸a` des fr´equencesde r´esonanceprin-
p comptedefac¸onglobaleetsimplifi´eel’ouvertured’uncer-
- cipales du r´esonateur.Sous ces hypoth`eses,la th´eorie de
tainnombredetrouslat´erauxdanslecadredelasynth`ese
s Kirchhoff permet de prendre en compte la viscosit´e et
s sonore en temps-r´eel.
a les effets thermiques dans le nombre d’onde k. Le rayon
l du guide d’onde ´etantbien plus grand que les´epaisseurs
c
Introduction
. des couches limites de pertes visco-thermiques l et l ,
s v t
c Lesm´ethodesdesynth`esesonorereposantsurlesmod`eles la constantede propagationestapproch´eeclassiquement
i par :
s physiques n´ecessitent, dans un premier temps, de s’atta-
y
cher`aobserveretcomprendrequelssontlesph´enom`enes
h les plus importants dans le m´ecanisme de production du k = ω j3/2√lv+(Cpv −1)√lt ω (1)
p c − r c
[ son.Ilne s’agitpasdechercher`a donnerunedescription r

exhaustive des particularit´es de l’ensemble de l’instru-
1 avec c = 340m/s, l = 4 10-8m, l = 5.6 10-8m et
ment, mais de s’assurer que les caract´eristiques des sons v t
v × ×
C =1.4 (rapport des chaleurs sp´ecifiques `a pression et
0 synth´etis´es soient proches de celles des sons de l’instru- pv
volume constant).
4 ment r´eel. Pour la clarinette, un premier mod`ele sim-
6 plifi´e de r´esonateur est un simple cylindre dont la lon-
1
gueur correspond `a la distance entre le bec et le premier
.
1 trou ouvert.Partant de l’observationd’une diff´erence si- 40
0 gnificative entre les mesures d’imp´edances et le mod`ele
9 30
0 cylindrique, nous nous sommes int´eress´es `a la mani`ere Z|e 20
dont la prise en compte de la partie du corpsde l’instru- |
:
v ment plac´ee en aval du premier trou ouvert modifie les 10
i
X propri´et´es acoustiques du r´esonateur. 0
0 500 1000 1500 2000 2500
r
Contrairement `a d’autres m´ethodes ou` chacun des trous
a
lWata´elrsatiujxn[e8s]tetpSricsaveonneco[6m])p,tneoudsenmouasnis`eormemd´eetsaailtlt´eaech(´evsan`a arg(Z)e - 99 000
mod´eliser globalement l’effet de l’ensemble des trous ou- 0 500 1000 1500 2000 2500
verts en nous appuyant sur les travaux de Benade [1] et f (Hz)
Kergomard[2,3].Uneformulationtemporellenum´erique
du comportement du r´eseau de trous lat´eraux ouverts a Fig. 1 – Imp´edances d’entr´ee r´eduites, mesur´ee sur une
´et´e ´elabor´ee afin de raffiner les mod`eles de r´esonateurs clarinette r´eelle pour un doigt´e de Fa#2 (en trait plein)
d´eja` mis en œuvre dans des algorithmes de synth`ese so- etcalcul´ee`apartird’unmod`eleder´esonateurcylindrique
noreentemps-r´eelparmod`elephysique(Guillemain[9]). (en pointill´es).
Lignes de transmission
Mod`ele physique du r´esonateur
L’´etude quisuitse placedans le domaine de l’acoustique Ces diff´erentes hypoth`eses nous permettent d’adopter le
lin´eaire : les mesures d’imp´edance sur lesquelles sont formalisme de ligne de transmission dans le domaine
visibles les diff´erences de comportement entre le corps fr´equentiel(avecuned´ependancetemporelleenexpjωt).
d’une clarinette et un simple tube cylindrique ont ´et´e Pouruncylindre,pressionetd´ebitacoustiquesenentr´ee
pr´esent´eesparBenade[1].Ellesont´et´emesur´ees`afaible x=0s’exprimentenfonctiondesvaleursensortiex=L
pour une pulsation ω donn´ee : sonimp´edanceit´eratived`eslorsqu’ilyaplusdedeuxcel-
lules.Ceci vautenparticulier pourles bassesfr´equences.
P (ω) P (ω) Au-dessus d’une fr´equence de coupure, qui correspond,
e =M(L) s
Z U (ω) Z U (ω) pour des raisons de sym´etrie, `a la fr´equence propre de
c e c s
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
la cellule ferm´ee `a ses deux extr´emit´es, on a une bande
cos(kL) jsin(kL)
ou` M(L)= (2) passante. Dans celle-ci, le rayonnement devient tr`es ef-
jsin(kL) cos(kL)
(cid:18) (cid:19) ficace, et les ondes sont fortement att´enu´ees, ce qui en-
ou` Z = ρc(πr2)−1 est l’imp´edance caract´eristique de traˆıne aussi pour l’imp´edance d’entr´ee du r´eseau d’ˆetre
c
proche de l’imp´edance it´erative. Benade [1] avait bien
la colonne d’air cylindrique, avec ρ masse volumique de
not´e ce point important, Kergomard[3] l’a interpr´et´e en
l’air.Lad´ependancedel’imp´edanced’entr´eeZ dutuyau
e
l’associant `a l’interaction ext´erieure des trous lat´eraux :
`a sa charge Z s’en d´eduit ais´ement :
s
une imp´edance d’entr´e de clarinette mesur´ee telle que
P (ω) Z (ω)+jZ tan(kL) repr´esent´ee figure 1 montre de fait qu’il n’y a plus de
e s c
Z (ω)= = . (3)
e Ue(ω) 1+jZs(ω)Zc−1tan(kL) r´esonances au-dessus de la coupure (environ 2kHz).
De la cellule ´el´ementaire... Sous cette condition de forte att´enuation et si l’on ad-
met que le r´eseau est p´eriodique, l’imp´edance d’entr´ee
Afin de parvenir `a une mod´elisation globale d’un r´eseau
est l’imp´edance it´erative [2] :
de trous lat´eraux ouverts, nous nous int´eressons en pre-
mierlieuaucomportementd’unecellule´el´ementaire(Fi-
gure2)comportantuntronc¸ondelongueur2sdeconduit m2s2+kscot(ks) r 1
t
principal (de rayon r) muni d’une chemin´ee lat´erale de Z =jZ tan(ks) ou` m=
rayonrt et de hauteur hc incluant les correctionsde lon- l c sm2s2−kstan(ks) r √2shc
(5)
gueurs aux deux extr´emit´es de la longueur h [7].
Dans l’expression (5) apparaissent une infinit´e de cou-
pures qui d´efinissent des bandes fr´equentielles aux com-
rt h portements vari´es :
P P
e r s
U U – en basses fr´equences, jusqu’a` la coupure proche de
e s
f mc/(2π) (la plus faible pulsation solution de
c
m2s≃2 =kstanks) de l’ordre de 1 `a 2kHz, le r´eseau se
s s
comporte comme un ´el´ement de longueur ´equivalente
Fig. 2 – Sch´ema d’une cellule ´el´ementaire : notations. s′ = s 1+(ms)−2. L’hypoth`ese de troncature du
r´esonateur au niveau du premier trou ouvert reste
p
valable dans cette bande de fr´equence et pour des
La matrice de transfert entre les grandeurs en entr´ee et
chemin´ees courtes et/ou larges (ms grand). Dans le
en sortie de la cellule correspond donc aux propagations
cascontraire,lesondesstationnairesbassesfr´equences
sur les ´el´ements de longueur s en amont et en aval de
s’´etendent sur une partie du guide en aval du premier
la chemin´ee, ainsi qu’`a la d´erivation au niveau du trou
trou.
(conservation du d´ebit et de la pression) :
– au dela`, jusqu’a` k = π/(2s) soit jusqu’aux environs
de 4 `a 5kHz, se trouve la premi`ere bande passante du
P 1 0 P
e =M(s) M(s) s , (4) r´eseau.
Z U Y 1 Z U
c e t c s
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) – on observe ensuite, pour le mod`ele d´ecrit par
−1 2 l’´equation (5), un succession de bandes d’arrˆet et de
ou` Y = jZ kh (r/r ) est l’admittance pr´esent´ee par
t c c t bandes passantes...
la chemin´ee `a la colonne d’air principale en supposant
quelesdimensionsdutrousontpetitesdevantlalongueur
Les consid´erations pr´ec´edentes reposent sur l’hypoth`ese
d’onde(nousignoronsl’imp´edanceens´erieli´eeauchamp
que les cellules sont identiques. En pratique, on peut
antisym´etrique dans la chemin´ee).
montrer que si chaque cellule a la mˆeme fr´equence de
coupure, `a condition que ses dimensions soient petites
...au r´eseau de trous lat´eraux ouverts
devant la longueur d’onde, le r´eseause comporte exacte-
La configuration ´etudi´ee ci-dessus ne s’applique qu’`a mentcommeunr´eseaup´eriodique.Benade[1]aconstat´e
un nombre limit´e de doigt´es – ceux pour lesquels que la fr´equence de coupure change tr`es peu d’un doigt´e
un seul trou est ouvert. Pour les autres, Benade `a l’autre (hors doigt´es de fourche), ce qui entraˆıne l’ho-
[1] a montr´e exp´erimentalement qu’il est possible de mog´en´eit´ede timbre. Ceci semble t´emoignerd’un r´eseau
consid´ererler´eseaup´eriodique,lestrous´etantidentiques parfaitement p´eriodique. Pourtant, afin d’assurer une
et´equidistants,cequenousdiscuteronsplusloin.Ilexiste progressionlogarithmique en fr´equence des notes, il faut
alorspourler´eseaudetrousouverts,selonlesfr´equences, ´ecarter les trous de plus en plus quand on s’´eloigne de
des bandes d’arrˆet et des bandes passantes. Dans les l’anche, et on constate que le diam`etre des trous croˆıt
bandes d’arrˆet, les ondes du r´eseau sont ´evanescentes, ´egalement,assurantunefr´equencedecoupure`apeupr`es
et l’imp´edanced’entr´eedur´eseauesten pratique´egale`a constante.
Le r´esonateur complet
1.2
1
Les pics de r´esonance du r´esonateur sont modifi´es par
0.8
la pr´esence du r´eseau de trous lat´eraux ouverts plac´e `a
0.6
l’extr´emit´e d’un guide cylindrique : h(t) 0.4
– ceux qui se trouventdans les bandes d’arrˆetdu r´eseau
0.2
sont l´eg`erement d´eplac´es vers les basses fr´equences 0
puisque lesondes stationnairess’´etablissentsurlalon- -0.2
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
gueur du cylindre augment´ee d’une correction fonc-
t (ms)
tiondes param`etresg´eom´etriquesdes ouvertureset de
l’´ecartement entre les trous,
Fig. 3 – R´eponse impulsionnelle h(t) associ´ee `a
– ceux qui correspondent `a la bande passante du r´eseau
l’imp´edance d’entr´ee Z (ω) (´equation (5) ) du r´eseau de
sont fortement att´enu´es car une grande partie de l
trous lat´eraux.
l’´energie est pr´elev´ee par le r´eseau : les r´esonances ne
peuvent plus s’´etablir.
suivantes :
Mise en œuvre num´erique
h0 = A = f(m,s), (8)
En se focalisant sur la premi`ere bande d’arrˆet et sur la
q = 1, (9)
premi`erebandepassante,ilestpossibled’assimiler–dans r
un domaine de fr´equence de l’ordre de 0 5000Hz – le ω = c m2+λ2. (10)
− r
r´eseau vu par le tuyau cylindrique `a un syst`eme absor-
p
bant les hautes fr´equences, c’est-`a-dire un filtre passe- Cemod`eleanalogiqueestensuitediscr´etis´e`alafr´equence
bas pour le coefficient de r´eflexionpr´esent´epar le r´eseau d’´echantillonnage F = 44100Hz `a l’aide de sch´emas
e
au cylindre. C’est cet effet que nous avons cherch´e `a re- num´eriques centr´es :
transcrirede mani`ereadapt´ee aux m´ethodes num´eriques
desynth`esesonore.Uneexigencequiaccompagnelepro- Fe −1
jω Dz = (z z ) (11)
cessus de synth`ese sonore est le choix de la simplicit´e ←→ 2 −
des mod`eles adopt´es. Nous nous imposons l’emploi de (jω)2 D2z =F 2(z 2+z−1). (12)
e
←→ −
filtres num´eriques d’ordres faibles mais dont les coeffi-
cients sont reli´es aux param`etres g´eom´etriques et acous- On obtient ainsi un filtre num´erique Zˆ(z) introduisant
l
tiques du r´eseau.
Il est important de noter que la principale difficult´e pro- 1
vient du fait que, `a cause de la forme de l’´equation5,les
0.8
r´esonancesdur´eseauconsid´er´enesontpasdesr´esonances
classiques auxquelles sont associ´ees un nombre fini de R| 0.6
|
0.4
poˆles dans le plan complexe.
0.2
Le trac´e de la r´eponse impulsionnelle h(t) associ´ee `a
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
l’imp´edance r´eduite du r´eseau seul indique (Figure 3)
la pr´esence d’une discontinuit´e `a l’instant initial t = 0 180
et d’oscillations d´ecroissantes, ce qui rend pertinent la
135
d´ecomposition de h(t) en la somme d’une impulsion de R)
Dirac de hauteur h0 et d’une fonction sinuso¨ıdale amor- arg( 90
45
tie :
0
h˜(t)=h0δ(t) Ae−βtsin(ω0t) (6) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
− f (Hz)
A
Z˜l(jω)=h0− 1+q jω + jω 2 (7) Fig. 4 – Coefficient de r´eflexion en entr´ee du r´eseau :
rωr ωr mod`ele de r´eseau (en pointill´es) et filtre num´erique ap-
La contribution `a l’instant initial de l(cid:16)a pa(cid:17)rtie oscillante proch´e(entraitplein).r =7mm,s=1cmetm=43m-1.
semblant nulle, la hauteur h0 peut ˆetre ´evalu´ee analyti-
quement en fonction des param`etres m et s. Les coeffi- une att´enuation des pics de r´esonance du tube cylin-
cientsrestantssontd´etermin´espourquelefiltrepr´esente driqueau-dessusdelafr´equencedecoupure.Lapr´esence
le mˆeme comportement dans les deux premi`eres bandes d’unpicd’imp´edancedur´eseaucorrespondant`aunecou-
que l’imp´edance it´erative du r´eseau. De plus, le r´eseau pure tr`es raide pour le coefficient de r´eflexion(Figure 4)
´etant un ´el´ement passif (il n’est pas source d’´energie), le n´ecessiterait,pourˆetrepriseencomptepluspr´ecis´ement,
coefficientder´eflexiondoitpr´esenterunmoduleinf´erieur l’emploid’unfiltrenum´eriqued’ordretr`es´elev´e.Lefiltre
`al’unit´e.Onpeutmontrerquececiimposeq 1.Sil’on retenurestituecependantrelativementbienlecomporte-
r
≥
note λ les pertes visco-thermiques `a la pulsation de cou- mentdur´eseaudanslespremi`eresbanded’arrˆetetbande
pure mc, les conditions pr´ec´edentes m`enent aux valeurs passante.
pour les mesures d’imp´edance,mais aussi`a des r´esultats
40 pour les param`etres du r´eseau de trous ouverts qui sont
30 coh´erents avec les dimensions et l’´ecartement des ouver-
|e turesducorpsdelaclarinette.Cecisembleconfirmerque
Z 20
| le filtre num´eriqueZˆ retranscritde mani`ere efficace l’ef-
10 l
fet du r´eseau de trous ouverts.
0
0 1000 2000 3000 4000 5000
Conclusion
)e 90
g(Z 0 Nousavons,`al’heureactuelle,d´eja`pucomparerlesauto-
ar -90 oscillations obtenues `a partir du mod`ele cylindrique, du
0 1000 2000 3000 4000 5000
mod`ele num´erique complet (cylindre et r´eseau) et des
f (Hz)
imp´edances mesur´ees (en utilisant la technique d´ecrite
Fig.5–Imp´edancesd’entr´eedur´esonateurcompletavec dans [5]). D’un point de vue du timbre, les sons cor-
respondant au mod`ele incluant le r´eseau sont beaucoup
l’imp´edanceit´erativeZ (ω)(enpointill´es)etaveclamise
l
en œuvre num´erique Zˆ(z) (en trait plein). L = 0.5m, plusprochesdessonssynth´etis´esaveclesimp´edancesme-
l
-1 sur´ees que ceux obtenus `a partir d’un simple cylindre.
r =7mm, s=1cm et m=43m .
En revanche, nous n’avons pu comparer le fonctionne-
ment en auto-oscillation pour le filtre num´erique adopt´e
Onprendensuiteencomptelecomportementacoustique pour le r´eseau et pour un filtre pr´esentant une cou-
du tuyau qui prend ˆetre mod´elis´e comme un retard as- pure bien plus marqu´ee. Il faudra de plus s’int´eresser
soci´e `a un filtre num´erique du 1˚ordre mod´elisant la de mani`ere th´eorique `a l’influence de l’att´enuation des
propagationavec pertes visco-thermiques [9]. Il est alors pics situ´es au-dessus de la fr´equence de coupure du
possibleded´ecrirenum´eriquementler´esonateurcomplet r´eseau sur le fonctionnement global de l’instrument, no-
par une ´equation aux diff´erences – dont les coefficients tamment sur les r´egimes non-stationnaires. D’un point
sont reli´es aux diff´erents param`etres g´eom´etriques – de de vue de la synth`ese, l’´etape suivante pourra consister
la forme : en l’´elaboration d’un mod`ele de rayonnement corr´el´e au
pe(tn)=ue(tn)+V (13) mod`ele de r´eseaude trous lat´eraux ouverts.
ou` V est fonction d’un petit nombre de valeurs pass´ees Ce travail a ´et´e effectu´e dans le cadre de Consonnes,
et connues de la pression et du d´ebit d’entr´ee. projet soutenu par l’Agence Nationale de la Recherche.
Optimisation R´ef´erences
Les valeurs des diff´erents param`etres du mod`ele com-
[1] A. H. Benade. Fundamentals of Musical Acoustics,
plet sont d´etermin´es par comparaison `a une r´ef´erence.
chap. The Woodwinds : I, 430–464. Dover Publica-
Nous disposons d’une s´erie de mesures d’imp´edances
tions, New-York, 1976.
d’entr´ee de clarinette pour une s´erie de doigt´es du re-
[2] J. Kergomard. Champ interne et champ externe des
gistrechalumeau,r´ealis´eesenchambresourdeauLabora-
instruments `a vent. Th`ese d’E´tat (1981).
toire d’Acoustique de l’Universit´e du Maine. On dispose
ainsi des valeurs associ´ees au mode plan [4] pour un en- [3] J. Kergomard. Tone hole external interactions in
semble de 300fr´equencesentre 100et 2500Hz. L’objectif woodwinds musical instruments. 13th International
est d’ajuster la longueur L et le rayon r du tuyau ainsi Congress on Acoustics, 53–56.1989.
que les param`etresm ets dur´eseaude sorte que le filtre [4] J.-P. Dalmont et A.-M. Bruneau. Acoustic impe-
num´erique Zˆl(z) ´elabor´e `a partir de ces valeurs co¨ıncide dance measurement : Plane-wave mode and first he-
avec la r´ef´erence exp´erimentale Zref pour les pulsations lical mode contributions. Journal of the Acoustical
ωn consid´er´ees. Pour cela, nous avons eu recours `a des Society of America 91 (1992), 3026–3033.
m´ethodesd’optimisationglobalecommeles m´ethodesde
[5] B. Gazengel, J. Gilbert et N. Amir. Time Domain
recuit simul´e avec une fonction couˆt de la forme
Simulation of Single Reed Wind Instrument. From
N jωn 2 the Measured Input Impedance to the Synthesis Si-
F(l,r,m,s)= f(ωn)(cid:12)Zˆle Fe−Zref(ωn)(cid:12) . gnal. Where are the Traps? Acta Acustica 3 (1995),
n=1 (cid:12) (cid:12) 445–472.
X (cid:12) (cid:12)
(cid:12)   (cid:12)(14) [6] G. P. Scavone et P. R. Cook. Real-time Computer
(cid:12) (cid:12)
f(ω) est une fonction de p(cid:12)ond´eration qui permet (cid:12)d’ac- Modeling of Woodwind Instruments. Proceedings of
corder une p´enalit´e accrue aux ´ecarts entre les pics the1998InternationalSymposiumonMusicalAcous-
d’imp´edance obtenus exp´erimentalement et ceux avec le tics, 197–202.1998.
mod`elenum´erique,sanctionnantainsiunmauvaisajuste-
[7] V.Dubos,J.Kergomard,A.Khettabi,J.-P.Dalmont,
mentenfr´equenceet/ouenamortissementdesr´esonances
D. H. Keefe et C. J. Nederveen. Theory of Sound
du syst`eme.
Propagation in a Duct with a Branched Tube Using
L’optimisation aboutit `a des valeurs de L et r relative- ModalDecomposition.ActaAcustica85(1999),153–
ment proches de celles mesur´ees sur la clarinette utilis´ee 169.
[8] M. v. Walstijn et M. Campbell. Discrete-time mo-
deling of woodwind instrument bores using wave va-
riables. Journalof the Acoustical Society of America
113 (2003), 575–585.
[9] P.Guillemain,J.KergomardetT.Voinier. Real-time
synthesisofclarinet-likeinstrumentsusingdigitalim-
pedance models. Journalof the AcousticalSociety of
America 118 (2005), 483–494.