Switching Processes in Queueing Models

343 Pages·2008·1.932 MB·English

by  Vladimir Anisimov

Switching Processes
in Queueing Models

Vladimir V. Anisimov

Series Editor
Nikolaos Limnios
First published in Great Britain and the United States in 2008 by ISTE Ltd and John Wiley &
Sons, Inc.

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© ISTE Ltd, 2008

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asserted by him in accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988.

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Anisimov, V. V. (Vladimir Vladislavovich)
Switching processes in queueing models / Vladimir V. Anisimov.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-84821-045-5
1. Telecommunication--Switching systems--Mathematical models. 2. Telecommunication--
Traffic--Mathematical models. 3. Queuing theory. I. Title.
TK5102.985.A55 2008
519.8'2--dc22
2008008995

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN: 978-1-84821-045-5
Printed and bound in Great Britain by Antony Rowe Ltd, Chippenham, Wiltshire.
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapter1.SwitchingStochasticModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.Randomprocesseswithdiscretecomponent . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1.Markovandsemi-Markovprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.2.ProcesseswithindependentincrementsandMarkovswitching . . 21
1.1.3.Processeswithindependentincrementsandsemi-Markovswitching 23
1.2.Switchingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1.Definitionofswitchingprocesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2.Recurrentprocessesofsemi-Markovtype(simplecase) . . . . . . 26
1.2.3.RPSMwithMarkovswitching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.4.GeneralcaseofRPSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.5.ProcesseswithMarkovorsemi-Markovswitching . . . . . . . . . 27
1.3.Switchingstochasticmodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1.Sumsofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2.Randommovements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3.Dynamicsystemsinarandomenvironment . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4.Stochasticdifferentialequationsinarandomenvironment . . . . 30
1.3.5.Branchingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.6.State-dependentflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.7.Two-levelMarkovsystemswithfeedback . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chapter2.SwitchingQueueingModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.Queueingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1.Markovqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5
6 SwitchingProcessesinQueueingModels
2.2.1.1.Astate-dependentsystemM /M /1/∞. . . . . . . . . . . 39
Q Q
2.2.1.2.QueueingsystemM /M /1/m. . . . . . . . . . . . . 40
M,Q M,Q
2.2.1.3.SystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Q,B Q,B
2.2.2.Non-Markovsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2.1.Semi-MarkovsystemSM/M /1 . . . . . . . . . . . . . 42
SM,Q
2.2.2.2.SystemM /M /1/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
SM,Q SM,Q
2.2.2.3.SystemM /M /1/V . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
SM,Q SM,Q
2.2.3.Modelswithdependentarrivalflows . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4.Pollingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.5.Retrialqueueingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.Queueingnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1.Markovstate-dependentnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1.1.Markovnetwork(M /M /m/∞)r . . . . . . . . . . . . . 49
Q Q
2.3.1.2.Markovnetworks(M /M /m/∞)r withbatches . . . 50
Q,B Q,B
2.3.2.Non-Markovnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2.1.State-dependentsemi-Markovnetworks . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2.2.Semi-Markovnetworkswithrandombatches . . . . . . . . . 52
2.3.2.3.Networkswithstate-dependentinput . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chapter3.ProcessesofSumsofWeakly-dependentVariables . . . . . . . . 57
3.1. Limit theorems for processes of sums of conditionally independent
randomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.LimittheoremsforsumswithMarkovswitching . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1.Flowsofrareevents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1.1.Discretetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1.2.Continuoustime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.Quasi-ergodicMarkovprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.Limittheoremsfornon-homogenousMarkovprocesses . . . . . . . . . 73
3.4.1.ConvergencetoGaussianprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.2.Convergencetoprocesseswithindependentincrements . . . . . . 78
3.5.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Chapter4.AveragingPrincipleandDiffusionApproximationforSwitch-
ingProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.Averagingprincipleforswitchingrecurrentsequences . . . . . . . . . . 84
4.3.AveragingprincipleanddiffusionapproximationforRPSMs . . . . . . 88
4.4. Averaging principle and diffusion approximation for recurrent pro-
cessesofsemi-Markovtype(Markovcase) . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.1.AveragingprincipleanddiffusionapproximationforSMP . . . . 105
4.5.AveragingprincipleforRPSMwithfeedback . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6.Averagingprincipleanddiffusionapproximationforswitchingprocesses 108
Contents 7
4.6.1. Averaging principle and diffusion approximation for processes
withsemi-Markovswitching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Chapter5.AveragingandDiffusionApproximationinOverloadedSwitch-
ingQueueingSystemsandNetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.Markovqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.1.SystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Q,B Q,B
5.2.2.SystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Q Q
5.2.3.Analysisofthewaitingtime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.4.Anoutputprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.5.Time-dependentsystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . 132
Q,t Q,t
5.2.6.Asystemwithimpatientcalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.Non-Markovqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1.SystemGI/M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Q
5.3.2.Semi-MarkovsystemSM/M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . 136
SM,Q
5.3.3.SystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
SM,Q SM,Q
5.3.4.SystemSM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Q SM,Q
5.3.5.SystemG /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Q Q
5.3.6.Asystemwithunreliableservers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.7.Pollingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.Retrialqueueingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.1.RetrialsystemM /G/1/w.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Q
5.4.2.SystemM¯/G¯/1/w.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4.3.RetrialsystemM/M/m/w.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5.Queueingnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.5.1.State-dependentMarkovnetwork(M /M /1/∞)r . . . . . . . 159
Q Q
5.5.2.Markovstate-dependentnetworkswithbatches . . . . . . . . . . . 161
5.6.Non-Markovqueueingnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6.1.Anetwork(M /M /1/∞)r withsemi-Markovswitching 164
SM,Q SM,Q
5.6.2.State-dependentnetworkwithrecurrentinput . . . . . . . . . . . . 169
5.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Chapter6.SystemsinLowTrafficConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.Analysisofthefirstexittimefromthesubsetofstates . . . . . . . . . . 176
6.2.1.DefinitionofS-set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2.2.Anasymptoticbehaviorofthefirstexittime . . . . . . . . . . . . 177
6.2.3.Statespaceformingamonotonestructure . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.4. Exit time as the time of first jump of the process of sums with
Markovswitching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.3.Markovqueueingsystemswithfastservice . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 SwitchingProcessesinQueueingModels
6.3.1.M/M/s/msystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3.1.1.SystemM /M/l/minaMarkovenvironment . . . . . . . 185
M
6.3.2.Semi-Markovqueueingsystemswithfastservice . . . . . . . . . 188
6.4.Single-serverretrialqueueingmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4.1.Case1: fastservice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.4.1.1.State-dependentcase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.4.2.Case2: fastserviceandlargeretrialrate. . . . . . . . . . . . . . . 195
6.4.3.State-dependentmodelinaMarkovenvironment . . . . . . . . . . 197
6.5.Multiserverretrialqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.6.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Chapter7.FlowsofRareEventsinLowandHeavyTrafficConditions . . 207
7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2.Flowsofrareeventsinsystemswithmixing. . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3.Asymptoticallyconnectedsets(V -S-sets) . . . . . . . . . . . . . . . . 211
n
7.3.1.Homogenouscase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.2.Non-homogenouscase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.Heavytrafficconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.Flowsofrareeventsinqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.1.Lighttrafficanalysisinmodelswithfinitecapacity. . . . . . . . . 216
7.5.2.Heavytrafficanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Chapter8.AsymptoticAggregationofStateSpace . . . . . . . . . . . . . . 221
8.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.2.AggregationoffiniteMarkovprocesses(stationarybehavior) . . . . . . 223
8.2.1.Discretetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2.2.Hierarchicasymptoticaggregation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.3.Continuoustime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.3.Convergenceofswitchingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.4.AggregationofstatesinMarkovmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.4.1.Convergence oftheaggregated processtoaMarkovprocess(fi-
nitestatespace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.4.2.Convergenceoftheaggregatedprocesswithageneralstatespace 236
8.4.3.Accumulatingprocessesinaggregationscheme . . . . . . . . . . 237
8.4.4.MPaggregationincontinuoustime. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.5. Asymptotic behavior of the first exit time from the subset of states
(non-homogenousintimecase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.6.Aggregationofstatesofnon-homogenousMarkovprocesses . . . . . . 243
8.7. Averaging principle for RPSM in the asymptotically aggregated
Markovenvironment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.7.1.SwitchingMPwithafinitestatespace . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.7.2.SwitchingMPwithageneralstatespace . . . . . . . . . . . . . . 250
Contents 9
8.7.3.Averagingprincipleforaccumulatingprocessesintheasymptot-
icallyaggregatedsemi-Markovenvironment . . . . . . . . . . . . 251
8.8. Diffusion approximation for RPSM in the asymptotically aggregated
Markovenvironment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.9.AggregationofstatesinMarkovqueueingmodels . . . . . . . . . . . . 255
8.9.1.SystemM /M /r/∞withunreliableserversinheavytraffic . . 255
Q Q
8.9.2.SystemM /M /1/∞inheavytraffic . . . . . . . . . . . . 256
M,Q M,Q
8.10.Aggregationofstatesinsemi-Markovqueueingmodels . . . . . . . . 258
8.10.1.SystemSM/M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
SM,Q
8.10.2.SystemM /M /1/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
SM,Q SM,Q
8.11.Analysisofflowsoflostcalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.12.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Chapter9.AggregationinMarkovModelswithFastMarkovSwitching . 267
9.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.MarkovmodelswithfastMarkovswitching . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.1.MarkovprocesseswithMarkovswitching . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.2.MarkovqueueingsystemswithMarkovtypeswitching . . . . . . 271
9.2.3.AveraginginthefastMarkovtypeenvironment. . . . . . . . . . . 272
9.2.4.Approximationofastationarydistribution . . . . . . . . . . . . . 274
9.3.Proofsoftheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.3.1.ProofofTheorem9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.3.2.ProofofTheorem9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.3.ProofofTheorem9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.QueueingsystemswithfastMarkovtypeswitching . . . . . . . . . . . 279
9.4.1.SystemM /M /1/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
M,Q M,Q
9.4.1.1.Averagingofstatesoftheenvironment . . . . . . . . . . . . 279
9.4.1.2.Theapproximationofastationarydistribution . . . . . . . . 280
9.4.2.BatchsystemBM /BM /1/N . . . . . . . . . . . . . . . . 281
M,Q M,Q
9.4.3.SystemM/M/s/mwithunreliableservers . . . . . . . . . . . . . 282
9.4.4.PrioritymodelM /M /m/s,N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Q Q
9.5.Non-homogenousintimequeueingmodels . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5.1.SystemM /M /s/mwithfastswitching–averagingof
M,Q,t M,Q,t
states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.5.2.SystemM /M /s/mwithfastswitching–aggregationof
M,Q M,Q
states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.6.Numericalexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Chapter 10. Aggregation in Markov Models with Fast Semi-Markov
Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.1.Markovprocesseswithfastsemi-Markovswitches . . . . . . . . . . . 292
10.1.1.Averagingofasemi-Markovenvironment . . . . . . . . . . . . . 292
10 SwitchingProcessesinQueueingModels
10.1.2.Asymptoticaggregationofasemi-Markovenvironment . . . . . 300
10.1.3.Approximationofastationarydistribution . . . . . . . . . . . . . 305
10.2. Averaging and aggregation in Markov queueing systems with semi-
Markovswitching. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2.1.Averagingofstatesoftheenvironment . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2.2.Asymptoticaggregationofstatesoftheenvironment . . . . . . . 310
10.2.3.Theapproximationofastationarydistribution. . . . . . . . . . . 311
10.3.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Chapter11.OtherApplicationsofSwitchingProcesses . . . . . . . . . . . . 315
11.1.Self-organizationinmulticomponentinteractingMarkovsystems . . . 315
11.2.Averagingprincipleanddiffusionapproximationfordynamicsystems
withstochasticperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.2.1.Recurrentperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.2.2.Semi-Markovperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.3.Randommovements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.3.1.Ergodiccase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.3.2.Caseoftheasymptoticaggregationofstatespace . . . . . . . . . 325
11.4.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Chapter12.SimulationExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.1.Simulationofrecurrentsequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.2.Simulationofrecurrentpointprocesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.3.SimulationofRPSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.4.Simulationofstate-dependentqueueingmodels . . . . . . . . . . . . . 334
12.5.SimulationoftheexittimefromasubsetofstatesofaMarkovchain . 337
12.6.AggregationofstatesinMarkovmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
To my wife, Zoya
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