Symposium on Automatic Demonstration: Held at Versailles/France, December 1968

316 Pages·1970·3.16 MB·English

by  M. Laudet (auth.), M. Laudet, D. Lacombe, L. Nolin, M. Schützenberger (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
A collection of informal reports and seminars
Edited yb .A Dold, Heidelberg and .B Eckmann, Z0rich
521
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Held at Versailles/France, December 1968
F SCI,HT ETH-BtB
00 I'00000330992
Edited yb
.M Laudet, IRIA, Rocquencourt/France,
.D Lacombe, .L Nolin and .M Sch0tzenberger, Faculte
des Sciences, Paris/France
Springer-Verlag
Berlin. Heidelberg • New York 1970
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© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg .0791 Library of Congress Catalog Card Number 79-117526 Printed in Germany.
Title No. .1823
Lecture Notes ni Mathematics, Vol. 125
ERRATA
C on tribu tion •
REFINEMENT THEOREMS IN RESOLUTION THEORY by David Luckham
#. 170 In the definition of Rg, ~ and ~ are simplest (or
most general) substitutions such that A% is a merge
or BT si a merge.
p. 180 Definition (ii) should read:
(ii) R(~IK ) = df. the subset of R(~) consisting of
those clauses having an instance which
contains only terms in K(S),
p. 185 line 8 from the bottom: "the clause..." should be
a" clause..."
p. 185 line 2: Tr(a) should be Tr(A).
Ce livre contient la p~upart des exposes qui ont ~t~
pr~sent~s lots du Colloque International sur la D~monstration
Automatique, organis~ par l'Institut de Recherche d'Informatique
et dtAutomatique, en D~cembre 1968, ~ Rocquencourt, France.
This book contains the greater part of the Con£crences
which have been given during the international symposium on
Automatic Demonstration organised in december 1968 by the French
Insl/tut de Recherche d'In£ormatique et d'Automatique, at Rocquencourt
France.
Ces textes ont 4t4 dactylographi4s par Mademoiselle
HERNANDEZ, du C. N. R.S. ~ Paris.
These texts have been typed by Miss HERNANDEZ, C.N.R.S.
ni Paris.
SYMPOSIUM ON AUTOMATIC DEMONSTRATION
COLLOQUE DEMONSTRATION AUTOMATIQUE
CONTENTS
LAUDET Michel Allocution d'ouverture .......................... I
ARNOLD Andr4 Pr4sentation d'un langage de formalisationdes
d S emonstratzons math4matiques naturelles ......... 6
de BRUIJN N.G. The mathematical language AUTOMATH, sti
usage, and some of sti extensions ............... 29
ENGELER Erwin Proof theory and the accuracy of computations .... 62
FRAISSE Roland Aspects du Th4oreme de compl4tude selon Herbrand 75
GRZEGORCZYK A. Decision procedure for theories categorical in Alef 87
HAO WANG On the long-range prospects of automatic theorem
proving ........................................ 101
KOWALSKI Robert The case for using equality axioms in automatic
demonstration .................................. 112
KREISEL G. Hilbert's programme and the search for automatic
proof procedures ............................... 128
LOVELAND D. W. A linear format for resolution ................... 147
LUCKHAM David Refinement theorems in resolution theory ........ 163
PAWLAK Z. Definitional approach to automatic demonstration 191
PITRAT Jacques Heuristic interest of using metatheorems ........ 194
PRAWITZ Dag A proof procedure with matrix reduction ......... 207
ROBINSON G. and
WOS L. Axiom s~stems in automatic theorem proving ..... 215
SCOTT Dana Constructive validity ............................ 237
WOS L. and
ROBINSON G. Paramodulation and set of support ............... 276
List of Contributors
Laudet, Michel: Domaine de Voluceau, I.R.I.A., Rocquencourt/France
Arnold, Andr§: Facult& des Sciences, Lille/France
de Bruijn, N.G.: Technological University, Eindhoven / Netherlands
Engeler, Erwin: Froschungsinstitut riff Mathematik, ETH, ZUrich /
Swiss and University of Minnesota, Minneapolis,MN/USA
Fraiss~, Roland: Facult~ des Sciences, Marseille / France
Grzegorczyk, Andrzej: Polish Academy of Sciences, Mathematical
Institute, Warszawa / Poland
Hao Wang: Rockefeller University, New York City, NY/USA
Kowalski, Robert: Mathematics Unit, University of Edinburgh,
Edinburgh / Scotland
Kreisel,G. : Stanford University, Dept. of Mathematics, Stanford, CA/
USA and Universit& de Paris, Facult~ des Sciences, Paris / France
Loveland, D.W.: Carnegie-Mellon University, Pittsburgh, PA / USA
Luckham, David: Computer Science Department, Stanford University,
Standford, CA / USA
Pawlak, Z.: Institute of Mathematics, Warszawa University, Warszawa/
Poland
Pitrat, Jacques: Institut Blaise Pascal (C.N.R.S.), Paris/France
Prawitz, Dag: Lunds Universitet, Lund/Sweden
Robinson, G. : Stanford Linear Accelerator Center, Stanford, 6A/USA
Scott, Dana : Dept. of Mathematics,Stanford University,Stanford,CA/USA
Wos, L. : Argonne National Laboratory, Argonne, IL/USA
ALLOCUTION d'OUVERTURE M. LAUDET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1 serait prdsomptueu_x pour quiconque de traiter devant vous des
probl~mes hautement techniques autour desquels se regroupent vos travaux,
et le g~ndraliste que je suis s'estime real qualifig pour ~tre autre chose
qu'un auditeur passionnd k cette rdunion.
Cependant, puisqu'il est d'usage qu'une allocution d'ouverture prd-
pare les voles aux exposds plus ardus et puisque cette t~che me revient, je
me tournerai vers les nombreux participants qu'a attird votre renom pour
leur rappeler comment le sujet de ce Colloque se place dans l'axe m~me du
d6veloppement de la mathdmatique. Ceci naturellement je le feral en fonc-
tion de ce qui est l'un des buts de notre Institut et de mes int6r~ts propres,
savoir la mathdmatique en tant que science des calculs.
Distinguons, si vous le voulez bien, trois niveaux:
- la construction;
- la dgcision;
- la semi-ddcision;
que l'on pourrait aussi bien associer schdmatiquement ~ des dtapes histori-
ques ou ~ des prises de consciences de rigueur et de possibilitd.
)1 Les Constructions: C'est essentiellement le niveau prdmathdmatique des
sciences dgyptienne et babylonienne dont le papyrus de Rhind et les tablettes
gravges nous apportent le tgmoignage.
Ici, il s'agit surtout cornme on l'a tant rdpdtd d'un recueil de recettes -
souvent inggnieuses, rarement systdmatiquesdont le but ddclard est de rdsou-
dre les probl~mes numgriques que requiert la technologie de l'dpoque: cal-
culs cadastraux, calculs astronomiques, probl~mes de partage. Le trait le
-2 -
plus frappant pour un moderne est l'absence de discussion des limites de
validit6. Le centre de celles-ci dtant indiqud au moyen d'exemples typiques.
Cette approche rdappara~ra souvent dans l'histoire aux fronti~res des
domaines dgj~ organis6s en science rigoureuse et il faut lui rattacher les
premieres gbauches de la thdorie des nombres de Diophante, de l'alg~bre de
Tartaglia et JgrSme Cardan, les "probl~mes plaisants et dglectables" de
Bluchet de Meziriac.
Plus gdndralement nous verrions volontiers cette m~me mdthode empirique,
voire expdrimentale, dans nombre de travaux directement inspirds des pro-
blames pressants de la physique et nous y saluons la source sans cesse renou-
velde d'une inspiration et d'un guide pour les recherches des mathgmaticiens
proprement dits.
Nous somrnes stirs, d'ailleurs, que les moyens puissants de l'Informatique
y ont un grand rSle ~ jouer m~me dans des branches fort gloigndes des appli-
cation s traditionnelle s.
2) La d4cision: Au second niveau se situe le calcul dans des th4ories d4cida-
bles ou que l'on consid~re comme telles. C'est lk naturellement que s'effec-
tue la plus grande pattie de l'activit4 des mathdmaticiens appliqu4s:
Par exemple, bien que les structures sous jacentes soient infinies la
m4thode de Jacobi pour diagonaliser une matrice conduit ~ un processus d4ci-
dable chaque fois qu'a 4td fixde k l'avance la prdcision, au demeurant arbi-
traire, dont l'obtention provoquera l'arr~t des calculs. I1 en serait de m~me
de la recherche num4rique des racines intdgro diff4rentielles. Dans d'autres
cas, le probl~me est ddcidable parce que les structures en cause sont finies;
comme c'est le cas des probl~mes impliquant les alg~bres de Boole ou le calcul
des propositions.
Dans d'autres cas enfin ce sont des th4ories difficiles qui nous ont r4v414
le caract~re ddcidable de toute une classe de probl~me. Par exemple, la
th4orie de Tarski a montr4 qu'il en 4tait ainsi de l'alg~bre et de la g4om4trie
414mentaire et que l'on pouvait r4pondre de fa~on algorithmique ~ la question:
un syst~me donn4 d'4quations et d'in4quations admet-il ou non une solution
r4elle ?
- 3 "~
Vous savez rnieux que rnoi l'irnportance et l'dtat actuel de ces recherches.
Vous savez aussi cornbien certains de ces algorithrnes sont longs et complexes
d~s qu'on s'~carte tant soit peu des cas les plus El~rnentaires. Perrnettez-rnoi
une fois encore d'insister sur l'influence qu'ont et qu'auront les ordinateurs
tant sur le plan pratique que sur le plan thEorique.
Aurait-on song~ ~ Elaborer la thEorie de la prograrnrnation linEaire en
nornbre entier si n'avaient existE les moyens rnat~riels de r~soudre effecti-
vernent des classes de probl~rnes dans une gamme enti~rement inaccessible
au calcul manuel ?
Aurait-on song~ ~ Etudier comparativement l'efficacitE des algorithrnes
si leur domaine d'application s'~tait lirnitE ~ la rmrge Etroite des cas ~ peu
pros triviaux qui peuvent ~tre abordEs sans machine ?
3) Les theories indEcidables: Toutefois nous le savons bien les theories les
plus intEressantes sont indEcidables. Le thEor~rne de Godel apporte A l'huma-
niste le message le plus rEconfortant: aucune machine ne peut remplacer
l'esprit hu_main. Rien ne nous retient donc de chercher ~ cerner de plus pros
la partie irrEductible de son activitE crEatrice et pour cela deux voies diver-
gentes se prEsentent ~ nous:
- Tenter de reproduire le plus fid~lement possible les demarches les plus
El~mentaires de l'esprit afin de pouvoir les extrapoler;
- Formuler et experimenter des rn~thodes de semi-dEcision. Si la proposi-
tion dont nous voulons calculer la valeur de v~ritE est vraie, nous obtien-
drons la rEponse enun hombre fini d'~tapes. Sinon, l'algorithrne fonction-
nera indEfinirnent car, dans tousles cas, ce qu'il cherche est un contre
exemple.
Telle est la rn~thode irnagin~e par Herbrand d~s 1930 et dont il a fallu
pros de 30 ans avant de commencer rn~rne ~ en explorer les consequences.
Certes, d~s l'abord la longueur et l'opacitE des calculs devaient dEcou-
rager toute tentative d'expErirnentation A la main et une lois encore ce sont
les ordinateurs qui ont stirnul~ les recherches.
-4-
Ces deux voies d'ailleurs ont 4t4 explor4es simultan4ment te les
premiers rdsultats obtenus ont 4t4, ej crois, communiquds ~ un large
public pour al premiere ~ fois Paris, en 1959, au premier Congr~s de
I'IFIP.
Dans la vole de la simulation, Gelernter, certains de vous s'en
souviennent peut ~tre, s'4tait efforc4 de retracer artificiellement les
d4marches de l'esprit qui cherche ~ d4montrer un th4orhme simple de
g4om4trie.
Plus ambitieusement, NeweI1 et Shaw employaient une approche
analogue h la mise sur pied d'un r4solveur g4n4ral de probl~me.
Dans la deuxi~me vole, Gilmore appliquait le thgorhme de Herbrand
pour vdrifier diverses formules du calcul des pr4dicats. Dans les cou-
loirs Prawitz et Voghera distribuaient un r4sum4 de leurs propres recher-
ches dans ce domaine.
Depuis 1ors chacune de ces deux tendances s'est d4velopp4e. La
premiere, sous le nora d'Intelligence Artificielle a donn4 lieu ~ plus de
colloques et de confdrences que la seconde.
I1 nous a paru 4quitable de rdtablir quelque peu l'4quilibre tout en
donnant h des repr4sentants de l'Intelligence Artificielle l'occasion de corn-
reenter leurs recherches. I1 s'agira donc, ici surtout, de la thdorie et des
pratiques basdes sur les m4thodes de Herbrand et sur les aspects les plus
techniques et les plus profonds de la logique math4matique.
Je m'en excuse aupr~s d'une partie de l'auditoire mais il y verra
la marque que si notre Institut de Recherche se veut appliqu4 il croit que
les bonnes applications ne peuvent surgir que de la r4flexion thdorique la
plus audacieuse et la plus rigoureuse.
N'attendez pas, pour terminer, que ej parle de l'avenir. Permet-
tez-moi cependant d'4voquer deux :stiaf
En 1869, Jevons construisit al premiere machine pour r4soudre el