Symmetrien in Festkorpern: Gruppentheoretische Grundlagen und Anwendungen

467 Pages·2002·8.38 MB·English

by  Dr. Manfred Bohm(auth.)

Manfred Böhm
Symmetrien in Festkörpern
Gruppentheoretische Grundlagen und Anwendungen
Symmetrien in Festkörpern: Gruppentheoretische Grundlagen und Anwendungen. Manfred Böhm
Copyright © 2002 WILEY-VCH Verlag Berlin GmbH, Berlin
ISBN: 3-527-40351-5

Manfred Böhm
Symmetrien in Festkörpern
Gruppentheoretische Grundlagen und Anwendungen
)WILEY-VCH
Autor:
Dr. Manfred Böhm
Justus-Liebig-Universität Gießen
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ISBN 3-527-40351-5
© Wiley-VCH Verlag Berlin GmbH, Berlin, Germany, 2002
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Für Michael und Markus

Vorwort
Das Buch, das auf einer zweisemestrigen Vorlesung aufbaut, versucht, eine Lücke im
Angebot jener Lehrbücher zu schließen, die sich allgemein mit der Anwendung der
Gruppentheorie in der Physik befassen. Auf der einen Seite gibt es eine Reihe von
Büchern, die den Umgang mit gruppentheoretischen Methoden bei der Diskussion
von Problemen vorwiegend aus dem Bereich der Atom- und Molekülphysik sowie
der Strukturchemie zu vermitteln beabsichtigen. Auf der anderen Seite beschäftigt
sich eine weitere Reihe von Büchern im wesentlichen mit LlE-Gruppen, die in der
Elementarteilchenphysik eine besondere Rolle spielen.
Die vorliegende Darstellung dagegen zielt auf ein umfassendes Verständnis des Sym-
metriekonzepts im Rahmen der Festkörperphysik. Sie möchte deshalb alle jene Phy-
siker, Chemiker und Mineralogen ansprechen, die sich allgemein mit dem kristallinen
Festkörper befassen und bemüht sind, durch Einbeziehung von Symmetrieeigenschaf-
ten eine Erleichterung im Umgang mit den dort auftretenden Problemen zu erreichen.
Dabei sind nicht nur jene Leser gemeint, die sich für die theoretischen Grundlagen
und Zusammenhänge interessieren. Sondern das Buch möchte vielmehr auch solche
Leser erreichen, die eine Hilfe bei der Interpretation von experimentellen Ergebnissen
suchen. Die Experimente selbst können vorwiegend dem Gebiet der Festkörperspek-
troskopie zugeordnet werden.
Der Inhalt des Buches kann in drei Abschnitte aufgeteilt werden. Im ersten Ab-
schnitt - Gruppen, Vektorräume, Abbildungen, Darstellungen - werden die mathe-
matischen Grundlagen vorgestellt, die beim Arbeiten mit gruppentheoretischen Tech-
niken unentbehrlich sind. Der zweite Abschnitt - Quantenmechanik, Punktgruppen,
Raumgruppen, Magnetische Gruppen - beschäftigt sich mit dem Symmetriebegriff in
der Quantenphysik und der Festkörperphysik. Dabei steht die Bedeutung der Symme-
trieelemente sowie deren mathematische Formulierung und Handhabung im Vorder-
grund. Im dritten Abschnitt - Ligandenfeider, Energiebänder, Schwingungen, Wech-
selwirkungen, Materialtensoren - findet man praktische Anwendungen im Hinblick auf
aktuelle Themen der Festkörperphysik. Eine der wichtigsten Ziele ist hier zu zeigen,
wie die Behandlung und Lösung von konkreten Problemen durch die Berücksichtigung
der Symmetrien vereinfacht wird. Schließlich werden in einem Anhang zahlreiche Ta-
bellen mit gruppentheoretischen Hilfsgrößen zusammengestellt, die bei der praktischen
Arbeit eine willkommene Unterstützung bieten.
Begleitet wird die Vermittlung des Symmetriebegriffs und dessen Anwendung durch
ausführlich erläuterte Beispiele sowie deren Lösungen. So ist es möglich im Selbststu-
dium jene Techniken zu erlernen, die den Umgang mit physikalischen Problemen aus
der Festkörperphysik erleichtern.
Mein besonderer Dank gilt den Herren Dr. M. Luh und Dipl.-Phys. U. Bursik, die
mir durch ihr persönliches Engagement bei den Schreibarbeiten ein große Hilfe waren.
VIII
Bedanken möchte ich mich auch recht herzlich bei Herrn Dr. A. Grossmann vom
Verlag Wiley-VCH, der durch sein förderndes Interesse wesentlich zum Gelingen des
Buches beigetragen hat.
Bleibt zu hoffen, dass das Buch einerseits Zustimmung und Freude erweckt, and-
rerseits aber auch zur Kritik und konstruktiven Mitarbeit anregt. Für Vorschläge,
Einwände und Anmerkungen bin ich jederzeit dankbar.
Giessen, Oktober 2001 Manfred Böhm
Inhalt
I Einführung l
II Gruppen 7
II. l Elemente und Verknüpfungen 7
II.2 Klassen H
II. 3 Normalteiler . . . . 16
11.4 Abbildungen 18
11.5 Produkte 19
11.6 Kontinuierliche Gruppen 21
III Vektorräume 27
III. l Lineare Vektorräume 27
III.2 Euklidische und unitäre Vektorräume 32
IV Abbildungen 35
IV.l Lineare Abbildungen 35
IV.2 Basistransformationen 39
IV.3 Besondere Abbildungen 43
IV.4 Eigenvektoren und Eigenwerte 44
V Darstellungen 49
V.l Lineare Darstellungen 49
V.2 Reduzible und irreduzible Darstellungen 54
V.3 Äquivalente Darstellungen 58
V.4 Normale Darstellungen 59
V.5 Die SCHURschen Lemmata 60
V.6 Orthogonalitäten 64
V.7 Reguläre Darstellungen . . 70
V.8 Reelle, pseudoreelle und komplexe Darstellungen 72
V.9 Projektionen 75
V.10 Produktdarstellungen 80
V.11 Induzierte und subduzierte Darstellungen 89
V. 12 Konjugierte und erlaubte Darstellungen 93
V.13 Strahldarstellungen 102
VI Quantenmechanik 107
VI.l HlLBERT-Räume 107
VI.2 Observable 111
VI.3 Skalare Funktionen . 116
X Inhalt
VI.4 Vektorfunktionen 119
VI.5 S0(3)-Symmetrie 123
VI.6 Sl7(2)-Symmetrie 128
VI.7 Skalare und vektorielle Operatoren 134
VI.8 Tensoroperatoren 136
VI. 9 WlGNER-EcKART-Theorem 143
VI. 10 Eigenwertprobleme 147
VI.ll Störungen 151
VI. 12 Zeitumkehrsymmetrie 154
VII Punktgruppen 161
VII.l Symmetrieelemente 161
VII.2 Kristallographische Punktgruppen 165
VII.3 Eigentliche und uneigentliche Punktgruppen 168
VII.4 Doppelpunktgruppen 178
VII.5 Darstellungen 181
VII.6 Strahldarstellungen 186
VIII Raumgruppen 193
VIII.l Symmetrieelemente 193
VIII.2 Symmorphe und nichtsymmorphe Raumgruppen 195
VIII.3 Kristallsysteme 198
VIII.4 Platzsymmetrien 207
VIII.5 Reziproke Gitter 211
VIII.6 Darstellungen der Translationsgruppe 216
VIII.7 Darstellungen der Gruppe des fc-Vektors 220
VIII.8 Darstellungen der Raumgruppe 232
VIII.9 Darstellungen der Doppelraumgruppe 237
VIII. 10 Zweidimensionale Raumgruppen 242
IX Magnetische Gruppen 245
IX. l Magnetische Punktgruppen 245
IX.2 Magnetische Raumgruppen 248
IX.3 Ko-Darstellungen von magnetischen Punktgruppen 254
IX.4 Ko-Darstellungen von magnetischen Raumgruppen 262
X Ligandenfeider 277
X.l Mittelstarke Felder 278
X.2 Schwache Felder 284
X.3 Starke Felder 287
X.4 Termdiagramme 292
X.5 Ligandenfeldtheorie 297
XI Energiebänder 305
XI.l Erlaubte und verbotene Bänder 305
XI.2 Freie Näherung 309
XI.3 Gebundene Näherung 313
XI.4 Berechnungsmethoden 319
XI.5 Entartungen 323