Syllabus Algebra I

149 Pages·2016·4.332 MB·Dutch

by  H. W. Lenstra, F. Oort, B.J.J. Moonen

Syllabus Algebra I
Prof. Dr. H.W. Lenstra, Jr.
Prof. Dr. F. Oort
Bewerkt en aangevuld door Prof. Dr. B.J.J. Moonen
Met een appendix door Raf Bocklandt
Studiejaar en semester: jaar 1, semester 2
Docent: Raf Bocklandt
Studielast: 6 EC
Studiegidsnummer: 51221ALG6Y
Inhoudsopgave
0 Gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Ondergroepen, homomor(cid:28)smen, directe producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Voortbrengers, orde, index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Permutaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Normaaldelers, factorgroepen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Homomor(cid:28)e- en isomor(cid:28)estellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Werkingen van groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Automor(cid:28)smen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 Eindige abelse groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A Meetkunde en groepentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
i
Voorwoord
Deze syllabus is een nieuwe editie van de syllabus Algebra, Deel A: Groepen geschreven door de hoog-
leraren H.W. Lenstra en F. Oort, waarvan eerste versies stammen uit het begin van de jaren 1980. De
afgelopendecenniaisaanveelNederlandseuniversiteitenAlgebraonderwezenuitdesyllabivanLenstra
en Oort, of uit syllabi die daar sterk door zijn be(cid:239)nvloed. Vele wiskundigen hebben ergens in hun boe-
kenkast nog wel oorspronkelijke exemplaren liggen, vaak met versleten ruggen en een lijmbinding die
na zovele jaren is uitgedroogd, waardoor de pagina’s gemakkelijk loslaten.
De syllabi van Lenstra en Oort stammen uit een tijd dat TEX nog niet algemeen in gebruik was en
LATEX zelfs nog niet bestond; de wiskundige schreef zijn teksten toen nog met een typemachine. De
huidige versie is geproduceerd met behulp van LATEX, en op diverse plaatsen zijn kleine veranderingen
aangebracht in de tekst. Op hoofdlijnen is de oorspronkelijke tekst echter ongewijzigd gelaten.
Naast de basistext is er ook een appendix toegevoegd waarin een voorproefje gegeven wordt van
de verbanden tussen groepentheorie en verschillende aspecten van de meetkunde. De bedoeling van
de appendix is om aan te tonen dat groepentheorie alom tegenwoordig is in de hedendaagse wiskunde
en om kennis te maken met een aantal groepen en concepten die vaak terugkomen in verschillende
vakgebieden. Sommige van deze groepen zullen we ook gebruiken in de colleges om de theorie uit de
syllabus te illustreren.
Onze dank gaat uit naar H.W. Lenstra en F. Oort voor hun permissie om hun syllabus opnieuw
in gebruik te nemen, en naar Floor Broekgaarden, Okke van Garderen en Pieter van Niel voor het
typewerk dat de basis heeft gevormd voor de huidige editie.
Bij het overtypen van de tekst kunnen er natuurlijk fouten zijn gemaakt. Correcties of suggesties
voor verbetering van de tekst zijn altijd welkom op [email protected].
Prof. Dr. B.J.J. Moonen
Nijmegen, oktober 2014
Raf Bocklandt
Amsterdam, januari 2015

Hoofdstuk 0
Gehele getallen
In dit hoofdstuk behandelen we de deelbaarheidseigenschappen van de gehele getallen. We veron-
derstellen bekendheid met de verzameling Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} der gehele getallen, met de
elementaire eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging van gehele getallen, met het principe
vanvolledigeinductie enmeteenaantalanderealgemenebegrippenennotaties;ziehiervoordesyllabus
Basiswiskunde van G. Oomens.
Stelling 0.1 (Deling met rest). Laat a,b ∈ Z met b > 0. Dan bestaan er gehele getallen q en r (het
quotiºnt en de rest van a bij deling door b) zodanig dat
a = qb+r en 0 ≤ r < b.
Bovendien zijn q en r eenduidig bepaald door a en b.
Voorbeeld 0.2. Voor a = 23 en b = 7 geldt
23 = 3·7+2
dus q = 3 en r = 2. Voor a = −23 en b = 7 geldt
−23 = −4·7+5
dus q = −4 en r = 5.
Bewijs van 0.1. Eerst bewijzen we het bestaan van q en r. Om te beginnen beschouwen we het geval
dat a ≥ 0. In dit geval gaan we het bestaan van q en r met volledige inductie naar a bewijzen.
Begin van de inductie: a = 0. Hiervoor kunnen we q = 0 en r = 0 nemen.
Inductiestap: a > 0. De inductiehypothese zegt, dat we het voor a−1 kunnen:
a−1 = q(cid:48)·b+r(cid:48), q(cid:48),r(cid:48) ∈ Z, 0 ≤ r(cid:48) < b.
We onderscheiden nu twee gevallen: r(cid:48) = b−1 of r(cid:48) < b−1. Als r(cid:48) = b−1 dan geldt a−1 = q(cid:48)·b+b−1
dus
a = (q(cid:48)+1)·b.
1
HOOFDSTUK 0. GEHELE GETALLEN
Neem nu q = q(cid:48)+1 en r = 0, dan hebben q en r de verlangde eigenschappen.
Als r(cid:48) < b−1 nemen we q = q(cid:48), r = r(cid:48)+1. Dan geldt
a = qb+r, 0 < r < b,
dus opnieuw hebben q en r de verlangde eigenschappen. Hiermee is de inductiestap voltooid.
Stel vervolgens dat a < 0. Dan geldt −a > 0, dus wegens het zojuist bewezene geldt −a = q(cid:48)b+r(cid:48)
voor zekere q(cid:48),r(cid:48) ∈ Z met 0 ≤ r(cid:48) < b. Als r(cid:48) = 0 dan geldt a = (−q(cid:48))·b, dus we kunnen q = −q(cid:48) en
r = 0 nemen. Als r(cid:48) > 0 dan geldt
a = (−q(cid:48)−1)·b+(b−r(cid:48)), 0 < b−r(cid:48) < b,
dus we kunnen q = −q(cid:48)−1 en r = b−r(cid:48) nemen. Hiermee hebben we in alle gevallen het bestaan van
q en r aangetoond. Vervolgens gaan we de eenduidigheid bewijzen. Stel dat
a = q b+r , q ,r ∈ Z, 0 ≤ r < b,
1 1 1 1 1
a = q b+r , q ,r ∈ Z, 0 ≤ r < b.
2 2 2 2 2
We willen bewijzen dat q = q en r = r .
1 2 1 2
Als q = q dan ook r = a−q b = a−q b = r , en we zijn klaar. Als q (cid:54)= q , dan is ØØn van
1 2 1 1 2 2 1 2
beide, zeg q , de grootste (verwissel anders de indices 1 en 2). Uit q b+r = a = q b+r volgt dan
1 1 1 2 2
(q −q )b = r −r .
1 2 2 1
Uit q > q volgt q −q ≥ 1 dus
1 2 1 2
(q −q )b ≥ b.
1 2
Uit r < b, r ≥ 0 volgt evenwel
2 1
(q −q )b = r −r < b.
1 2 2 1
Dit is een tegenspraak.
Hiermee is 0.1 volledig bewezen.
De(cid:28)nitie 0.3. Laat a,b ∈ Z. Als er een q ∈ Z bestaat zodanig dat a = qb, zeggen we dat a deelbaar
is door b, of dat a een veelvoud van b is, of dat b een deler van a is, of dat b het getal a deelt; notatie:
b | a. Als b gØØn deler is van a schrijven we b (cid:45) a.
Voorbeelden 0.4. Er geldt
5 | 15, −3 (cid:45) 8, 0 | 0, 1 | −1, 0 (cid:45) 5.
(cid:22) 2 (cid:22)
HOOFDSTUK 0. GEHELE GETALLEN
De volgende eigenschappen, die we beneden herhaaldelijk zullen gebruiken, zijn directe gevolgen
van de de(cid:28)nitie:
c | b en b | a =⇒ c | a,
b | a en b | a(cid:48) =⇒ b | a+a(cid:48) en b | a−a(cid:48),
b | 0 voor alle b,
1 | a voor alle a,
0 | a ⇐⇒ a = 0,
b | a ⇐⇒ |b| deelt |a|,
b | a en a (cid:54)= 0 =⇒ |b| ≤ |a|.
Hier geven a, a(cid:48), b en c gehele getallen aan. Uit de laatste eigenschap volgt dat een gegeven geheel
getal a (cid:54)= 0 maar eindig veel delers heeft. Dit betekent dat de volgende de(cid:28)nitie zinvol is:
De(cid:28)nitie 0.5. Laat a,b ∈ Z. Als a en b niet beide nul zijn, is de grootste gemene deler van a en b
het grootste gehele getal dat zowel een deler van a als van b is; notatie: ggd(a,b) of (a,b). Bovendien
zetten we ggd(0,0) = 0. We noemen a en b onderling ondeelbaar of relatief priem als ggd(a,b) = 1.
Merk op dat geldt
ggd(0,a) = ggd(a,0) = |a|, voor a ∈ Z,
ggd(a,b) = ggd(cid:0)|a|,|b|(cid:1), voor a,b ∈ Z.
0.6 Het Euclidische algoritme voor de bepaling van ggd(a,b) werkt als volgt.
Euclides, Alexandrijns wiskundige, ≈ 300 v.Chr.
Laat a,b ∈ Z. De(cid:28)nieer de niet-negatieve gehele getallen r ,r ,r ,... op de volgende manier:
0 1 2
r = |a|,
0
r = |b|,
1
r = (rest van r bij deling door r ) als r (cid:54)= 0;
n+1 n−1 n n
dus r wordt gevonden uit een deling met rest:
n+1
r = q ·r +r , q ,r ∈ Z, 0 ≤ r < r .
n−1 n n n+1 n n+1 n+1 n
(cid:22) 3 (cid:22)
HOOFDSTUK 0. GEHELE GETALLEN
In het geval r = 0 stopt het algoritme, en we hebben dan ggd(a,b) = r (dit bewijzen we straks).
n n−1
Merk op dat er beslist een n moet zijn met r = 0, anders zouden we een oneindige dalende rij
n
r > r > r > ··· van positieve gehele getallen krijgen, hetgeen onmogelijk is.
1 2 3
Voorbeelden 0.7. Laat a = r = 1057 en b = r = 315. We vinden achtereenvolgens
0 1
1057 = 3·315+112 (q = 3,r = 112)
1 2
315 = 2·112+91 (q = 2,r = 91)
2 3
112 = 1·91+21 (q = 1,r = 21)
3 4
91 = 4·21+7 (q = 4,r = 7)
4 5
21 = 3·7+0 (q = 3,r = 0).
5 6
Er geldt r = 0, dus ggd(1057,315) = r = 7.
6 5
Het volgende lemma gebruiken we om te bewijzen dat het algoritme het juiste resultaat oplevert.
Lemma 0.8. Laat a,b ∈ Z met b (cid:54)= 0, en a = qb+r met q,r ∈ Z. Dan geldt:
ggd(a,b) = ggd(b,r).
Bew…s. Laat d een deler van b zijn. Als d ook een deler van a is, dan volgt uit d | a en d | qb dat
d | a−qb = r
dus d is een deler van r. Omgekeerd, als d ook een deler van r is, dan
d | qb+r = a,
dus d is een deler van a. We zien dus dat de getallen die zowel a als b delen dezelfde zijn als de getallen
die zowel r als b delen. Hieruit volgt ggd(a,b) = ggd(r,b). Dit bewijst 0.8.
We bewijzen nu dat het Euclidische algoritme inderdaad de grootste gemene deler berekent. Laat
a,b ∈ Z, laten r ,r ,r ,... gede(cid:28)nieerd zijn als in 0.6, en zij m het getal waarvoor r = 0. We moeten
0 1 2 m
bewijzen dat r = ggd(a,b). Er geldt
m−1
(cid:0) (cid:1)
ggd(a,b) = ggd |a|,|b| = ggd(r ,r ).
0 1
Door herhaald Lemma 0.8 toe te passen (op r en r in plaats van a en b) vinden we
i−1 i
ggd(r ,r ) = ggd(r ,r ) = ... = ggd(r ,r ).
0 1 1 2 m−1 m
Tenslotte geldt r = 0, dus
m
ggd(r ,r ) = ggd(r ,0) = r .
m−1 m m−1 m−1
Hiermee hebben we bewezen dat ggd(a,b) = r , zoals verlangd.
m−1
(cid:22) 4 (cid:22)
HOOFDSTUK 0. GEHELE GETALLEN
Stelling 0.9. Laat a,b ∈ Z, en d = ggd(a,b). Dan bestaan er x,y ∈ Z met xa+yb = d.
Bew…s. We gebruiken de notaties uit 0.6. We bepalen twee rijen gehele getallen x ,x ,x ,... en
0 1 2
y ,y ,y ,... zodanig dat steeds geldt
0 1 2
x a+y b = r .
n n n
Voor n = 0 geldt r = |a| = ±a, dus we kunnen x = ±1 en y = 0 nemen. Op dezelfde wijze kunnen
n 0 0
we x = 0 en y = ±1 nemen. Als n ≥ 1, en r (cid:54)= 0, dan bepalen we x en y door van de
1 1 n n+1 n+1
vergelijking
x a+y b = r
n−1 n−1 n−1
q keer de vergelijking
n
x a+y b = r
n n n
af te trekken. Wegens r −q r = r geeft dit
n−1 n n n+1
(x −q x )·a+(y −q y )·b = r ,
n−1 n n n−1 n n n+1
dus we kunnen x = x −q x en y = y −q y kiezen. Zo voortgaande vinden we op een
n+1 n−1 n n n+1 n−1 n n
gegeven ogenblik r = 0, en dan geldt
m
x a+y b = r = d.
m−1 m−1 m−1
Hiermee is 0.9 bewezen.
Voorbeelden 0.10. Met a = 1057 en b = 315 vinden we achtereenvolgens
1·1057 +0·315 = 1057
0·1057 +1·315 = 315 (deze 3x van de vorige aftrekken)
1·1057 +(−3)·315 = 112 (deze 2x van de vorige aftrekken)
(−2)·1057 +7·315 = 91 (deze 1x)
3·1057 +(−10)·315 = 21 (deze 4x)
(−14)·1057 +47·315 = 7.
Dit levert de oplossing (x,y) = (−14,47) van x·1057+y ·315 = ggd(1057,315) = 7. Het is niet de
enige oplossing (zie Opgave 0.5(a)) maar wel de kleinste (zie Opgave 0.5(c)).
Gevolg 0.11. Laat a,b ∈ Z, en d = ggd(a,b). Dan is elk getal dat zowel een deler van a als van b is
ook een deler van d.
Bew…s. Schrijf d = xa + yb, met x,y ∈ Z. Als c | a en c | b, dan volgt c | xa + yb = d. Dit
bewijst 0.11.
Gevolg 0.12. Twee gehele getallen a en b zijn onderling ondeelbaar dan en slechts dan als er x,y ∈ Z
bestaan met xa+yb = 1.
(cid:22) 5 (cid:22)
HOOFDSTUK 0. GEHELE GETALLEN
Bew…s. De implicatie ‘⇒’ is het speciale geval d = 1 van 0.9. Voor ‘⇐’: Als d = ggd(a,b), dan geldt
d | a en d | b, dus d | xa+yb = 1. Hieruit volgt d = 1. Dit bewijst 0.12.
Gevolg 0.13. Laten a,b,c gehele getallen zijn, met a en b onderling ondeelbaar. Dan geldt: a | bc =⇒
a | c.
Bew…s. Kies x,y ∈ Z met xa+yb = 1. Uit a | bc volgt a | xac+ybc = (xa+yb)c = 1·c = c, zoals
verlangd. Dit bewijst 0.13.
De(cid:28)nitie 0.14. Een priemgetal is een geheel getal p, dat groter dan 1 is en behalve 1 en p geen
positieve delers heeft.
Voorbeelden 0.15. De getallen 2, 3, 5, 7, 101 en 170141183460469231731687303715884105727 zijn
priemgetallen.
Voor meer informatie over priemgetallen, zie bijvoorbeeld D.B. Zagier, The (cid:28)rst 50 million prime
numbers, The Mathematical Intelligencer, vol. 0 (1977), 7(cid:21)19. 1
Stelling 0.16. Laat p een priemgetal zijn, en b,c ∈ Z. Dan geldt: p | bc =⇒ p | b of p | c.
Bew…s. Omdat ggd(b,p) een positieve deler van p is, geldt ggd(b,p) = 1 of ggd(b,p) = p. Als
ggd(b,p) = 1 dan kunnen we 0.13 toepassen (met a = p), en we zien: Als p | bc, dan p | c. Als
ggd(b,p) = p, dan geldt p | b. Dus in beide gevallen geldt p | b of p | c. Hiermee is 0.16 bewezen.
Gevolg 0.17. Laat p een priemgetal zijn, en b ,b ,...,b gehele getallen met p | b b ···b . Dan is
1 2 u 1 2 u
er een i ∈ {1,2,...,u} met p | b .
i
Bew…s. Dit volgt uit 0.16 met volledige inductie naar u. De precieze uitvoering van het bewijs laten
we aan de lezer over. Dit bewijst 0.17.
Stelling 0.18 (Eenduidige priemfactorontbinding). Elk positief geheel getal a kan geschreven worden
als product van een eindig aantal priemgetallen:
a = p p ···p , waarbij t ≥ 0 en waarbij de p priemgetallen zijn (1 ≤ i ≤ t).
1 2 t i
Bovendien is een dergelijke schrijfwijze eenduidig bepaald op de volgorde van de factoren na.
Bew…s. Eerst bewijzen we, met volledige inductie naar a, dat a als een product van priemgetallen te
schrijven is.
Als a = 1 dan nemen we t = 0: het lege product is bij afspraak gelijk aan 1. Als a een priemgetal
is dan nemen we t = 1 en p = a. Tenslotte, stel dat a geen priemgetal is, en a > 1. Dan heeft a een
1
deler b met 1 < b < a, dus we kunnen schrijven a = bc, met b,c < a. Omdat b en c kleiner dan a zijn,
kunnen we de inductiehypothese op b en c toepassen. Dan vinden we, dat b en c elk als product van
priemgetallen geschreven kunnen worden. Dit geldt dan ook voor a = bc.
1http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf
(cid:22) 6 (cid:22)