Symplectic geometry and quantum mechanics

374 Pages·2006·2.178 MB·English

by  de Gosson M.

(cid:50)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)(cid:29)(cid:3)(cid:36)(cid:71)(cid:89)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)
(cid:57)(cid:82)(cid:79)(cid:17)(cid:3)(cid:20)(cid:25)(cid:25)
(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:29)
(cid:44)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:82)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)
(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:50)(cid:73)(cid:73)(cid:76)(cid:70)(cid:72)(cid:29) (cid:54)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:88)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:68)(cid:3)(cid:11)(cid:55)(cid:82)(cid:78)(cid:92)(cid:82)(cid:12)
(cid:54)(cid:70)(cid:75)(cid:82)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3) (cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:38)(cid:68)(cid:79)(cid:74)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:12)
(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86) (cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:47)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:43)(cid:68)(cid:76)(cid:73)(cid:68)(cid:12)
(cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92) (cid:37)(cid:17)(cid:3)(cid:48)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:68)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:38)(cid:82)(cid:79)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:88)(cid:86)(cid:12)
(cid:53)(cid:68)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:15)(cid:3)(cid:44)(cid:86)(cid:85)(cid:68)(cid:72)(cid:79) (cid:57)(cid:17)(cid:3)(cid:50)(cid:79)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:86)(cid:78)(cid:92)(cid:3)(cid:11)(cid:54)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:85)(cid:86)(cid:12)
(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:68)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:54)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:85)(cid:69)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:12)
(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:68)(cid:85)(cid:71)(cid:29) (cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:71)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:58)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:68)(cid:80)(cid:86)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)(cid:12)
(cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:83)(cid:68)(cid:92)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:12) (cid:45)(cid:17)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:89)(cid:81)(cid:92)(cid:68)(cid:78)(cid:3)(cid:11)(cid:38)(cid:75)(cid:68)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:87)(cid:87)(cid:72)(cid:86)(cid:89)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:12)
(cid:45)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:85)(cid:68)(cid:93)(cid:92)(cid:3)(cid:11)(cid:43)(cid:68)(cid:76)(cid:73)(cid:68)(cid:12) (cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:92)(cid:12)
(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:87)(cid:93)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:12) (cid:44)(cid:17)(cid:3)(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:76)(cid:87)(cid:78)(cid:82)(cid:89)(cid:86)(cid:78)(cid:92)(cid:3)(cid:11)(cid:58)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:68)(cid:80)(cid:86)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)(cid:12)
(cid:45)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:78)(cid:86)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)(cid:12) (cid:54)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:79)(cid:3)(cid:11)(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:12)
(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:81)(cid:16)(cid:36)(cid:85)(cid:87)(cid:93)(cid:76)(cid:3)(cid:11)(cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:12) (cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:56)(cid:83)(cid:80)(cid:72)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)(cid:12)
(cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:70)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:70)(cid:76)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:80)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:12) (cid:54)(cid:17)(cid:3)(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:71)(cid:88)(cid:92)(cid:81)(cid:3)(cid:47)(cid:88)(cid:81)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:11)(cid:47)(cid:72)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:12)
(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:124)(cid:87)(cid:87)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:38)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:12) (cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:57)(cid:82)(cid:76)(cid:70)(cid:88)(cid:79)(cid:72)(cid:86)(cid:70)(cid:88)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:92)(cid:12)
(cid:46)(cid:17)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:92)(cid:3)(cid:11)(cid:36)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)(cid:12) (cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:59)(cid:76)(cid:68)(cid:3)(cid:11)(cid:49)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:89)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:12)
(cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:88)(cid:73)(cid:73)(cid:68)(cid:79)(cid:82)(cid:12) (cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:60)(cid:68)(cid:73)(cid:68)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:11)(cid:53)(cid:72)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:12)
(cid:53)(cid:17)(cid:3)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:38)(cid:88)(cid:85)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:11)(cid:44)(cid:82)(cid:90)(cid:68)(cid:3)(cid:38)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:12)
(cid:46)(cid:17)(cid:3)(cid:53)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:58)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:15)(cid:3)(cid:50)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:82)(cid:12) (cid:43)(cid:82)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:36)(cid:71)(cid:89)(cid:76)(cid:86)(cid:82)(cid:85)(cid:92)
(cid:53)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:82)(cid:88)(cid:74)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:11)(cid:38)(cid:82)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:12) (cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:68)(cid:85)(cid:71)(cid:29)
(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:86)(cid:80)(cid:68)(cid:3)(cid:11)(cid:42)(cid:85)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:12) (cid:38)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:76)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:80)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:12)
(cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:92)(cid:80)(cid:3)(cid:11)(cid:53)(cid:72)(cid:75)(cid:82)(cid:89)(cid:82)(cid:87)(cid:12) (cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:53)(cid:17)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:79)(cid:80)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:11)(cid:54)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:12)
(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:88)(cid:75)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:12) (cid:55)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:3)(cid:11)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:12)
(cid:37)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:85)(cid:68)(cid:80)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:11)(cid:48)(cid:68)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:12) (cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:57)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:81)(cid:68)(cid:12)
(cid:45)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:79)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:47)(cid:68)(cid:3)(cid:45)(cid:82)(cid:79)(cid:79)(cid:68)(cid:12) (cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:17)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:91)(cid:3)(cid:11)(cid:49)(cid:72)(cid:90)(cid:3)(cid:60)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:12)
(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:11)(cid:36)(cid:80)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:71)(cid:68)(cid:80)(cid:12) (cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:17)(cid:3)(cid:47)(cid:76)(cid:89)(cid:86)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:11)(cid:37)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:12)
(cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:11)(cid:36)(cid:85)(cid:74)(cid:82)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:12)(cid:3) (cid:43)(cid:17)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:71)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:11)(cid:54)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:38)(cid:85)(cid:88)(cid:93)(cid:12)
(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)
(cid:36)(cid:71)(cid:89)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:73)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3) (cid:48)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:80)(cid:88)(cid:87)(cid:75)
(cid:40)(cid:84)(cid:88)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86) (cid:55)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:75)(cid:68)(cid:79)
(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:86)(cid:29)
(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:16)(cid:58)(cid:82)(cid:79)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:75)(cid:88)(cid:79)(cid:93)(cid:72)(cid:3) (cid:45)(cid:72)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:72)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:82)(cid:79)(cid:71)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:87)(cid:86)(cid:71)(cid:68)(cid:80)(cid:3) (cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:80)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:55)(cid:49)
(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92) (cid:56)(cid:54)(cid:36)
(cid:54)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:76)(cid:82)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:69)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:82) (cid:49)(cid:82)(cid:69)(cid:88)(cid:92)(cid:88)(cid:78)(cid:76)(cid:3)(cid:55)(cid:82)(cid:86)(cid:72)
(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:81)(cid:81)(cid:3) (cid:46)(cid:72)(cid:76)(cid:82)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:15)(cid:3)(cid:60)(cid:82)(cid:78)(cid:82)(cid:75)(cid:68)(cid:80)(cid:68)
(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92) (cid:45)(cid:68)(cid:83)(cid:68)(cid:81)
(cid:54)(cid:92)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:82)(cid:80)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:92)
(cid:47)(cid:70)(cid:88)(cid:1)(cid:53)(cid:83)(cid:70)(cid:79)(cid:69)(cid:84)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)
(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:3)
(cid:53)(cid:73)(cid:70)(cid:80)(cid:83)(cid:90)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:41)(cid:90)(cid:81)(cid:70)(cid:83)(cid:67)(cid:80)(cid:77)(cid:74)(cid:68)
(cid:52)(cid:88)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:86)
(cid:38)(cid:82)(cid:86)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:84)
(cid:48)(cid:46)(cid:68)(cid:74)(cid:68)(cid:88)(cid:73)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:70)(cid:70)(cid:72)(cid:77)(cid:3)(cid:1)(cid:71)(cid:51)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:74)(cid:42)(cid:84)(cid:84)(cid:82)(cid:74)(cid:86)(cid:72)(cid:86)(cid:82)(cid:81)
(cid:35)(cid:70)(cid:83)(cid:85)(cid:14)(cid:56)(cid:80)(cid:77)(cid:71)(cid:72)(cid:66)(cid:79)(cid:72)(cid:1)(cid:52)(cid:68)(cid:73)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:70)
(cid:38)(cid:69)(cid:74)(cid:85)(cid:80)(cid:83)(cid:84)
(cid:34)(cid:69)(cid:87)(cid:66)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:84)(cid:1)(cid:74)(cid:79)
(cid:49)(cid:66)(cid:83)(cid:85)(cid:74)(cid:66)(cid:77)
(cid:37)(cid:74)(cid:71)(cid:71)(cid:70)(cid:83)(cid:70)(cid:79)(cid:85)(cid:74)(cid:66)(cid:77)
(cid:38)(cid:82)(cid:86)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:84)
(cid:35)(cid:74)(cid:83)(cid:76)(cid:73)(cid:202)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:55)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:66)(cid:72)
(cid:15) (cid:15)
(cid:35)(cid:66)(cid:84)(cid:70)(cid:77) (cid:1)(cid:35)(cid:80)(cid:84)(cid:85)(cid:80)(cid:79)(cid:1) (cid:1)(cid:35)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:74)(cid:79)
(cid:38)(cid:69)(cid:74)(cid:85)(cid:80)(cid:83)(cid:84)(cid:27)
(cid:45)(cid:46)(cid:65)(cid:74)(cid:68)(cid:85)(cid:73)(cid:82)(cid:73)(cid:66)(cid:67)(cid:70)(cid:69)(cid:77)(cid:0)(cid:1)(cid:68)(cid:51)(cid:69)(cid:70)(cid:0)(cid:39)(cid:74)(cid:84)(cid:84)(cid:79)(cid:74)(cid:83)(cid:72)(cid:83)(cid:79)(cid:78)
(cid:41)(cid:53)(cid:78)(cid:54)(cid:83)(cid:84)(cid:1)(cid:73)(cid:35)(cid:84)(cid:85)(cid:70)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:72)(cid:224)(cid:66)(cid:82)(cid:76)(cid:0)(cid:45)(cid:66)(cid:69)(cid:65)(cid:70)(cid:84)(cid:78)(cid:72)(cid:69)(cid:74)(cid:77)(cid:70)(cid:1)(cid:39)(cid:65)(cid:84)(cid:83)(cid:73)(cid:70)(cid:75)(cid:74)(cid:67)(cid:70)(cid:83)(cid:72) (cid:35)(cid:70)(cid:83)(cid:85)(cid:14)(cid:56)(cid:80)(cid:77)(cid:71)(cid:72)(cid:66)(cid:79)(cid:72)(cid:1)(cid:52)(cid:68)(cid:73)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:70)
(cid:53)(cid:39)(cid:66)(cid:78)(cid:76)(cid:73)(cid:86)(cid:86)(cid:69)(cid:77)(cid:85)(cid:82)(cid:202)(cid:83)(cid:85)(cid:73)(cid:84)(cid:1)(cid:71)(cid:202)(cid:224)(cid:84)(cid:0)(cid:83)(cid:48)(cid:1)(cid:46)(cid:79)(cid:84)(cid:83)(cid:66)(cid:68)(cid:85)(cid:73)(cid:65)(cid:70)(cid:77)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:76)(cid:1)(cid:86)(cid:79)(cid:69)(cid:1)(cid:42)(cid:79)(cid:71)(cid:80)(cid:83)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:76) (cid:42)(cid:79)(cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:85)(cid:86)(cid:85)(cid:1)(cid:71)(cid:224)(cid:83)(cid:1)(cid:46)(cid:66)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:76)
(cid:48)(cid:42)(cid:79)(cid:79)(cid:84)(cid:83)(cid:85)(cid:84)(cid:74)(cid:70)(cid:85)(cid:65)(cid:86)(cid:67)(cid:85)(cid:72)(cid:1)(cid:71)(cid:0)(cid:224)(cid:22)(cid:83)(cid:16)(cid:1)(cid:34)(cid:0)(cid:17)(cid:79)(cid:21)(cid:72)(cid:0)(cid:21)(cid:70)(cid:19)(cid:88)(cid:66)(cid:79)(cid:69)(cid:85)(cid:70)(cid:1)(cid:34)(cid:79)(cid:66)(cid:77)(cid:90)(cid:84)(cid:74)(cid:84) (cid:54)(cid:79)(cid:74)(cid:87)(cid:70)(cid:83)(cid:84)(cid:74)(cid:85)(cid:202)(cid:85)(cid:1)(cid:49)(cid:80)(cid:85)(cid:84)(cid:69)(cid:66)(cid:78)
(cid:17)(cid:17)(cid:20)(cid:26)(cid:20)(cid:22)(cid:17)(cid:26)(cid:21)(cid:23)(cid:0)(cid:1)(cid:48)(cid:39)(cid:79)(cid:83)(cid:70)(cid:84)(cid:83)(cid:74)(cid:68)(cid:67)(cid:65)(cid:70)(cid:77)(cid:83)(cid:72) (cid:18)(cid:21)(cid:21)(cid:18)(cid:22)(cid:1)(cid:49)(cid:80)(cid:85)(cid:84)(cid:69)(cid:66)(cid:78)
(cid:39)(cid:42)(cid:69)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:77)(cid:80)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:81)(cid:89)(cid:92) (cid:40)(cid:70)(cid:83)(cid:78)(cid:66)(cid:79)(cid:90)
(cid:69)(cid:70)(cid:13)(cid:14)(cid:77)(cid:78)(cid:65)(cid:66)(cid:73)(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:0)(cid:1)(cid:77)(cid:83)(cid:70)(cid:65)(cid:74)(cid:84)(cid:85)(cid:84)(cid:82)(cid:74)(cid:73)(cid:72)(cid:67)(cid:69)(cid:33)(cid:14)(cid:68)(cid:78)(cid:69)(cid:71)(cid:66)(cid:79)(cid:85)(cid:73)(cid:83)(cid:15)(cid:83)(cid:85)(cid:79)(cid:86)(cid:78)(cid:14)(cid:32)(cid:71)(cid:83)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:77)(cid:67)(cid:70)(cid:65)(cid:83)(cid:73)(cid:72)(cid:76)(cid:14)(cid:15)(cid:67)(cid:69)(cid:79)(cid:70)(cid:77) (cid:70)(cid:14)(cid:78)(cid:66)(cid:74)(cid:77)(cid:27)(cid:1)(cid:84)(cid:68)(cid:73)(cid:86)(cid:77)(cid:91)(cid:70)(cid:33)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:73)(cid:15)(cid:86)(cid:79)(cid:74)(cid:14)(cid:81)(cid:80)(cid:85)(cid:84)(cid:69)(cid:66)(cid:78)(cid:15)(cid:69)(cid:70)
(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:1)(cid:46)(cid:66)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:68)(cid:84)(cid:1)(cid:52)(cid:86)(cid:67)(cid:75)(cid:70)(cid:68)(cid:85)(cid:1)(cid:36)(cid:77)(cid:66)(cid:84)(cid:84)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:68)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:37)(cid:47)(cid:19)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:3)(cid:23)(cid:20)(cid:26)(cid:22)(cid:49)(cid:47)(cid:18)(cid:24)(cid:17)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:22)(cid:39)(cid:91)(cid:91)(cid:15)(cid:3)(cid:27)(cid:20)(cid:54)(cid:91)(cid:91)
(cid:34)(cid:1)(cid:36)(cid:42)(cid:49)(cid:1)(cid:68)(cid:66)(cid:85)(cid:66)(cid:77)(cid:80)(cid:72)(cid:86)(cid:70)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:68)(cid:80)(cid:83)(cid:69)(cid:1)(cid:71)(cid:80)(cid:83)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:67)(cid:80)(cid:80)(cid:76)(cid:1)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:66)(cid:87)(cid:66)(cid:74)(cid:77)(cid:66)(cid:67)(cid:77)(cid:70)(cid:1)(cid:71)(cid:83)(cid:80)(cid:78)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)
(cid:45)(cid:74)(cid:67)(cid:83)(cid:66)(cid:83)(cid:90)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:36)(cid:80)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:70)(cid:84)(cid:84)(cid:13)(cid:1)(cid:56)(cid:66)(cid:84)(cid:73)(cid:74)(cid:79)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:37)(cid:15)(cid:36)(cid:15)(cid:13)(cid:1)(cid:54)(cid:52)(cid:34)
(cid:35)(cid:74)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:72)(cid:83)(cid:66)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:71)(cid:80)(cid:83)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:81)(cid:86)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:84)(cid:73)(cid:70)(cid:69)(cid:1)(cid:67)(cid:90)(cid:1)(cid:37)(cid:74)(cid:70)(cid:1)(cid:37)(cid:70)(cid:86)(cid:85)(cid:84)(cid:68)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:35)(cid:74)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:76)
(cid:37)(cid:74)(cid:70)(cid:1)(cid:37)(cid:70)(cid:86)(cid:85)(cid:84)(cid:68)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:35)(cid:74)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:76)(cid:1)(cid:77)(cid:74)(cid:84)(cid:85)(cid:84)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:81)(cid:86)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:68)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:37)(cid:70)(cid:86)(cid:85)(cid:84)(cid:68)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:47)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:66)(cid:77)(cid:67)(cid:74)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:72)(cid:83)(cid:66)(cid:71)(cid:74)(cid:70)(cid:28)(cid:1)(cid:69)(cid:70)(cid:85)(cid:66)(cid:74)(cid:77)(cid:70)(cid:69)(cid:1)(cid:67)(cid:74)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:72)(cid:83)(cid:66)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:1)(cid:69)(cid:66)(cid:85)(cid:66)(cid:1)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:66)(cid:87)(cid:66)(cid:74)(cid:77)(cid:66)(cid:67)(cid:77)(cid:70)
(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:42)(cid:79)(cid:85)(cid:70)(cid:83)(cid:79)(cid:70)(cid:85)(cid:1)(cid:66)(cid:85)(cid:1)(cid:29)(cid:73)(cid:85)(cid:85)(cid:81)(cid:27)(cid:16)(cid:16)(cid:69)(cid:79)(cid:67)(cid:15)(cid:69)(cid:69)(cid:67)(cid:15)(cid:69)(cid:70)(cid:31)
(cid:42)(cid:52)(cid:35)(cid:47)(cid:1)(cid:20)(cid:14)(cid:24)(cid:23)(cid:21)(cid:20)(cid:14)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:19)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:21)(cid:1)(cid:35)(cid:74)(cid:83)(cid:76)(cid:73)(cid:202)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:55)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:66)(cid:72)(cid:13)(cid:1)(cid:35)(cid:66)(cid:84)(cid:70)(cid:77)(cid:1)(cid:111)(cid:1)(cid:35)(cid:80)(cid:84)(cid:85)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:111)(cid:1)(cid:35)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:74)(cid:79)
(cid:53)(cid:73)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:88)(cid:80)(cid:83)(cid:76)(cid:1)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:84)(cid:86)(cid:67)(cid:75)(cid:70)(cid:68)(cid:85)(cid:1)(cid:85)(cid:80)(cid:1)(cid:68)(cid:80)(cid:81)(cid:90)(cid:83)(cid:74)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:15)(cid:1)(cid:34)(cid:77)(cid:77)(cid:1)(cid:83)(cid:74)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:84)(cid:1)(cid:66)(cid:83)(cid:70)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:84)(cid:70)(cid:83)(cid:87)(cid:70)(cid:69)(cid:13)(cid:1)(cid:88)(cid:73)(cid:70)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:88)(cid:73)(cid:80)(cid:77)(cid:70)(cid:1)(cid:80)(cid:83)(cid:1)(cid:81)(cid:66)(cid:83)(cid:85)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:78)(cid:66)(cid:85)(cid:70)(cid:83)(cid:74)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:74)(cid:84)(cid:1)(cid:68)(cid:80)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:83)(cid:79)(cid:70)(cid:69)(cid:13)
(cid:84)(cid:81)(cid:70)(cid:68)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:68)(cid:66)(cid:77)(cid:77)(cid:90)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:83)(cid:74)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:84)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:85)(cid:83)(cid:66)(cid:79)(cid:84)(cid:77)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:81)(cid:83)(cid:74)(cid:79)(cid:85)(cid:74)(cid:79)(cid:72)(cid:13)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:14)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:74)(cid:77)(cid:77)(cid:86)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:84)(cid:13)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:68)(cid:74)(cid:85)(cid:66)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:1)(cid:67)(cid:83)(cid:80)(cid:66)(cid:69)(cid:68)(cid:66)(cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:79)(cid:72)(cid:13)(cid:1)(cid:83)(cid:70)(cid:81)(cid:83)(cid:80)(cid:69)(cid:86)(cid:68)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:78)(cid:74)(cid:68)(cid:83)(cid:80)(cid:71)(cid:74)(cid:77)(cid:78)(cid:84)
(cid:80)(cid:83)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:80)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:88)(cid:66)(cid:90)(cid:84)(cid:13)(cid:1)(cid:66)(cid:79)(cid:69)(cid:1)(cid:84)(cid:85)(cid:80)(cid:83)(cid:66)(cid:72)(cid:70)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:69)(cid:66)(cid:85)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:66)(cid:79)(cid:76)(cid:84)(cid:15)(cid:1)(cid:39)(cid:80)(cid:83)(cid:1)(cid:66)(cid:79)(cid:90)(cid:1)(cid:76)(cid:74)(cid:79)(cid:69)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:1)(cid:81)(cid:70)(cid:83)(cid:78)(cid:74)(cid:84)(cid:84)(cid:74)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:68)(cid:80)(cid:81)(cid:90)(cid:83)(cid:74)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:1)(cid:80)(cid:88)(cid:79)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:78)(cid:86)(cid:84)(cid:85)(cid:1)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:80)(cid:67)(cid:85)(cid:66)(cid:74)(cid:79)(cid:70)(cid:69)(cid:15)
(cid:170)(cid:1)(cid:19)(cid:21)(cid:17)(cid:19)(cid:17)(cid:19)(cid:22)(cid:25)(cid:1)(cid:35)(cid:74)(cid:83)(cid:76)(cid:73)(cid:202)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:55)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:66)(cid:72)(cid:13)(cid:1)(cid:49)(cid:15)(cid:48)(cid:15)(cid:1)(cid:35)(cid:80)(cid:89)(cid:1)(cid:18)(cid:20)(cid:20)(cid:13)(cid:1)(cid:36)(cid:41)(cid:14)(cid:21)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:1)(cid:35)(cid:66)(cid:84)(cid:70)(cid:77)(cid:13)(cid:1)(cid:52)(cid:88)(cid:74)(cid:85)(cid:91)(cid:70)(cid:83)(cid:77)(cid:66)(cid:79)(cid:69)
(cid:46)(cid:70)(cid:78)(cid:67)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:80)(cid:71)(cid:1)(cid:85)(cid:73)(cid:70)(cid:1)(cid:35)(cid:70)(cid:83)(cid:85)(cid:70)(cid:77)(cid:84)(cid:78)(cid:66)(cid:79)(cid:79)(cid:52)(cid:81)(cid:83)(cid:74)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:49)(cid:86)(cid:67)(cid:77)(cid:74)(cid:84)(cid:73)(cid:74)(cid:79)(cid:72)(cid:1)(cid:40)(cid:83)(cid:80)(cid:86)(cid:81)
(cid:49)(cid:83)(cid:74)(cid:79)(cid:85)(cid:70)(cid:69)(cid:1)(cid:80)(cid:79)(cid:1)(cid:66)(cid:68)(cid:74)(cid:69)(cid:14)(cid:71)(cid:83)(cid:70)(cid:70)(cid:1)(cid:81)(cid:66)(cid:81)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:81)(cid:83)(cid:80)(cid:69)(cid:86)(cid:68)(cid:70)(cid:69)(cid:1)(cid:71)(cid:83)(cid:80)(cid:78)(cid:1)(cid:68)(cid:73)(cid:77)(cid:80)(cid:83)(cid:74)(cid:79)(cid:70)(cid:14)(cid:71)(cid:83)(cid:70)(cid:70)(cid:1)(cid:81)(cid:86)(cid:77)(cid:81)(cid:15)(cid:1)(cid:53)(cid:36)(cid:39)(cid:1)(cid:101)
(cid:36)(cid:80)(cid:87)(cid:70)(cid:83)(cid:1)(cid:69)(cid:70)(cid:84)(cid:74)(cid:72)(cid:79)(cid:27)(cid:1)(cid:41)(cid:70)(cid:74)(cid:79)(cid:91)(cid:1)(cid:41)(cid:74)(cid:77)(cid:85)(cid:67)(cid:83)(cid:86)(cid:79)(cid:79)(cid:70)(cid:83)(cid:13)(cid:1)(cid:35)(cid:66)(cid:84)(cid:70)(cid:77)
(cid:49)(cid:83)(cid:74)(cid:79)(cid:85)(cid:70)(cid:69)(cid:1)(cid:74)(cid:79)(cid:1)(cid:40)(cid:70)(cid:83)(cid:78)(cid:66)(cid:79)(cid:90)
(cid:42)(cid:52)(cid:35)(cid:47)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:27)(cid:1)(cid:20)(cid:14)(cid:24)(cid:23)(cid:21)(cid:20)(cid:14)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:19)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:21)
(cid:42)(cid:52)(cid:35)(cid:47)(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:27)(cid:1)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:24)(cid:23)(cid:21)(cid:20)(cid:14)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:19)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:20)(cid:16)(cid:14)(cid:23)(cid:22)
(cid:26)(cid:1)(cid:25)(cid:1)(cid:24)(cid:1)(cid:23)(cid:1)(cid:22)(cid:1)(cid:21)(cid:1)(cid:20)(cid:1)(cid:19)(cid:1)(cid:18) (cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:15)(cid:67)(cid:74)(cid:83)(cid:76)(cid:73)(cid:66)(cid:86)(cid:84)(cid:70)(cid:83)(cid:15)(cid:68)(cid:73)
I dedicate this work,
with all my love
and gratitude,
to Charlyne,
mathematician
‘honoris causa’
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
About the Author . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Number sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Classical matrix groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Vector calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
Function spaces and multi-index notation . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Combinatorial notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
Part I: Symplectic Geometry
1 Symplectic Spaces and Lagrangian Planes
1.1 Symplectic Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Symplectic bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Differential interpretation of σ . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Skew-Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Isotropic and Lagrangiansubspaces . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 The symplectic Gram–Schmidt theorem . . . . . . . . . . . 12
1.3 The LagrangianGrassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Lagrangianplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 The action of Sp(n) on Lag(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 18
viii Contents
1.4 The Signature of a Triple of LagrangianPlanes . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 First properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 The cocycle property of τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Topologicalproperties of τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 The Symplectic Group
2.1 The Standard Symplectic Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Symplectic matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 The unitary group U(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 The symplectic algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Factorization Results in Sp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Polar and Cartan decomposition in Sp(n) . . . . . . . . . . 38
2.2.2 The “pre-Iwasawa”factorization . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3 Free symplectic matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Hamiltonian flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 The variational equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3 The group Ham(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.4 Hamiltonian periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Multi-Oriented Symplectic Geometry
3.1 Souriau Mapping and Maslov Index . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.1 The Souriau mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.2 Definition of the Maslov index . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3 Properties of the Maslov index . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.4 The Maslov index on Sp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 The Arnol’d–Leray–MaslovIndex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.2 The Maslov bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.3 Explicit construction of the ALM index . . . . . . . . . . . 80
3.3 q-Symplectic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 The identification Lag (n)=Lag(n)×Z . . . . . . . . . . 85
∞
3.3.2 The universal covering Sp (n) . . . . . . . . . . . . . . . . 87
∞
3.3.3 The action of Sp (n) on Lag (n) . . . . . . . . . . . . . . . 91
q 2q
4 Intersection Indices in Lag(n) and Sp(n)
4.1 LagrangianPaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.1 The strata of Lag(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.2 The Lagrangianintersection index . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.3 Explicit construction of a Lagrangianintersection index . . 98
4.2 Symplectic Intersection Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Contents ix
4.2.1 The strata of Sp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2 Construction of a symplectic intersection index . . . . . . . 101
4.2.3 Example: spectral flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 The Conley–Zehnder Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Definition of the Conley–Zehnder index . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 The symplectic Cayley transform . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3 Definition and properties of ν(S∞) . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.4 Relation between ν and µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
(cid:1)P
Part II: Heisenberg Group, Weyl Calculus, and
Metaplectic Representation
5 Lagrangian Manifolds and Quantization
5.1 LagrangianManifolds and Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.2 The phase of a Lagrangianmanifold . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.3 The local expression of a phase . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Hamiltonian Motions and Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1 The Poincar´e–CartanInvariant . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.2 Hamilton–Jacobi theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3 The Hamiltonian phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Integrable Systems and LagrangianTori . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1 Poissonbrackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.2 Angle-action variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.3 Lagrangiantori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Quantization of LagrangianManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.1 The Keller–Maslov quantization conditions . . . . . . . . . 145
5.4.2 The case of q-oriented Lagrangianmanifolds. . . . . . . . . 147
5.4.3 Waveforms on a LagrangianManifold . . . . . . . . . . . . 149
5.5 Heisenberg–Weyl and Grossmann–RoyerOperators . . . . . . . . . 152
5.5.1 Definition of the Heisenberg–Weyl operators. . . . . . . . . 152
(cid:1)
5.5.2 First properties of the operators T(z) . . . . . . . . . . . . 154
5.5.3 The Grossmann–Royeroperators . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 Heisenberg Group and Weyl Operators
6.1 Heisenberg Group and Schro¨dinger Representation . . . . . . . . . 160
6.1.1 The Heisenberg algebra and group . . . . . . . . . . . . . . 160
6.1.2 The Schro¨dinger representation of H . . . . . . . . . . . . 163
n
6.2 Weyl Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.1 Basic definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . 167
x Contents
6.2.2 Relation with ordinary pseudo-differential calculus . . . . . 170
6.3 Continuity and Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.1 Continuity properties of Weyl operators . . . . . . . . . . . 174
6.3.2 Composition of Weyl operators . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.3.3 Quantization versus dequantization . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4 The Wigner–MoyalTransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.4.1 Definition and first properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.2 Wigner transform and probability . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4.3 On the range of the Wigner transform . . . . . . . . . . . . 192
7 The Metaplectic Group
7.1 Definition and Properties of Mp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.1.1 Quadratic Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.1.2 The projection πMp :Mp(n)−→Sp(n) . . . . . . . . . . . . 199
7.1.3 Metaplectic covariance of Weyl calculus . . . . . . . . . . . 204
7.2 The Metaplectic Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2.1 Quadratic Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2.2 The Schro¨dinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.2.3 The action of Mp(n) on Gaussians: dynamical approach . . 212
7.3 Maslov Indices on Mp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3.1 The Maslov index µ(cid:1)(S(cid:1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.3.2 The Maslov indices µ(cid:1) (S(cid:1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
(cid:1)
7.4 The Weyl Symbol of a Metaplectic Operator . . . . . . . . . . . . 222
(cid:1)
7.4.1 The operators R (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
ν
7.4.2 Relation with the Conley–Zehnder index . . . . . . . . . . . 227
Part III: Quantum Mechanics in Phase Space
8 The Uncertainty Principle
8.1 States and Observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.1.1 Classical mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.1.2 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.2 The Quantum Mechanical Covariance Matrix . . . . . . . . . . . . 239
8.2.1 Covariance matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2.2 The uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3 Symplectic Spectrum and Williamson’s Theorem . . . . . . . . . . 244
8.3.1 Williamson normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.2 The symplectic spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.3.3 The notion of symplectic capacity . . . . . . . . . . . . . . 248
Contents xi
8.3.4 Admissible covariance matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.4 Wigner Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.4.1 Phase space ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.4.2 Wigner ellipsoids and quantum blobs . . . . . . . . . . . . . 255
8.4.3 Wigner ellipsoids of subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.4.4 Uncertainty and symplectic capacity . . . . . . . . . . . . . 261
8.5 Gaussian States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.5.1 The Wigner transform of a Gaussian . . . . . . . . . . . . . 263
8.5.2 Gaussians and quantum blobs . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.5.3 Averaging over quantum blobs . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9 The Density Operator
9.1 Trace-Class and Hilbert–Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . 272
9.1.1 Trace-class operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.1.2 Hilbert–Schmidt operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.2 Integral Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.2.1 Operators with L2 kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.2.2 Integral trace-class operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.2.3 Integral Hilbert–Schmidt operators . . . . . . . . . . . . . . 288
9.3 The Density Operator of a Quantum State. . . . . . . . . . . . . . 291
9.3.1 Pure and mixed quantum states . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.3.2 Time-evolution of the density operator . . . . . . . . . . . . 296
9.3.3 Gaussian mixed states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10 A Phase Space Weyl Calculus
10.1 Introduction and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.1.1 Discussion of Schro¨dinger’s argument. . . . . . . . . . . . . 304
10.1.2 The Heisenberg group revisited . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.1.3 The Stone–von Neumann theorem . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2 The Wigner Wave-PacketTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.2.1 Definition of U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
φ
10.2.2 The range of U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
φ
10.3 Phase-Space Weyl Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3.1 Useful intertwining formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3.2 Properties of phase-space Weyl operators . . . . . . . . . . 319
10.3.3 Metaplectic covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4 Schro¨dinger Equation in Phase Space. . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.4.1 Derivation of the equation (10.39) . . . . . . . . . . . . . . 324
10.4.2 The case of quadratic Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . 325
10.4.3 Probabilistic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
xii Contents
A Classical Lie Groups
A.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.2 The Baker–Campbell–HausdorffFormula. . . . . . . . . . . . . . . 335
A.3 One-parameter Subgroups of GL(m,R). . . . . . . . . . . . . . . . 335
B Covering Spaces and Groups
C Pseudo-Differential Operators
C.1 The Classes Sm , Lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
ρ,δ ρ,δ
C.2 Composition and Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
D Basics of Probability Theory
D.1 Elementary Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
D.2 Gaussian Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Solutions to Selected Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365