sviluppo di un modello di simulazione abbinato a un algoritmo qualitativo per lo studio dei sistemi

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SVILUPPO DI UN MODELLO DI
SIMULAZIONE ABBINATO A UN
ALGORITMO QUALITATIVO PER LO
STUDIO DEI SISTEMI AMBIENTALI
COMPLESSI
di
Stefano Allesina
Tesi presentata per la discussione del
diploma di laurea in
Scienze Ambientali
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e
Naturali – Università di Parma
AA 1999-2000
Relatore: dott. Alessandro Zaccagnini
Dipartimento di Matematica

Co-Relatore: dott. Antonio Bodini
Dipartimento di Scienze Ambientali
A b s t r a c t
SVILUPPO DI UN MODELLO
DI SIMULAZIONE ABBINATO
A UN ALGORITMO
QUALITATIVO PER LO
STUDIO DEI SISTEMI
AMBIENTALI COMPLESSI
di Stefano Allesina
Relatore: Dottor Alessandro Zaccagnini
Dipartimento di Matematica
Co-Relatore: Dottor Antonio Bodini
Dipartimento di Scienze Ambientali
La tesi si occupa dei metodi informatici e matematici della Loop Analysis, una
metodologia per lo studio qualitativo dei sistemi lineari o linearizzabili di equazioni
differenziali. Questi sistemi sono importanti nello studio degli ecosistemi e nella
valutazione dell'impatto dell'uomo sugli ambienti naturali, in quanto i rapporti tra
popolazioni, e tra gli altri fattori biotici, abiotici, culturali e sociali, si possono
modellizzare in un sistema di variabili che intrattengono relazioni di indifferenza,
competizione, mutualismo, ecc.
La Loop Analysis si occupa proprio del segno di queste interazioni, studiando la
cosiddetta matrice di comunità, ovvero la matrice Jacobiana, valutata in un punto
stazionario, del sistema linearizzato. In realtà, non viene studiata direttamente la
matrice, ma le proprietà del grafo orientato che si può univocamente associare alla
matrice, individuando cioè i vari percorsi (paths) e cicli (loop) del grafo. Da queste
proprietà è possibile valutare la stabilità del sistema, anche se formato da un
cospicuo numero di variabili, e fare predizioni sul mutamento dei valori di equilibrio
delle variabili in caso di input esterni.
Il lavoro si è concretizzato in tre software che sono in grado di creare le matrici e i
grafi, fare la Loop Analysis e infine eseguire una simulazione sui vari percorsi.
L'utilizzo della simulazione ha lo scopo di individuare il segno prevalente dei
cosiddetti percorsi ambigui, ossia i percorsi del grafo che partono da una variabile e
arrivano a un'altra dando risultati di segno opposto. Il programma compie questa
operazione assegnando, dopo averli normalizzati, valori casuali ai coefficienti della
matrice (links del grafo) e calcolando poi la forza dei percorsi. Reiterando questa
procedura più volte si ottengono stime approssimate della "probabilità" dei due
segni, chiarendo molte delle ambiguità.
Inoltre, i tre programmi permettono di analizzare sistemi con un consistente
numero di variabili (30), poiché i dati in output sono memorizzati in tabelle di
databases e quindi di facile accesso e molto capienti. Questa scelta si è resa
necessaria perché il numero di percorsi, e quindi la complessità algoritmica, sale più
che esponenzialmente con l'aumentare delle variabili. Un aspetto peculiare di questo
studio consiste nella sinergia di due diverse e apparentemente inconciliabili
metodologie di analisi: quella qualitativa (Loop Analysis) e quella quantitativa
(simulazione).
SOMMARIO
Capitolo 1 – INTRODUZIONE....................................................................................1
I modelli matematici: definizioni.........................................................................................2
Modellizzare i sistemi complessi.........................................................................................4

Capitolo 2 - LA LOOP ANALYSIS...............................................................................6
1. Definizioni.................................................................................................................7
Feedback...............................................................................................................................11
Stabilità..................................................................................................................................12
Fare predizioni.....................................................................................................................14
Le tavole di predizione.......................................................................................................15

Capitolo 3 - METODI MATEMATICI DELLA LOOP ANALYSIS.................19
2. Stabilità in Tempi discreti....................................................................................20
Le equazioni viste da vicino..............................................................................................23
Matrice Jacobiana, autovalori e stabilità..........................................................................26
Self-loop................................................................................................................................30
Stabilità in più variabili.......................................................................................................32
Un esempio..........................................................................................................................38
Cambiamento nei valori di equilibrio..............................................................................40

Capitolo 4 - LE AMBIGUITA’......................................................................................44
3. Percorsi di segno opposto...................................................................................44
Ambiguità nel segno di un path o di un loop................................................................46
Il “Lumping” delle variabili ..............................................................................................47
Simulare.................................................................................................................................50

Capitolo 5 - TEORIA DEI GRAFI..............................................................................52
4. Rappresentazione e definizioni..........................................................................52
Quanti loops?.......................................................................................................................53
Rappresentazione informatica dei grafi...........................................................................57

Capitolo 6 – ALGORITMI.............................................................................................59
5. Trovare gli Open Path.........................................................................................61
Trovare i loop......................................................................................................................63
Trovare i Feedbacks............................................................................................................65
Tavole di predizione...........................................................................................................68
Simulare i percorsi ambigui...............................................................................................69

Capitolo 7 – RISULTATI................................................................................................72
6. Prestazioni..............................................................................................................74
Risolvere tutte le ambiguità?..............................................................................................75
BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................................79
i i
C a p i t o l o 1
INTRODUZIONE
“Di ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere”
L. Wittgenstein – Tractatus Logico-Philosophicus

Negli ultimi decenni, si è manifestato un crescente interesse verso la
complessità, interesse esplicitatosi in due modi differenti. Da una parte si sono
individuate nuove interazioni tra compartimenti che erano sempre stati
considerati “stagni”, cioè si sono trovate evidenze sperimentali di sistemi
complessi. Dall’altra, con la possibilità di trattare enormi quantità di dati
offerta dall’informatica, ci si è spinti verso modelli che comprendono più
variabili e parametri: è aumentata la complessità “ideale” dei modelli.
Tra i sistemi complessi, hanno acquistato una sempre crescente
rilevanza e attualità i sistemi ambientali, che sono caratterizzati da una elevata
complessità strutturale - basta pensare alle cosiddette proprietà emergenti - e
che hanno richiesto un grande sforzo di analisi e la creazione di appositi
strumenti di modellizzazione.
Il desiderio di riuscire a maneggiare sistemi complessi non risponde
solo a un’esigenza teorico-speculativa, ma anche a richieste sempre più
pressanti della società, a fronte degli enormi danni arrecati al patrimonio
ambientale anche a causa dell’insufficiente grado di comprensione dei
fenomeni naturali. Sono recenti le normative comunitarie per la valutazione di
impatto ambientale (85/337/CEE del 27 giugno 1985 e 97/11/CE del 3
marzo 1997), valutazione che non può prescindere da una corretta e completa
analisi dei sistemi ecologici, i cui comportamenti possono essere previsti solo
mediante l’utilizzo di modelli. Questo lavoro tratta di modelli qualitativi, cioè
di modelli che non si basano sulla quantificazione di parametri e valori, ma sul
rapporto che intercorre tra le variabili del sistema.
Ci si potrebbe chiedere quale sia l’utilità di un’analisi apparentemente così
approssimativa quando esistono computer, potenti ed economici, in grado di
eseguire calcoli a velocità elevatissime. Si possono trovare almeno due ragioni
per l’utilizzo di modelli qualitativi:
1. I metodi qualitativi riescono ad analizzare sistemi complessi senza
un’eccessiva spesa di tempo e denaro;
2. I modelli qualitativi sono essenziali come elaborazione a monte di una
modellizzazione quantitativa.

La prima tesi è semplice da comprendere: se, con l’utilizzo di equazioni
differenziali, è possibile descrivere il comportamento di sistemi in 2-3 variabili
entro un certo grado di approssimazione, risolvere un sistema di 10 equazioni
è impresa molto più ardua, anche sfruttando metodi di calcolo numerico
approssimato. Se poi si considerano variabili biologiche, spesso legate a
parametri o funzioni difficilmente stimabili, come quelli sociali, economici e
legislativi, la quantificazione può diventare uno strumento paradossalmente
meno potente: la difficoltà nella formalizzazione delle funzioni e nella stima
dei valori dei parametri, unita ai limiti di applicabilità degli strumenti
matematici, è tale da rendere i risultati decisamente lontani dalla generalità e
dalla precisione a cui le equazioni ci hanno abituato.

La seconda tesi non riguarda direttamente la realtà, ma la
concettualizzazione che porta alla costruzione del modello. “I modelli sono
strutture concettuali che studiamo per non dover studiare la realtà” (Puccia e
Levins, 1985), e per comprendere effettivamente la generalità di un modello, e
soprattutto la sua verosimiglianza (realismo), è utile disporre di uno strumento
che valuti velocemente queste caratteristiche.

Quando si costruisce un modello, è fondamentale aver chiaro come le
variabili interagiscano tra loro, e come si comporti il sistema nell’eventualità
dell’aggiunta o eliminazione di una variabile, o operazioni svolte sui
2
coefficienti delle equazioni. La Loop Analysis, la metodologia qualitativa di cui
si occupa questa tesi, permette questa modellizzazione per raffinamenti
successivi, e consente di confrontare velocemente diverse ipotesi di modello
per uno stesso sistema.
1. I modelli matematici: definizioni

Un modello è una rappresentazione della realtà, perciò la sua
caratteristica fondamentale dovrebbe essere il realismo, la capacità di
rispondere agli stimoli esattamente come il sistema reale. Inoltre, dato che la
sua principale funzione è di predire il comportamento del sistema reale, deve
dare risposte precise. Un'altra caratteristica auspicabile è quella di essere
generale, cioè direttamente applicabile ad altri casi simili: in sostanza non deve
essere una soluzione ad hoc. Purtroppo queste tre caratteristiche (generalità,
precisione, realismo) non possono essere massimizzate contemporaneamente.
Si dovrà quindi operare un trade-off tra le varie priorità, secondo gli obiettivi
della ricerca (Levins 1966).
Si prospettano tre casi:
Realismo
Generalità Precisione
Fig. 1
Quando si massimizzano generalità e realismo a scapito della precisione
(Settore 1), come nel caso della Loop Analysis e delle altre metodologie
qualitative, si ottiene un risultato poco preciso, proprio perché non
quantitativo. A fronte di questa perdita, si riescono a studiare modelli
3
complessi (realismo), facilmente trasferibili ad altre situazioni simili
(generalità).
Se si privilegiano precisione e realismo (Settore 2), come avviene in
molti modelli di simulazione al computer, è necessario inserire grandi quantità
di parametri, misurati di volta in volta. Inoltre questi modelli richiedono una
complessa procedura di calibrazione-adattamento per poter essere applicati a
situazioni anche molto simili (De Angelis e Gross, 1992).
Le metodologie che ricadono nel Settore 3 sono forse quelle più
diffuse, poiché a questo caso sono ascrivibili quasi tutti i modelli matematici
per la biologia. A fronte di una complessità difficilmente traducibile in set di
equazioni, si adottano drastiche semplificazioni, ottenendo soluzioni che, per
quanto applicabili a uno stretto range di situazioni, hanno il rigore e la
precisione tipiche delle scienze pure. La chiarezza ed eleganza delle equazioni
permette di trasportarle direttamente in campi di applicazione anche “non
contigui”: ad esempio tutti i modelli per la biologia trovano prima o poi
applicazione nelle scienze economiche, e viceversa (un esempio emblematico
è la figura di Malthus).

Si può fare un’ulteriore distinzione fra le tecniche modellistiche, quella
fra modelli deterministici e modelli probabilistici. La Loop Analysis è una
metodologia deterministica: lo stesso sistema dà sempre e comunque gli stessi
risultati. Una simulazione è di impronta probabilistica: ad ogni reiterazione del
calcolo esiste la possibilità di ottenere un risultato diverso dal precedente. In
questo lavoro di tesi la simulazione viene utilizzata per integrare la capacità
predittiva della Loop Analysis, e quindi si fondono le due classi di modelli per
ottenere il risultato.

4
2. Modellizzare i sistemi complessi

Il problema fondamentale dell’analisi dei sistemi biologici è riuscire a
tenere conto delle forti interdipendenze che si hanno tra le diverse
componenti. Infatti i sistemi naturali sono composti da specie che
interagiscono tra loro, ma anche da una teoria di fattori fisici, chimici,
economici e sociali, i cui effetti sono difficilmente quantificabili e variabili nel
tempo. Le specie non possono essere studiate in isolamento le une dalle altre,
se non accettando una perdita di informazione spesso critica. Non si riesce
cioè a creare quell’uniformità di comportamenti e risposte che caratterizza i
sistemi più semplici, che possono essere “controllati”.
Il comportamento del sistema spesso non dipende dalla forza (valore
assoluto) dei legami tra le componenti, ma dalla struttura del sistema stesso.
Due laghi aventi la stessa struttura trofica potranno avere un comportamento
molto simile. Al contrario, si possono riscontrare risposte molto diverse a una
stessa sollecitazione in laghi che abbiano identici valori per parametri come
temperatura, altitudine, precipitazioni, …
Inoltre, i problemi che riguardano l’ecologia implicano spesso una
componente sociale, i cui effetti sono difficili da valutare. L’analisi qualitativa
permette di superare questo scoglio, dato che non richiede una
quantificazione, ma semplicemente la descrizione delle relazioni che
intercorrono fra le variabili. L’accento viene posto sulla struttura del modello
e lo stesso sistema può essere descritto da diverse strutture alternative, tutte
ugualmente accettabili: è il confronto con l’osservazione sperimentale che
seleziona quale, tra le metaipotesi proposte (modelli), risulta essere la più
attendibile. Spesso però, per la rappresentazione dei fenomeni e la loro
comunicazione al pubblico, si utilizzano metodi che apparentemente danno
risultati più spendibili, ossia valori numerici, grafici, tabelle, anche se le
semplificazioni necessarie per ottenerli hanno fortemente intaccato
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