Surfaces paramétrées PDF
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Cours2: Surfaces paramétrées Cours 2 : Surfaces paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces Vincent Borrelli réglées Gaspard UniversitédeLyon Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Unesurfaceréglée:lasurfacedeCayley Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Définition.– Une SURFACE PARAMÉTRÉE DE R3 de classe Sréugrlféaecses Ck, k ≥ 1, est une application f : U ⊂ R2 →Ck R3. L’image Gaspard S = f(U) est appelé LE SUPPORT de f. Monge Première forme • Toute application g : V ⊂ R2 →Ck R3 telle que g(V) = S est fondamentale CarlFriedrich appelée une Ck-PARAMÉTRISATION de S. Gauss Aired’une Définition.– Une surface paramétrée f est dite RÉGULIÈRE surface paramétrée en (u,v) ∈ U si fu(u,v) et fv(u,v) sont linéairement Archimède indépendants, ou de façon équivalente, si la différentielle df est de rang deux. (u,v) Lemme (évident).– Le point (u,v) ∈ U est régulier ssi f (u,v)∧f (u,v) (cid:54)= 0. u v Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Une cyclide de Dupin : régulier Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Une bouteille de Klein : régulier Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Un cône : un point singulier Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Une bouteille de Klein pincée : deux points singuliers Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Un cône de base une cardioïde : une arête de points singuliers Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Régularité Surfaces réglées Gaspard Monge Première forme fondamentale CarlFriedrich Gauss Aired’une surface paramétrée Archimède Une situation plus complexe Cours2: Surfaces Régularité paramétrées V.Borrelli Définition.– Soit (u,v) un point régulier. Le plan affine Régularité passant par p = f(u,v) et dont le plan vectoriel associé est Sréugrlféaecses Vect(fu(u,v),fv(u,v)) est appelé PLAN TANGENT de f en (u,v). Si p n’a qu’un antécédant par f, on note Gaspard Monge Première T S := p+Vect(f (u,v),f (u,v)). p u v forme fondamentale CarlFriedrich • En un point régulier, on note Gauss Aired’une f (u,v)∧f (u,v) surface N(u,v) := u v . paramétrée |f (u,v)∧f (u,v)| u v Archimède La droite affine p+Vect N(u,v) est l’ESPACE NORMAL à S en (u,v). Si p n’a qu’un antécédant, on note N S l’espace p normal. • Les sous-espaces affines T S et N S sont invariants par p p reparamétrages. Cours2: Surfaces Surfaces réglées paramétrées V.Borrelli Régularité Définition.– On appelle Ck-SURFACE RÉGLÉE un Surfaces réglées sous-ensemble S ⊂ R3 pour lequel il existe une Gaspard paramétrisation de la forme Monge Pforremmeière f : I ×R −→ R3 fondamentale (u,v) (cid:55)−→ α(u)+vβ(u) CarlFriedrich Gauss Aired’une où I est un intervalle et α,β : I →Ck R3. surface paramétrée Archimède • La famille des droites v (cid:55)−→ α(u)+vβ(u) constitue un recouvrement de S = f(I ×R).
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